线性系统的数学模型省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第第2 2章章 线性系统数学模型线性系统数学模型 实际存在自动控制系统能够是电气、机械、热力、化工，甚至是生物学、经济学等等，然而描述这些系统数学模型却能够是相同。本章介绍了系统各类数学模型如微分方程，传递函数，方框图，信号流图求取以及它们之间相互关系。最终介绍用MATLAB求取系统数学模型。第2章线性系统数学模型第1页 系统数学模型建立，是分析和设计系统首系统数学模型建立，是分析和设计系统首要任务，能够有各种形式：要任务，能够有各种形式：时域中时域中微分方程式微分方程式 复域中复域中传递函数，结构图传递函数，结构图 频域中频域中频率特征频率特征u(t)y(t)系系 统统 描述控制系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系数学表示式，称为系统数学模型。第2章线性系统数学模型第2页 数学模型即使有不一样表示形式，但它们数学模型即使有不一样表示形式，但它们之间能够相互转换，能够由一个形式模型转换之间能够相互转换，能够由一个形式模型转换为另一个形式模型。为另一个形式模型。建立数学模型方法建立数学模型方法 建立系统数学模型简称为建模。系统建模建立系统数学模型简称为建模。系统建模有两大类方法，或者说有两种不一样路径。有两大类方法，或者说有两种不一样路径。一类是机理分析建模方法，称为分析法，一类是机理分析建模方法，称为分析法，另一类是试验建模方法，通常称为系统辨识另一类是试验建模方法，通常称为系统辨识。第2章线性系统数学模型第3页v同一个系统，可用不一样数学模型来表示。同一个系统，可用不一样数学模型来表示。数学模型复杂程度能够不一样。数学模型复杂程度能够不一样。怎样选择：怎样选择：v既不致造成数学处理上困难，又不致影响分既不致造成数学处理上困难，又不致影响分析准确性而达不到分析研究目标。析准确性而达不到分析研究目标。v依据将要应用系统分析方法，建立对应形式依据将要应用系统分析方法，建立对应形式数学模型。数学模型。v完全不一样物理性质系统，其数学模型含有相同完全不一样物理性质系统，其数学模型含有相同形式。形式。利用电气系统来模拟机械系统进行试验研究。利用电气系统来模拟机械系统进行试验研究。第2章线性系统数学模型第4页内 容v2.1 线性系统微分方程v2.2 微分方程线性化v2.3 传递函数v2.4 方框图v2.5 信号流图v2.6 在MATLAB中数学模型表示 v小 结第2章线性系统数学模型第5页列写系统微分方程普通步骤：列写系统微分方程普通步骤：（1 1）确定系统输入、输出变量；）确定系统输入、输出变量；（2 2）从输入端开始，按照信号传递次序，依据各）从输入端开始，按照信号传递次序，依据各 变量所遵照物理、化学等定律，列写各变量变量所遵照物理、化学等定律，列写各变量 之间动态方程，普通为微分方程组；之间动态方程，普通为微分方程组；（3 3）消去中间变量，得到输入输出变量微分方程）消去中间变量，得到输入输出变量微分方程（4 4）标准化：将与输入相关各项放在等号右边，）标准化：将与输入相关各项放在等号右边，与输出相关各项放在等号左边，而且分别按与输出相关各项放在等号左边，而且分别按 降幂排列，最终将系数归化为反应系统动态特降幂排列，最终将系数归化为反应系统动态特 性参数，如时间常数等。性参数，如时间常数等。2.1 线性系统微分方程 第2章线性系统数学模型第6页 例例2 2.1 1 列写如图列写如图2.12.1所表示所表示RC网络微分方程。网络微分方程。给定输入电压给定输入电压 为系统输入量，为系统输入量，电容上电压电容上电压 为系统输出量。为系统输出量。设设回路回路电电流流为为i，则电则电阻上阻上电压为电压为电电容上容上电压电压与与电电流关系流关系为为由基由基尔尔霍夫霍夫电压电压定律，列写回路方程式定律，列写回路方程式图图2.1 RC电路电路 消去中间变量消去中间变量 、i 得得令令 为电路时间常数，则为电路时间常数，则 可见可见RCRC网络是网络是一阶常系数线性微分方程一阶常系数线性微分方程。第2章线性系统数学模型第7页例例2.2 2.2 二阶二阶RCRC网络系统：网络系统：令令T1=R1C1，T2=R2C2，T12=R1C2 则得：则得：可见二阶可见二阶RCRC网络是网络是二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程。第2章线性系统数学模型第8页例例2-3 图为一弹簧阻尼系统，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试列写外力F(t)与位移y(t)之间微分方程。第2章线性系统数学模型第9页弹簧弹簧-质量质量-阻尼器阻尼器机械系统：机械系统：对于弹簧：对于弹簧：对于阻尼器：对于阻尼器：对于质量对于质量m：化为标准形式：化为标准形式：代入后得代入后得式中k 弹簧系数f 阻尼系数第2章线性系统数学模型第10页整理且标准化令称为时间常数；称为阻尼比；称为放大系数。得可见：可见：弹簧弹簧-质量质量-阻尼器阻尼器机械系统也机械系统也是是二阶常系数二阶常系数 线性微分方程线性微分方程。第2章线性系统数学模型第11页完全不一样物理性质系统，其数学模型含有相同性！完全不一样物理性质系统，其数学模型含有相同性！弹簧弹簧-质量质量-阻尼器系统：阻尼器系统：二阶二阶RC无源网络：无源网络：第2章线性系统数学模型第12页例例2.4 R-L-C2.4 R-L-C串联网络数学模型串联网络数学模型输入输出模型输入输出模型:返回第2章线性系统数学模型第13页2.2 微分方程线性化 实际物理系统往往有间隙、死区、饱和等各类非线性现象。严格地讲，几乎全部实际物理和化学系统都是非线性。当前，线性系统理论已经相当成熟，但非线性系统理论还远不完善。所以，在工程允许范围内，尽可能对所研究系统进行线性化处理，然后用线性理论进行分析不失为一个有效方法。第2章线性系统数学模型第14页 当非线性原因对系统影响较小时，普通可直接将系统看成线性系统处理。另外，假如系统变量只发生微小偏移，则可经过切线法进行线性化，以求得其增量方程式。第2章线性系统数学模型第15页 非线性函数线性化，是指将非线性函数在工作点附近展开成泰勒级数，忽略掉高阶无穷小量及余项，得到近似线性化方程，来替换原来非线性函数。第2章线性系统数学模型第16页 假如元件输出与输入之间关系x2=f(x1)曲线如图，元件工作点为(x10，x20)。将非线性函数x2=f(x1)在工作点(x10，x20)附近展开成泰勒级数第2章线性系统数学模型第17页当(x1x10)为微小增量时，可略去二阶以上各项，写成 其中为工作点(x10，x20)处斜率，即此时以工作点处切线代替曲线，得到变量在工作点增量方程，经上述处理后，输出与输入之间就成为线性关系。第2章线性系统数学模型第18页图2-8为一铁芯线圈，输入为ui(t)，输出为i(t)。线圈微分方程为第2章线性系统数学模型第19页当工作过程中线圈电压和电流只在工作点（u0,i0）附近改变时，即有线圈中磁通对也有增量改变，假如在i0附近连续可微，将在i0附近展开成泰勒级数，即因是微小增量，将高阶无穷小量略去，得近似式第2章线性系统数学模型第20页这就是铁芯线圈增量化方程，为简便起见，常略去增量符号而写成返回第2章线性系统数学模型第21页2.3 传递函数 2.2.1 传递函数 在零初始条件下，线性定常系统输出量拉普拉斯变换与输入量拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统传递函数。即，第2章线性系统数学模型第22页若已知线性定常系统微分方程为式中c(t)为输出量，r(t)为输入量。设c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对式(2-47)取拉氏变换，得第2章线性系统数学模型第23页则系统传递函数为或写为传递函数与输入、输出之间关系，可用图表示。第2章线性系统数学模型第24页2.2.2 传递函数特点 1.作为一个数学模型，传递函数只适合用于线性定常系统，这是因为传递函数是经拉普拉斯变换导出，而拉氏变换是一个线性积分运算。2.传递函数是以系统本身参数描述线性定常系统输入量与输出量关系式，它表示了系统内在固有特征，只与系统结构、参数相关，而与输入量或输入函数形式无关。第2章线性系统数学模型第25页3.传递函数能够是无量纲，也能够是有量纲，视系统输入、输出量而定，它包含着联络输入量与输出量所必须单位，它不能表明系统物理特征和物理结构。许多物理性质不一样系统，有着相同传递函数，正如一些不一样物理现象能够用相同微分方程描述一样。4.传递函数只表示单输入和单输出(SISO)之间关系，对多输入多输出(MIMO)系统，可用传递函数阵表示。第2章线性系统数学模型第26页5.传递函数式(2-49)可表示成式中p1，p2pn为分母多项式根，称为传递函数极点；z1、z2、zn为分子多项式根，称为传递函数零点；第2章线性系统数学模型第27页6.传递函数分母多项式称为特征多项式，记为而D(s)=0称为特征方程。传递函数分母多项式阶次总是大于或等于分子多项式阶次，即nm。这是因为实际系统惯性所造成。第2章线性系统数学模型第28页（1）传递函数只取决于系统或元件结构和参数，与输入输出无关；（2）传递函数概念仅适合用于线性定常系统，含有复 变函数全部性质；（3）传递函数是复变量s 有理真分式，即nm；（4）传递函数是系统冲激响应拉氏变换；（5）传递函数与真正物理系统不存在一一对应关 系；（6）因为传递函数分子多项式和分母多项式系 数均为实数，故零点和极点能够是实数，也可 以是成正确共轭复数。传递函数性质 第2章线性系统数学模型第29页传递函数表示方式传递函数表示方式（1 1）有理分式形式）有理分式形式（2 2）零极点形式）零极点形式第2章线性系统数学模型第30页（3 3）时间常数形式）时间常数形式第2章线性系统数学模型第31页2.2.3 经典步骤传递函数 控制系统由许多元件组合而成，这些元件物理结构和作用原理是各种多样，但抛开详细结构和物理特点，从传递函数数学模型来看，能够划分成几个经典步骤，惯用经典步骤有百分比步骤、惯性步骤、积分步骤、微分步骤、振荡步骤、延迟步骤等。第2章线性系统数学模型第32页动态方程动态方程：c(t)=Kr(t)传递函数传递函数：G(s)=K1、百分比步骤、百分比步骤r(t)c(t)KR(s)C(s)G(s)uouiR1+R0Rb例：例：其它如齿轮系统、电位器、纯电阻电路等。其它如齿轮系统、电位器、纯电阻电路等。百分比步骤百分比步骤第2章线性系统数学模型第33页2、惯性步骤、惯性步骤惯性步骤惯性步骤r(t)c(t)G(s)R(s)C(s)例：例：很多实际系统都可很多实际系统都可近似看作惯性步骤。近似看作惯性步骤。动态方程动态方程：传递函数传递函数：uoui C+R1RbR2第2章线性系统数学模型第34页单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线T1T22T1=T20.6321.0 t0 u(t)斜率斜率1/TT=T1第2章线性系统数学模型第35页惯性步骤实例很多，如图所表示R-L网络，输入为电压u，输出为电感电流i，其传递函数式中第2章线性系统数学模型第36页3、积分步骤、积分步骤积分步骤积分步骤r(t)c(t)G(s)R(s)C(s)例：例：特点特点：输出量等于输入量对时间积分，即：假如输输出量等于输入量对时间积分，即：假如输入量消失，则累积就停顿，但输出量并不消失而是入量消失，则累积就停顿，但输出量并不消失而是维持在原数值上。所以积分步骤维持在原数值上。所以积分步骤含有记忆功效。含有记忆功效。uouiC+RRb动态方程动态方程：传递函数传递函数：第2章线性系统数学模型第37页积分步骤单位阶跃响应为:它随时间直线增加，当输入突然消失，积分停顿，输出维持不变，故积分步骤含有记忆功效，如图所表示。第2章线性系统数学模型第38页4、振荡步骤、振荡步骤称为阻尼比，称为阻尼比，P=1024注意尽管s2项系数为0,但输入P(s)时不可缺省0。MATLAB下多项式乘法处理函数调用格式为C=conv(A,B)第2章线性系统数学模型第81页比 如 给 定 两 个 多 项 式 A(s)=s+3和B(s)=10s2+20s+3,求C(s)=A(s)B(s),则应先结构多项式A(s)和B(s),然后再调用conv()函数来求C(s)A=1,3;B=10,20,3；C=conv(A,B)C=1050639即得出C(s)多项式为10s3+50s2+63s+9第2章线性系统数学模型第82页MATLAB提供conv()函数调用允许多级嵌套,比如G(s)=4(s+2)(s+3)(s+4)可由以下语句来输入G=4*conv(1,2,conv(1,3,1,4)第2章线性系统数学模型第83页 有了多项式输入,系统传递函数在MATLAB下可由其分子和分母多项式唯一地确定出来,其格式为sys=tf(num,den)其中num为分子多项式，den为分母多项式num=b0,b1,b2,bm；den=a0,a1,a2,an；第2章线性系统数学模型第84页对于其它复杂表示式,如可由以下语句来输入num=conv(1,1,conv(1,2,6,1,2,6);den=conv(1,0,0,conv(1,3,1,2,3,4);G=tf(num,den)Transferfunction:第2章线性系统数学模型第85页2.6.2传递函数特征根及零极点图 传递函数G(s)输入之后,分别对分子和分母多项式作因式分解,则可求出系统零极点,MATLAB提供了多项式求根函数roots(),其调用格式为roots(p)其中p为多项式。第2章线性系统数学模型第86页比如,多项式p(s)=s3+3s2+4p=1,3,0,4;%p(s)=s3+3s2+4r=roots(p)%p(s)=0根r=-3.35330.1777+1.0773i0.1777-1.0773i 反过来,若已知特征多项式特征根,可调用MATLAB中poly()函数,来求得多项式降幂排列时各项系数,如上例poly(r)p=1.00003.00000.00004.0000第2章线性系统数学模型第87页 而polyval函数用来求取给定变量值时多项式值,其调用格式为polyval(p,a)其中p为多项式;a为给定变量值比如,求n(s)=(3s2+2s+1)(s+4)在s=5时值：n=conv(3,2,1,1,4);value=polyval(n,-5)value=66第2章线性系统数学模型第88页p,z=pzmap(num,den)其中,p传递函数G(s)=numden极点z传递函数G(s)=numden零点比如,传递函数传递函数在复平面上零极点图,采取pzmap()函数来完成,零极点图上,零点用“。”表示,极点用“”表示。其调用格式为第2章线性系统数学模型第89页 用MATLAB求出G(s)零极点,H(s)多项式形式,及G(s)H(s)零极点图numg=6,0,1;deng=1,3,3,1;z=roots(numg)z=0+0.4082i00.4082i%G(s)零点p=roots(deng)p=1.0000+0.0000i1.0000+0.0000i%G(s)极点1.0000+0.0000i第2章线性系统数学模型第90页n1=1,1;n2=1,2;d1=1,2*i;d2=1,-2*i;d3=1,3;numh=conv(n1,n2);denh=conv(d1,conv(d2,d3);printsys(numh,denh)numh/denh=%H(s)表示式pzmap(num,den)%零极点图title(pole-zeroMap)第2章线性系统数学模型第91页零极点图如图所表示：第2章线性系统数学模型第92页2.6.3 控制系统方框图模型 若已知控制系统方框图,使用MATLAB函数可实现方框图转换。1.串联串联如图所表示G1(s)和G2(s)相串联,在MATLAB中可用串联函数series()来求G1(s)G2(s),其调用格式为num,den=series(num1,den1,num2,den2)其中：第2章线性系统数学模型第93页2.并联并联如图所表示G1(s)和G2(s)相并联,可由MATLAB并联函数parallel()来实现,其调用格式为 num,den=parallel(num1,den1,num2,den2)其中：第2章线性系统数学模型第94页3.反馈反馈反 馈 连 接 如 图 所 表 示。使 用 MATLAB中feedback()函数来实现反馈连接,其调用格式为num,den=feedback(numg,deng,numh,denh,sign)式中：sign为反馈极性,若为正反馈其为1,若为负反馈其为1或缺省。第2章线性系统数学模型第95页比如G(s)=,H(s)=,负反馈连接。numg=1,1;deng=1,2;numh=1;denh=1,0;num,den=feedback(numg,deng,numh,denh,1);printsys(num,den)num/den=第2章线性系统数学模型第96页MATLAB中 函 数 series,parallel和feedback可用来简化多回路方框图。另外,对于单位反馈系统,MATLAB可调用cloop()函数求闭环传递函数,其调用格式为num,den=cloop(num1,den1,sign)第2章线性系统数学模型第97页2.6.4 控制系统零极点模型 传递函数能够是时间常数形式,也能够是零极点形式,零极点形式是分别对原系统传递函数分子和分母进行因式分解得到。MATLAB控制系统工具箱提供了零极点模型与时间常数模型之间转换函数,其调用格式分别为z,p,k=tf2zp(num,den)num,den=zp2tf(z,p,k)其中第一个函数可将传递函数模型转换成零极点表示形式,而第二个函数可将零极点表示方式转换成传递函数模型。第2章线性系统数学模型第98页比如G(s)=用MATLAB语句表示：num=12241220;den=24622;z,p,k=tf2zp(num,den)z=1.92940.03530.9287i0.03530.9287i第2章线性系统数学模型第99页p=0.95671.2272i0.95671.2272i0.04330.6412i0.04330.6412ik=6即变换后零极点模型为G(s)=第2章线性系统数学模型第100页 能够验证MATLAB转换函数,调用zp2tf()函数将得到原传递函数模型。num,den=zp2tf(z,p,k)num=06.000012.00006.000010.0000den=1.00002.00003.00001.00001.0000即第2章线性系统数学模型第101页2.6.5状态空间表示式 状态空间表示式是描述系统特征又一个数学模型,它由状态方程和输出方程组成,即x(t)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)式中x(t)Rn称为状态向量,n为系统阶次;ARnn称为系统矩阵;BRnp称为控制矩阵,p为输入量个数;CRqn称为输出矩阵;DRqp称为连接矩阵,q为输出量个数。第2章线性系统数学模型第102页在普通情况下,控制系统状态空间表示式项简记为(A,B,C,D)。比如：设一个双输入双输出系统状态空间表示式为第2章线性系统数学模型第103页系统模型可由MATLAB命令直观地表示：A=1,2,4;3,2,6;0,1,5B=4,6;2,2;0,2C=0,0,1;0,2,0D=zeros(2,2)MATLAB控制系统工具箱提供了由状态空间表示式转换成传递函数或由传递函数转换成状态空间表示式转换函数ss2tf()和tf2ss()。其调用格式为num,den=ss2tf(A,B,C,D,iu)第2章线性系统数学模型第104页 反过来,若已知系统传递函数,求取系统状态空间表示式调用格式为 A,B,C,D=tf2ss(num,den)比如系统传递函数为系统状态空间表示式为num=1,2,3;den=1,3,6,1;A,B,C,D=tf2ss(num,den)第2章线性系统数学模型第105页A=-3-6-1100010B=100C=123D=0返回第2章线性系统数学模型第106页小 结 本章要求学生熟练掌握系统数学模型建立和拉氏变换方法。对于线性定常系统，能够列写其微分方程，会求传递函数，会画方框图，并掌握方框图变换及化简方法。1.数学模型是描述元件或系统动态特征数学表示式，是对系统进行理论分析研究主要依据。用解析法建立实际系统数学模型时，分析系统工作原理，忽略一些次要原因，利用基本物理、化学定律，取得一个既简单又能足够准确地反应系统动态特征数学模型。第2章线性系统数学模型第107页2.实际系统均不一样程度地存在非线性，但许多系统在一定条件下可近似为线性系统，故我们尽可能对所研究系统进行线性化处理(如增量化法)，然后用线性理论进行分析。但应注意，不是任何非线性特征均可进行线性化处理。3.传递函数是经典控制理论中一个主要数学模型。其定义为：在零初始条件下，系统输出拉普拉斯与输入拉普拉斯变换之比。4.依据运动规律和数学模型共性，任何复杂系统都可划分为几个经典步骤组合，再利用传递函数和图解法能较方便地建立系统数学模型。第2章线性系统数学模型第108页5.方框图是研究控制系统一个图解模型，它直观形象地表示出系统中信号传递特征。6利用MATLAB来进行多项式运算，传递函数零点和极点计算，闭环传递函数求取，方框图模型化简等。返回第2章线性系统数学模型第109页