控制系统的数学模型省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

控制工程基础控制工程基础主讲教师：韩锟主讲教师：韩锟TelTelTelTel：82655345826553458265534582655345（OOOO）Email:Email:Email:Email:QQQQQQQQ：1297548665129754866512975486651297548665第1页控制系统数学模型控制系统数学模型第三章第三章第2页控制系统分析和设计普通步骤：控制系统分析和设计普通步骤：第三章第三章第三章第三章第四章第四章第四章第四章第六章第六章第六章第六章确定确定确定确定模型模型模型模型结构结构结构结构确定确定确定确定模型模型模型模型参数参数参数参数目标目标目标目标提出提出提出提出定性定性定性定性因果因果因果因果分析分析分析分析系统运系统运系统运系统运动分析动分析动分析动分析与预测与预测与预测与预测目标目标目标目标实现实现实现实现决议与决议与决议与决议与最优策最优策最优策最优策略设计略设计略设计略设计模型建立模型建立模型建立模型建立系统分析系统分析系统分析系统分析认识世界认识世界认识世界认识世界系统综合系统综合系统综合系统综合改造世界改造世界改造世界改造世界第3页一、概述一、概述二、控制系统时域模型二、控制系统时域模型三、控制系统复域模型三、控制系统复域模型控制控制系统系统数学数学模型模型第4页一、概述一、概述 描述系统描述系统描述系统描述系统动态特征数学方程，动态特征数学方程，动态特征数学方程，动态特征数学方程，用用用用来表示一个系统来表示一个系统来表示一个系统来表示一个系统内部各部分之间、内部各部分之间、内部各部分之间、内部各部分之间、或或或或系统与外部环境之间关系。系统与外部环境之间关系。系统与外部环境之间关系。系统与外部环境之间关系。1.控制系统数学模型基本概念控制系统数学模型基本概念控制系统数学模型基本概念控制系统数学模型基本概念 实际上，它是由系统实际上，它是由系统实际上，它是由系统实际上，它是由系统输入、输出变量输入、输出变量输入、输出变量输入、输出变量及及及及系统系统系统系统参数参数参数参数组成数学关系式，是组成数学关系式，是组成数学关系式，是组成数学关系式，是描述系统、分析系描述系统、分析系描述系统、分析系描述系统、分析系统、控制系统工具统、控制系统工具统、控制系统工具统、控制系统工具。第5页2.建立控制系统数学模型方法建立控制系统数学模型方法建立控制系统数学模型方法建立控制系统数学模型方法机理分析法机理分析法：依依依依据对据对据对据对客观事物特征客观事物特征客观事物特征客观事物特征认识认识认识认识，找出反应，找出反应，找出反应，找出反应内内内内部机理部机理部机理部机理数量规律数量规律数量规律数量规律 建模方法建模方法建模方法建模方法测试分析法测试分析法：将对象将对象将对象将对象看作看作看作看作“黑箱黑箱黑箱黑箱”，经过，经过，经过，经过对量测数据统计分析，对量测数据统计分析，对量测数据统计分析，对量测数据统计分析，找出与数据拟合最好找出与数据拟合最好找出与数据拟合最好找出与数据拟合最好模型模型模型模型基本方法基本方法基本方法基本方法第6页建模注意事项建模注意事项建模注意事项建模注意事项n n建立系统数学模型，要建立系统数学模型，要建立系统数学模型，要建立系统数学模型，要从系统本身特点出发从系统本身特点出发从系统本身特点出发从系统本身特点出发，不一样，不一样，不一样，不一样性质系统，其建模过程有所不一样；性质系统，其建模过程有所不一样；性质系统，其建模过程有所不一样；性质系统，其建模过程有所不一样；n n建模必须从系统所属学科理论和基本规律出发，在建模必须从系统所属学科理论和基本规律出发，在建模必须从系统所属学科理论和基本规律出发，在建模必须从系统所属学科理论和基本规律出发，在理论理论理论理论指导指导指导指导下建立；下建立；下建立；下建立；n n建立模型时，应明确建立模型时，应明确建立模型时，应明确建立模型时，应明确模型工作条件模型工作条件模型工作条件模型工作条件，在工作条件允许，在工作条件允许，在工作条件允许，在工作条件允许情况下进行必要简化和假设，在情况下进行必要简化和假设，在情况下进行必要简化和假设，在情况下进行必要简化和假设，在满足使用要求满足使用要求满足使用要求满足使用要求前提下前提下前提下前提下使模型使模型使模型使模型尽可能简单尽可能简单尽可能简单尽可能简单。第7页3.控制系统数学模型形式控制系统数学模型形式控制系统数学模型形式控制系统数学模型形式几个基本概念几个基本概念几个基本概念几个基本概念n n 连续时间连续时间连续时间连续时间函数函数函数函数连续时间函数连续时间函数连续时间函数连续时间函数：若函数若函数若函数若函数x x(t t)自变量自变量自变量自变量 t t 在时间轴上连续取值在时间轴上连续取值在时间轴上连续取值在时间轴上连续取值，称，称，称，称x x(t t)为连续时间函数。为连续时间函数。为连续时间函数。为连续时间函数。第8页n n 离散时间离散时间离散时间离散时间函数函数函数函数t=0t=0t=1t=1t=2t=2 时间时间时间时间1 1月月月月2 2月月月月 3 3月月月月 产量产量产量产量Y Y(t t)1.51.52 21.81.8 例：某电视机厂生产电视机月统计数据以下表：例：某电视机厂生产电视机月统计数据以下表：例：某电视机厂生产电视机月统计数据以下表：例：某电视机厂生产电视机月统计数据以下表：0 01.51.5Y Y(t t)2 21.81.8t t1 12 2离散时间函数离散时间函数离散时间函数离散时间函数：若函数：若函数：若函数：若函数x x(t t)自变量自变量自变量自变量 t t 仅在时间轴仅在时间轴仅在时间轴仅在时间轴离散点上取值离散点上取值离散点上取值离散点上取值，则称，则称，则称，则称x x(t t)为离散时间函数。为离散时间函数。为离散时间函数。为离散时间函数。第9页n n 连续时间连续时间连续时间连续时间系统和系统和系统和系统和离散时间离散时间离散时间离散时间系统系统系统系统连续时间系统连续时间系统连续时间系统连续时间系统：若系统：若系统：若系统：若系统输入输出输入输出输入输出输入输出都是都是都是都是连续时间连续时间连续时间连续时间函数函数函数函数，且在其内部也未转换成离散时间函数，且在其内部也未转换成离散时间函数，且在其内部也未转换成离散时间函数，且在其内部也未转换成离散时间函数，则称此系统为则称此系统为则称此系统为则称此系统为连续连续连续连续时间系统。时间系统。时间系统。时间系统。离散时间系统离散时间系统离散时间系统离散时间系统：若系统：若系统：若系统：若系统输入输出输入输出输入输出输入输出都是都是都是都是离散时间离散时间离散时间离散时间函数函数函数函数，则称此系统为，则称此系统为，则称此系统为，则称此系统为离散离散离散离散时间系统。时间系统。时间系统。时间系统。第10页n n 时域、复域、时域、复域、时域、复域、时域、复域、频域频域频域频域自变量是时间自变量是时间自变量是时间自变量是时间时域（时间域）时域（时间域）时域（时间域）时域（时间域）自变量是复变量自变量是复变量自变量是复变量自变量是复变量复域（复数域）复域（复数域）复域（复数域）复域（复数域）自变量是频率自变量是频率自变量是频率自变量是频率频域（频率域）频域（频率域）频域（频率域）频域（频率域）连续时间系统连续时间系统连续时间系统连续时间系统拉氏变换拉氏变换拉氏变换拉氏变换离散时间系统离散时间系统离散时间系统离散时间系统Z Z变换变换变换变换第11页控制系统数学模型形式控制系统数学模型形式控制系统数学模型形式控制系统数学模型形式n n 概述概述概述概述在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、社会等学科中许多系统，有时社会等学科中许多系统，有时社会等学科中许多系统，有时社会等学科中许多系统，有时极难找到极难找到极难找到极难找到该系统相关该系统相关该系统相关该系统相关变量之间直接关系变量之间直接关系变量之间直接关系变量之间直接关系函数表示式函数表示式函数表示式函数表示式，但却轻易找到，但却轻易找到，但却轻易找到，但却轻易找到这些变量和它们这些变量和它们这些变量和它们这些变量和它们微小增量微小增量微小增量微小增量或或或或改变率改变率改变率改变率之间关系式，这之间关系式，这之间关系式，这之间关系式，这时往往采取时往往采取时往往采取时往往采取微分或差分关系式微分或差分关系式微分或差分关系式微分或差分关系式来描述该系统来描述该系统来描述该系统来描述该系统即即即即建立微分或差分方程模型；建立微分或差分方程模型；建立微分或差分方程模型；建立微分或差分方程模型；连续连续连续连续时间系统动态模型可用时间系统动态模型可用时间系统动态模型可用时间系统动态模型可用微分方程微分方程微分方程微分方程来描述；来描述；来描述；来描述；离散离散离散离散时间系统动态模型可用时间系统动态模型可用时间系统动态模型可用时间系统动态模型可用差分方程差分方程差分方程差分方程来描述。来描述。来描述。来描述。第12页数学模型形式数学模型形式数学模型形式数学模型形式复数域复数域复数域复数域频率域频率域频率域频率域时间域时间域时间域时间域频率特征频率特征频率特征频率特征状态方程状态方程状态方程状态方程差分方程差分方程差分方程差分方程微分方程微分方程微分方程微分方程传递函数传递函数传递函数传递函数脉冲脉冲脉冲脉冲传递函数传递函数传递函数传递函数拉氏变换拉氏变换拉氏变换拉氏变换 拉氏反变换拉氏反变换拉氏反变换拉氏反变换Z Z Z Z变换变换变换变换 Z Z Z Z反变换反变换反变换反变换n n 控制系统数学模型详细形式控制系统数学模型详细形式控制系统数学模型详细形式控制系统数学模型详细形式第13页二、控制系统时域数学模型二、控制系统时域数学模型1.连续连续连续连续时间系统时间系统时间系统时间系统微分方程微分方程微分方程微分方程模型模型模型模型自然科学和工程技术领域自然科学和工程技术领域自然科学和工程技术领域自然科学和工程技术领域n n 建模依据建模依据建模依据建模依据机械机械机械机械系统系统系统系统电气电气电气电气系统系统系统系统n n 建模基础：建模基础：建模基础：建模基础：牛顿运牛顿运牛顿运牛顿运动定律、胡克定律、动定律、胡克定律、动定律、胡克定律、动定律、胡克定律、能量守恒定理能量守恒定理能量守恒定理能量守恒定理n n 建模基础：建模基础：建模基础：建模基础：欧姆定欧姆定欧姆定欧姆定理、基尔霍夫定律理、基尔霍夫定律理、基尔霍夫定律理、基尔霍夫定律第14页n n 建模步骤建模步骤建模步骤建模步骤 依据元件工作原理和在依据元件工作原理和在依据元件工作原理和在依据元件工作原理和在系统中作用，系统中作用，系统中作用，系统中作用，确定确定确定确定各步骤各步骤各步骤各步骤输输输输入量入量入量入量和和和和输出量，输出量，输出量，输出量，并依据需要并依据需要并依据需要并依据需要引进一些引进一些引进一些引进一些中间变量中间变量中间变量中间变量。右端输入，左端输出，右端输入，左端输出，右端输入，左端输出，右端输入，左端输出，导数降幂排。导数降幂排。导数降幂排。导数降幂排。划分步骤划分步骤划分步骤划分步骤写出每一步骤输入输出关系式写出每一步骤输入输出关系式写出每一步骤输入输出关系式写出每一步骤输入输出关系式消去中间变量消去中间变量消去中间变量消去中间变量写成标准形式写成标准形式写成标准形式写成标准形式确定系统输入输出量确定系统输入输出量确定系统输入输出量确定系统输入输出量第15页n n 举例（第一组）举例（第一组）举例（第一组）举例（第一组）l l 机械系统机械系统机械系统机械系统 说明：说明：说明：说明：机械系统中以各种形式出现物理现象，机械系统中以各种形式出现物理现象，机械系统中以各种形式出现物理现象，机械系统中以各种形式出现物理现象，都可简化为都可简化为都可简化为都可简化为质量、弹簧、阻尼质量、弹簧、阻尼质量、弹簧、阻尼质量、弹簧、阻尼三个要素三个要素三个要素三个要素！质量质量质量质量 MM弹簧弹簧弹簧弹簧 K K阻尼阻尼阻尼阻尼 B B第16页例例例例1 1 1 1：机械平移系统机械平移系统机械平移系统机械平移系统：列写质量列写质量列写质量列写质量 m m m m在外力在外力在外力在外力F F F F 作用下产生位移作用下产生位移作用下产生位移作用下产生位移 y y y y 运动方程运动方程运动方程运动方程。Fkyy！以外力作用前静止（平衡）点作为位移零点，！以外力作用前静止（平衡）点作为位移零点，！以外力作用前静止（平衡）点作为位移零点，！以外力作用前静止（平衡）点作为位移零点，以消除重力影响。以消除重力影响。以消除重力影响。以消除重力影响。证实：证实：证实：证实：在外力作用前平衡状态，设弹簧和阻在外力作用前平衡状态，设弹簧和阻在外力作用前平衡状态，设弹簧和阻在外力作用前平衡状态，设弹簧和阻尼拉伸量为尼拉伸量为尼拉伸量为尼拉伸量为y1y1y1y1，为常数，此时有，为常数，此时有，为常数，此时有，为常数，此时有 外力作用后，设弹簧和阻尼拉伸量为外力作用后，设弹簧和阻尼拉伸量为外力作用后，设弹簧和阻尼拉伸量为外力作用后，设弹簧和阻尼拉伸量为y2y2y2y2，（2 2 2 2）-（1 1 1 1），有），有），有），有0 0第17页证实（续）：证实（续）：证实（续）：证实（续）：如以外力作用前平衡点作为位移零点，则如以外力作用前平衡点作为位移零点，则如以外力作用前平衡点作为位移零点，则如以外力作用前平衡点作为位移零点，则y1y2y位移零点位移零点弹力零点弹力零点外力作用后位移点外力作用后位移点依据微分性质，有依据微分性质，有依据微分性质，有依据微分性质，有又因为又因为又因为又因为y1y1y1y1，为常数，故，为常数，故，为常数，故，为常数，故将（将（将（将（4 4 4 4）、（）、（）、（）、（5 5 5 5）、（）、（）、（）、（6 6 6 6）式代入（）式代入（）式代入（）式代入（3 3 3 3），整理后，得），整理后，得），整理后，得），整理后，得以外力作用前静止（平衡）点作为位移零点，能够以外力作用前静止（平衡）点作为位移零点，能够以外力作用前静止（平衡）点作为位移零点，能够以外力作用前静止（平衡）点作为位移零点，能够消除重力影响。消除重力影响。消除重力影响。消除重力影响。第18页Fkyy依据牛顿运动定律，有：依据牛顿运动定律，有：依据牛顿运动定律，有：依据牛顿运动定律，有：微分算子微分算子微分算子微分算子第19页l l 电气系统电气系统电气系统电气系统说明：说明：说明：说明：电气系统三元件：电气系统三元件：电气系统三元件：电气系统三元件：电阻、电容、电感电阻、电容、电感电阻、电容、电感电阻、电容、电感电阻电阻 R R电容电容 C C电感电感 L L第20页例例例例2 2：RLCRLC电路电路电路电路：列写以列写以列写以列写以u ur r(t t)为输入量，为输入量，为输入量，为输入量，u uc c(t t)为为为为输出量网络微分方程。输出量网络微分方程。输出量网络微分方程。输出量网络微分方程。RLCi(t)ur(t)uc(t)确定系统输入输出量：确定系统输入输出量：确定系统输入输出量：确定系统输入输出量：输入输入输入输入u ur r(t t)，输出，输出，输出，输出u uc c(t t)引入中间变量：引入中间变量：引入中间变量：引入中间变量：中间变量：中间变量：中间变量：中间变量：i i(t t)依据基尔霍夫电路定依据基尔霍夫电路定依据基尔霍夫电路定依据基尔霍夫电路定律，列写微分方程：律，列写微分方程：律，列写微分方程：律，列写微分方程：第21页消去中间变量：消去中间变量：消去中间变量：消去中间变量：写成标准形式：写成标准形式：写成标准形式：写成标准形式：思索：该电路微分方程与上例机械平移系统异同。思索：该电路微分方程与上例机械平移系统异同。思索：该电路微分方程与上例机械平移系统异同。思索：该电路微分方程与上例机械平移系统异同。第22页n n 从动态性能看，在相同形式输入作用下，从动态性能看，在相同形式输入作用下，从动态性能看，在相同形式输入作用下，从动态性能看，在相同形式输入作用下，数学模型相同而物数学模型相同而物数学模型相同而物数学模型相同而物理性质不一样系统其输出相同理性质不一样系统其输出相同理性质不一样系统其输出相同理性质不一样系统其输出相同（相同系统）。相同系统是控制（相同系统）。相同系统是控制（相同系统）。相同系统是控制（相同系统）。相同系统是控制理论中进行试验模拟基础。理论中进行试验模拟基础。理论中进行试验模拟基础。理论中进行试验模拟基础。n n 通常，系统微分方程阶次等于系统中包含通常，系统微分方程阶次等于系统中包含通常，系统微分方程阶次等于系统中包含通常，系统微分方程阶次等于系统中包含独立储能元件独立储能元件独立储能元件独立储能元件，如，如，如，如惯性质量、弹性要素、电感、电容、液感、液容惯性质量、弹性要素、电感、电容、液感、液容惯性质量、弹性要素、电感、电容、液感、液容惯性质量、弹性要素、电感、电容、液感、液容等个数，因为每等个数，因为每等个数，因为每等个数，因为每增加一个独立储能元件，系统内部就多一层能量（信息）交换。增加一个独立储能元件，系统内部就多一层能量（信息）交换。增加一个独立储能元件，系统内部就多一层能量（信息）交换。增加一个独立储能元件，系统内部就多一层能量（信息）交换。n n 物理本质不一样系统，能够有相同数学模型物理本质不一样系统，能够有相同数学模型物理本质不一样系统，能够有相同数学模型物理本质不一样系统，能够有相同数学模型，从而能够抛开，从而能够抛开，从而能够抛开，从而能够抛开系统物理属性，用同一方法进行含有普遍意义分析研究（信息系统物理属性，用同一方法进行含有普遍意义分析研究（信息系统物理属性，用同一方法进行含有普遍意义分析研究（信息系统物理属性，用同一方法进行含有普遍意义分析研究（信息方法）；方法）；方法）；方法）；l l 小结：小结：小结：小结：第23页n n 举例（第二组）举例（第二组）举例（第二组）举例（第二组）l l 自然科学领域自然科学领域自然科学领域自然科学领域物理学中单摆物理学中单摆物理学中单摆物理学中单摆例例例例3 3：建立单摆自由运动方程：建立单摆自由运动方程：建立单摆自由运动方程：建立单摆自由运动方程mmg g l lmmv v确定系统输入输出量：确定系统输入输出量：确定系统输入输出量：确定系统输入输出量：输入：无输入：无输入：无输入：无输出：角度输出：角度输出：角度输出：角度 划分步骤，引入中间变量：划分步骤，引入中间变量：划分步骤，引入中间变量：划分步骤，引入中间变量：步骤步骤步骤步骤1 1 1 1：单摆单摆单摆单摆第24页单摆运动数单摆运动数单摆运动数单摆运动数学模型学模型学模型学模型列写各步骤运动方程：列写各步骤运动方程：列写各步骤运动方程：列写各步骤运动方程：依据牛顿第二定律：依据牛顿第二定律：依据牛顿第二定律：依据牛顿第二定律：写成标准形式：写成标准形式：写成标准形式：写成标准形式：单摆运动数单摆运动数单摆运动数单摆运动数学模型学模型学模型学模型单摆运动数单摆运动数单摆运动数单摆运动数学模型学模型学模型学模型第25页l l 工程技术领域工程技术领域工程技术领域工程技术领域倒立摆倒立摆倒立摆倒立摆倒立摆系统倒立摆系统倒立摆系统倒立摆系统 该该该该系系系系统统统统由由由由小小小小车车车车和和和和安安安安装装装装在在在在小小小小车车车车上上上上倒倒倒倒立立立立摆摆摆摆组组组组成成成成。倒倒倒倒立立立立摆摆摆摆是是是是不不不不稳稳稳稳定定定定，假假假假如如如如没没没没有有有有适适适适当当当当控控控控制制制制力力力力作作作作用用用用到到到到它它它它上上上上面面面面，它它它它将将将将随随随随时时时时可可可可能能能能向向向向任任任任何何何何方方方方向向向向倾倾倾倾倒倒倒倒。这这这这里里里里我我我我们们们们只只只只考考考考虑虑虑虑二二二二维维维维问问问问题题题题，即即即即认认认认为为为为倒倒倒倒立立立立摆摆摆摆只只只只在在在在图图图图所所所所在平面内运动。在平面内运动。在平面内运动。在平面内运动。若若若若有有有有适适适适当当当当控控控控制制制制力力力力u u u u作作作作用用用用于于于于小小小小车车车车上上上上可可可可使使使使摆摆摆摆杆杆杆杆维维维维持持持持直直直直立立立立不不不不倒倒倒倒。这这这这实实实实际际际际是是是是一一一一个个个个空空空空间间间间起起起起飞飞飞飞助助助助推推推推器器器器姿姿姿姿态态态态控控控控制制制制模模模模型型型型(姿姿姿姿态态态态控控控控制制制制问问问问题题题题目目目目标标标标是是是是要要要要把把把把空空空空间间间间助助助助推推推推器保持在垂直位置器保持在垂直位置器保持在垂直位置器保持在垂直位置)。第26页例例例例4 4 4 4：直线一级倒立摆系统：直线一级倒立摆系统：直线一级倒立摆系统：直线一级倒立摆系统 控制器依控制器依控制器依控制器依据偏差决议据偏差决议据偏差决议据偏差决议理想摆角理想摆角理想摆角理想摆角电机电机电机电机小车摆杆小车摆杆小车摆杆小车摆杆系统系统系统系统实际摆角实际摆角实际摆角实际摆角角位移传感器角位移传感器角位移传感器角位移传感器偏差偏差偏差偏差决议决议决议决议F结论：结论：结论：结论：需建立需建立需建立需建立小车摆杆小车摆杆小车摆杆小车摆杆系统数学模型，找到系统数学模型，找到系统数学模型，找到系统数学模型，找到摆角摆角摆角摆角 和外力和外力和外力和外力F F之间关之间关之间关之间关系！系！系！系！第27页 在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将该系统抽象为在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将该系统抽象为在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将该系统抽象为在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将该系统抽象为小车小车小车小车和和和和匀质杆匀质杆匀质杆匀质杆组成系统，以下列图：组成系统，以下列图：组成系统，以下列图：组成系统，以下列图：M 小车质量小车质量m 摆杆质量摆杆质量b 小车与导轨摩擦系数小车与导轨摩擦系数l 摆杆质心到转轴长度摆杆质心到转轴长度I 摆杆转动惯量摆杆转动惯量F 加在小车上力加在小车上力x 小车位置小车位置 摆杆与垂直向上方向夹角摆杆与垂直向上方向夹角第28页划分步骤，引入中间变量：划分步骤，引入中间变量：划分步骤，引入中间变量：划分步骤，引入中间变量：步骤步骤步骤步骤1 1 1 1：小车小车小车小车步骤步骤步骤步骤2 2 2 2：摆杆摆杆摆杆摆杆确定系统输入输出量：确定系统输入输出量：确定系统输入输出量：确定系统输入输出量：输入：控制力输入：控制力输入：控制力输入：控制力F F输出：角度输出：角度输出：角度输出：角度 中间变量：小车位置中间变量：小车位置x x列写各步骤运动方程：列写各步骤运动方程：列写各步骤运动方程：列写各步骤运动方程：确定系统输入输出量：确定系统输入输出量：确定系统输入输出量：确定系统输入输出量：输入：控制力输入：控制力输入：控制力输入：控制力F F输出：角度输出：角度输出：角度输出：角度 第29页1 1）分析小车水平方向所受协力，有：）分析小车水平方向所受协力，有：）分析小车水平方向所受协力，有：）分析小车水平方向所受协力，有：第30页2 2）分析摆杆水平方向所受协力，有：）分析摆杆水平方向所受协力，有：）分析摆杆水平方向所受协力，有：）分析摆杆水平方向所受协力，有：第31页3 3 3 3）代）代）代）代(3)(3)(3)(3)入入入入(1)(1)(1)(1)，得到系统第一个运动方程：，得到系统第一个运动方程：，得到系统第一个运动方程：，得到系统第一个运动方程：4 4 4 4）分析摆杆垂直方向协力，有：）分析摆杆垂直方向协力，有：）分析摆杆垂直方向协力，有：）分析摆杆垂直方向协力，有：第32页4 4）摆杆对质心力矩平衡方程：）摆杆对质心力矩平衡方程：）摆杆对质心力矩平衡方程：）摆杆对质心力矩平衡方程：5 5 5 5）从从从从(3)(3)(3)(3)、(6)(6)(6)(6)、(7)(7)(7)(7)中中中中消消消消去去去去P P P P和和和和N N N N，得到第二个运动方程：得到第二个运动方程：得到第二个运动方程：得到第二个运动方程：第33页6 6）综上，系统两个运动方程为：）综上，系统两个运动方程为：）综上，系统两个运动方程为：）综上，系统两个运动方程为：第34页l l 非线性模型线性化非线性模型线性化非线性模型线性化非线性模型线性化非线性模型线性化基本方法非线性模型线性化基本方法非线性模型线性化基本方法非线性模型线性化基本方法基本基本基本基本思想思想思想思想基本基本基本基本假设假设假设假设数学数学数学数学工具工具工具工具 连续改变连续改变连续改变连续改变非线性特征非线性特征非线性特征非线性特征函数线性化，可用切函数线性化，可用切函数线性化，可用切函数线性化，可用切线法（或小偏差法），线法（或小偏差法），线法（或小偏差法），线法（或小偏差法），其实质是在一个其实质是在一个其实质是在一个其实质是在一个很小很小很小很小范围内范围内范围内范围内，将非线性特，将非线性特，将非线性特，将非线性特征用征用征用征用一段直线一段直线一段直线一段直线来来来来代替代替代替代替。在控制系统在控制系统在控制系统在控制系统整个调整过程整个调整过程整个调整过程整个调整过程中，全部中，全部中，全部中，全部变量变量变量变量与与与与稳态值稳态值稳态值稳态值之间之间之间之间只会产生足够只会产生足够只会产生足够只会产生足够微微微微小小小小偏差偏差偏差偏差。泰泰泰泰勒勒勒勒级级级级数数数数第35页单变量非线性函数在平衡点附近线性化方法单变量非线性函数在平衡点附近线性化方法单变量非线性函数在平衡点附近线性化方法单变量非线性函数在平衡点附近线性化方法 设函数设函数 在在 点连续可微，则将它在点连续可微，则将它在该点附近用泰勒级数展开，得该点附近用泰勒级数展开，得 当增量当增量 很很小小小小时，时，略去级数中含有其高次幂项，并略去级数中含有其高次幂项，并将上式各边均减去将上式各边均减去 ，即，即 ，得，得第36页 将参考坐标将参考坐标将参考坐标将参考坐标原点原点原点原点移到系统或元件移到系统或元件移到系统或元件移到系统或元件平衡工作点平衡工作点平衡工作点平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动起始点，这时，系统全部统运动起始点，这时，系统全部统运动起始点，这时，系统全部统运动起始点，这时，系统全部初始条件均为零初始条件均为零初始条件均为零初始条件均为零。增量方程数学含义：增量方程数学含义：增量方程数学含义：增量方程数学含义：线性化模型，又称线性化模型，又称线性化模型，又称线性化模型，又称增量方程增量方程增量方程增量方程第37页非线性函数线性化关键非线性函数线性化关键非线性函数线性化关键非线性函数线性化关键确定系统平衡工作点！确定系统平衡工作点！确定系统平衡工作点！确定系统平衡工作点！单摆自由运动方程线性化单摆自由运动方程线性化单摆自由运动方程线性化单摆自由运动方程线性化系统平衡工作点为（系统平衡工作点为（系统平衡工作点为（系统平衡工作点为（0,00,0）单摆运动线单摆运动线单摆运动线单摆运动线性化方程性化方程性化方程性化方程第38页倒立摆系统运动方程线性化：倒立摆系统运动方程线性化：倒立摆系统运动方程线性化：倒立摆系统运动方程线性化：系统平衡工作点（系统平衡工作点（系统平衡工作点（系统平衡工作点（F F0 0,0 0）为（）为（）为（）为（0,00,0）在平衡工作点处非线性项在平衡工作点处非线性项在平衡工作点处非线性项在平衡工作点处非线性项 线性化为：线性化为：线性化为：线性化为：第39页在平衡工作点处非线性项在平衡工作点处非线性项在平衡工作点处非线性项在平衡工作点处非线性项 线性化为：线性化为：线性化为：线性化为：在平衡工作点处非线性项在平衡工作点处非线性项在平衡工作点处非线性项在平衡工作点处非线性项 线性化为：线性化为：线性化为：线性化为：倒立摆系统线性化模型为：倒立摆系统线性化模型为：倒立摆系统线性化模型为：倒立摆系统线性化模型为：第40页社会、经济等大系统领域社会、经济等大系统领域社会、经济等大系统领域社会、经济等大系统领域模拟近似法模拟近似法模拟近似法模拟近似法：l l在生物、经济等学科实际问题中，许多现象规律性不在生物、经济等学科实际问题中，许多现象规律性不在生物、经济等学科实际问题中，许多现象规律性不在生物、经济等学科实际问题中，许多现象规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂，惯用模拟近似很清楚，即使有所了解也是极其复杂，惯用模拟近似很清楚，即使有所了解也是极其复杂，惯用模拟近似很清楚，即使有所了解也是极其复杂，惯用模拟近似方法来建立微分方程模型。建模时方法来建立微分方程模型。建模时方法来建立微分方程模型。建模时方法来建立微分方程模型。建模时在不一样假设在不一样假设在不一样假设在不一样假设下去下去下去下去模拟实际现象模拟实际现象模拟实际现象模拟实际现象，这个过程是近似，用模拟近似法所建，这个过程是近似，用模拟近似法所建，这个过程是近似，用模拟近似法所建，这个过程是近似，用模拟近似法所建立微分方程从数学上去求解或分析解性质，再去同实立微分方程从数学上去求解或分析解性质，再去同实立微分方程从数学上去求解或分析解性质，再去同实立微分方程从数学上去求解或分析解性质，再去同实际情况对比，看这个微分方程模型能否刻划、模拟、际情况对比，看这个微分方程模型能否刻划、模拟、际情况对比，看这个微分方程模型能否刻划、模拟、际情况对比，看这个微分方程模型能否刻划、模拟、近似一些实际现象。近似一些实际现象。近似一些实际现象。近似一些实际现象。n n 建模方法建模方法建模方法建模方法l l用模拟近似法时必须用模拟近似法时必须用模拟近似法时必须用模拟近似法时必须检验所求得解是否与实际情况相检验所求得解是否与实际情况相检验所求得解是否与实际情况相检验所求得解是否与实际情况相符或基本相符符或基本相符符或基本相符符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，不然就得。相符性越好则模拟得越好，不然就得。相符性越好则模拟得越好，不然就得。相符性越好则模拟得越好，不然就得找出不相符主要原因，对模型进行修改。找出不相符主要原因，对模型进行修改。找出不相符主要原因，对模型进行修改。找出不相符主要原因，对模型进行修改。第41页n n 举例举例举例举例l l 经济领域经济领域经济领域经济领域马尔萨斯（马尔萨斯（马尔萨斯（马尔萨斯（MalthusMalthusMalthusMalthus）人口预测模型）人口预测模型）人口预测模型）人口预测模型背景资料：英国人口统计学家马尔萨斯（背景资料：英国人口统计学家马尔萨斯（背景资料：英国人口统计学家马尔萨斯（背景资料：英国人口统计学家马尔萨斯（17661766176617661834183418341834）在担任牧师期间，查看了教堂）在担任牧师期间，查看了教堂）在担任牧师期间，查看了教堂）在担任牧师期间，查看了教堂100100100100多年人口出多年人口出多年人口出多年人口出生统计资料生统计资料生统计资料生统计资料,发觉人口出生率是一个常数，于发觉人口出生率是一个常数，于发觉人口出生率是一个常数，于发觉人口出生率是一个常数，于1789178917891789年年年年在人口原理一书中提出了闻名于世马尔萨斯人口在人口原理一书中提出了闻名于世马尔萨斯人口在人口原理一书中提出了闻名于世马尔萨斯人口在人口原理一书中提出了闻名于世马尔萨斯人口模型。模型。模型。模型。基本假设基本假设基本假设基本假设：在人口自然增加过程中，：在人口自然增加过程中，：在人口自然增加过程中，：在人口自然增加过程中，净增加率（出生净增加率（出生净增加率（出生净增加率（出生率与死亡率之差）是常数率与死亡率之差）是常数率与死亡率之差）是常数率与死亡率之差）是常数，即单位时间内人口增加量，即单位时间内人口增加量，即单位时间内人口增加量，即单位时间内人口增加量与人口成正比，百分比系数设为与人口成正比，百分比系数设为与人口成正比，百分比系数设为与人口成正比，百分比系数设为r r r r。第42页问题描述：在上述假设下，问题描述：在上述假设下，问题描述：在上述假设下，问题描述：在上述假设下，推导并求解人口随时间改推导并求解人口随时间改推导并求解人口随时间改推导并求解人口随时间改变数学模型变数学模型变数学模型变数学模型。分析与建模：分析与建模：分析与建模：分析与建模：设设设设t t时刻人口数为时刻人口数为时刻人口数为时刻人口数为N N(t t)，t t=t t0 0时，时，时，时，N N(t t0 0)=)=N N0 0 ，则依据马，则依据马，则依据马，则依据马尔萨斯假设，尔萨斯假设，尔萨斯假设，尔萨斯假设，在在在在 t t 到到到到 t t 时间段内，人口增加量为：时间段内，人口增加量为：时间段内，人口增加量为：时间段内，人口增加量为：单位时间内单位时间内单位时间内单位时间内人口增加量人口增加量人口增加量人口增加量 t t时间时间时间时间内人口内人口内人口内人口增加量增加量增加量增加量第43页普通情况下，普通情况下，普通情况下，普通情况下，t t 很小，人很小，人很小，人很小，人口总数口总数口总数口总数N N(t t)很大，故很大，故很大，故很大，故可将可将可将可将N N(t t)看成连续、可微函数处看成连续、可微函数处看成连续、可微函数处看成连续、可微函数处理理理理（离散变量连续化）。（离散变量连续化）。（离散变量连续化）。（离散变量连续化）。MalthusMalthus人口模型人口模型人口模型人口模型第44页 模型求解：模型求解：模型求解：模型求解：采取可分离变量法求解：采取可分离变量法求解：采取可分离变量法求解：采取可分离变量法求解：两边积分，得：两边积分，得：两边积分，得：两边积分，得：第45页 模型检验：模型检验：模型检验：模型检验：统计数据：据预计统计数据：据预计统计数据：据预计统计数据：据预计19611961年地球上人口总数为年地球上人口总数为年地球上人口总数为年地球上人口总数为3.06103.06109 9，而在以后，而在以后，而在以后，而在以后7 7年中，人口总数以每年年中，人口总数以每年年中，人口总数以每年年中，人口总数以每年2%2%速度增加，人速度增加，人速度增加，人速度增加，人口数大约口数大约口数大约口数大约每每每每3535年增加一倍年增加一倍年增加一倍年增加一倍。模型检验：模型检验：模型检验：模型检验：令人口数量翻一番所需时间为令人口数量翻一番所需时间为令人口数量翻一番所需时间为令人口数量翻一番所需时间为T T T T，则有：，则有：，则有：，则有：t t0 0=1961=1961，N N0 0=3.0610=3.06109 9，r r=0.02=0.02计算参数：计算参数：计算参数：计算参数：第46页 马尔萨斯模型一个显著特点：马尔萨斯模型一个显著特点：马尔萨斯模型一个显著特点：马尔萨斯模型一个显著特点：种群数量翻一番所需时间是固种群数量翻一番所需时间是固种群数量翻一番所需时间是固种群数量翻一番所需时间是固定定定定。统计数据：据预计统计数据：据预计统计数据：据预计统计数据：据预计19611961年地球上人口总数为年地球上人口总数为年地球上人口总数为年地球上人口总数为3.06103.06109 9，而在以后，而在以后，而在以后，而在以后7 7年中，人口总数以每年年中，人口总数以每年年中，人口总数以每年年中，人口总数以每年2%2%速度增加，人口数大约速度增加，人