自动控制系统的数学描述省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第二章第二章 自动控制系统数学描述自动控制系统数学描述 第一节第一节 概论概论 第二节第二节 机理分析建模方法机理分析建模方法 第三节第三节 拉氏变换和传递函数拉氏变换和传递函数 第四节第四节 经典步骤动态特征经典步骤动态特征 第五节第五节 系统方框图等效变换系统方框图等效变换10/10/1 1第1页第一节 概论vv系统数学模型:描述系统各变量之间关系数学表示式 如微分方程、传递函数vv 控制系统数学模型关系到对系统性能分析结果，本章将对系统和元件数学模型建立、传递函数概念、结构图建立及简化等内容加以叙述。第2页课题：第二节 机理分析建模方法n n目标、要求：了解电气系统、液力系统建模过程n n重点：一阶系统、二阶系统建模第3页2.1 建模举例建模举例n n单容水箱单容水箱已知已知:流入量流入量 Q Qi i,流出量流出量 Q Qo o,截面截面 A;A;液位液位 H H 求求:以以 Q Qi i 为输入，为输入，H H 为输出系统动态方程式为输出系统动态方程式.解解:依据物质守恒定律依据物质守恒定律 中间变量为中间变量为 Q Qo o,据流量公式据流量公式 线性化处理线性化处理:规范化规范化 QiQoAH液力系统液力系统液力系统液力系统第4页2.1 建模举例建模举例n nRLC RLC 电路电路 求求:以以U U i i为输入，为输入，U U o o为输出系统动态方程式为输出系统动态方程式.解解:由基尔霍夫定律由基尔霍夫定律消中间变量消中间变量UiUoCLRi电气系统电气系统电气系统电气系统第5页2.2 2.2 建立模型小结建立模型小结确定系统输入、输出变量；依据系统物理、化学等机理，依据列出各元件输入、输出运动规律动态方程；消去中间变量，写出输入、输出变量关系微分方程。第6页课题：课题：n n要求：要求：掌握掌握:拉氏变换定义，拉氏变换定义，拉氏变换定义，拉氏变换定义，几个经典函数拉氏变换，拉氏变换性质几个经典函数拉氏变换，拉氏变换性质几个经典函数拉氏变换，拉氏变换性质几个经典函数拉氏变换，拉氏变换性质 传递函数概念传递函数概念传递函数概念传递函数概念n n重点：由建模得微分方程重点：由建模得微分方程重点：由建模得微分方程重点：由建模得微分方程 第三节第三节第三节第三节 拉氏变换与传递函数拉氏变换与传递函数拉氏变换与传递函数拉氏变换与传递函数拉氏变换拉氏变换拉氏变换拉氏变换传递函数传递函数传递函数传递函数第7页3.1 3.1 拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)(Laplace)变换变换 定义1.1.拉氏变换定义拉氏变换定义 其中其中 x(t)_x(t)_原函数原函数,X(s)_,X(s)_象函数象函数,复变量复变量 s=s=+j +j 2.2.拉氏反变换定义拉氏反变换定义 第8页 单位阶跃函数拉氏变换第9页1)线性定理 设：设：拉氏变换性质与定理第10页2)微分定理各初值为0时第11页3)积分定理各初值为0时第12页 4）终值定理 5)初值定理第13页3.2 传递函数定义定义 零初始条件下系统输出信号拉氏变换与输入信零初始条件下系统输出信号拉氏变换与输入信号拉氏变换之比号拉氏变换之比 设输入为设输入为r(t),r(t),输出为输出为 y(t),y(t),则系统传递函数则系统传递函数为为:第14页n n单容水箱单容水箱:零初始条件下零初始条件下对微分方对微分方对微分方对微分方程进行拉氏变换程进行拉氏变换程进行拉氏变换程进行拉氏变换令令假如Qi(s)不变,则输出H(s)特征完全由G(s)形式与数值决定.可见,G(s)反应了系统本身动态本质.G(s)Q i(s)H(s)传递函数引入传递函数引入第15页 传递函数求取 对微分方程进行拉氏变换对微分方程进行拉氏变换对微分方程进行拉氏变换对微分方程进行拉氏变换(零初始条件零初始条件零初始条件零初始条件)系统微分方程系统微分方程系统微分方程系统微分方程:零初始条件拉氏变换零初始条件拉氏变换零初始条件拉氏变换零初始条件拉氏变换:整理得传递函数整理得传递函数整理得传递函数整理得传递函数:第16页1)传递函数只与系统本身结构与参数相关，与输入量大小和性质无关2）实际系统传递函数是S有理分式（nm）3）传递函数与微分方程有相通性，二者能够相互转换 4）传递函数只适合用于线性定常系统传递函数性质第17页3.3 控制系统微分方程与传递函数n n 控制系统微分方程：是在时域描述系统动态性能控制系统微分方程：是在时域描述系统动态性能数学模型，在给定外作用及初始条件下，求解微数学模型，在给定外作用及初始条件下，求解微分方程能够得到系统输出响应。但系统中某个参分方程能够得到系统输出响应。但系统中某个参数改变或者结构形式改变，便需要重新列写并求数改变或者结构形式改变，便需要重新列写并求解微分方程。解微分方程。n n传递函数：对线性常微分方程进行拉氏变换，得传递函数：对线性常微分方程进行拉氏变换，得到系统在复数域数学模型为传递函数。到系统在复数域数学模型为传递函数。n n 传递函数不但能够表征系统动态特征，而且能够传递函数不但能够表征系统动态特征，而且能够研究系统结构或参数改变对系统性能影响。传递研究系统结构或参数改变对系统性能影响。传递函数是经典控制理论中最基本也是最主要概念函数是经典控制理论中最基本也是最主要概念 第18页传递函数概念深入说明传递函数概念深入说明由基尔霍夫定律，由基尔霍夫定律，(3.0)(3.1)消去中间变量i(t)，(3.2)图 RC电路输入ur(t)输出uc(t)第19页 两端进行拉氏变换，并考虑电容上初始电压两端进行拉氏变换，并考虑电容上初始电压u uc c(0)(0)，得得:(3.3)(3.4)第20页 (3.5)第一项称为零状态响应，由ur(t)决定分量；第二项称为零输入响应，由初始电压uc(0)决定 分量。图 RC网络阶跃响应曲线 当ur(t)=u01(t)时，第21页依据线性系统叠加原理依据线性系统叠加原理依据线性系统叠加原理依据线性系统叠加原理若若 u uc c(0)=0(0)=0，则，则:(3.6)当输入电压ur(t)一定时，电路输出响应拉氏变换Uc(s)完全由1/(RCs+1)所确定，式(3.6)写为:(3.7)第22页 用式用式(3.7)(3.7)来表征电路本身特征，称做传递函数，即：来表征电路本身特征，称做传递函数，即：式中T=RC上图表明了电路中电压传递关系，即输入电压Ur(s)，经过G(s)传递，得到输出电压Uc(s)=G(s)Ur(s)。第23页 注意:传递函数是在初始条件为零（或称零初始条件）时定义。控制系统零初始条件有两方面含义:1)系统输入量及其各阶导数在t=0时值均为零；2)系统输出量及其各阶导数在t=0时值也为零。第24页课题：第四节课题：第四节 经典步骤动态特征和传递函数经典步骤动态特征和传递函数n n要求：要求：n n掌握掌握经典步骤动态特征和传递函数经典步骤动态特征和传递函数n n难点：难点：n n微分步骤、惯性步骤微分步骤、惯性步骤第25页第四节 经典步骤动态特征和传递函数4.1 百分比步骤 4.2 积分步骤4.3 微分步骤 4.4 惯性步骤4.5 振荡步骤 4.6 拖延步骤第26页4.1 百分比步骤动态方程动态方程:y(t)=K x(t):y(t)=K x(t)传递函数传递函数:G(s)=Y(s)/X(s)=K:G(s)=Y(s)/X(s)=K阶跃响应阶跃响应:ty=Kx00tx0X(t)Y(t)特点特点:输入与输出成百分比输入与输出成百分比输入与输出成百分比输入与输出成百分比第27页4.2 积分步骤动态方程动态方程:传递函数传递函数:阶跃响应阶跃响应:tx=x0Tt0X(t)x0Y(t)特点：特点：T T大则积分慢大则积分慢第28页水泵Q0QihyQx=Qi-Q0例第29页4.3 微分步骤动态方程动态方程:(理想理想)(实际实际)阶跃响应阶跃响应:传递函数传递函数:tx=x0TdKdx0T Td d：微分作用时间：微分作用时间第30页4.4 惯性步骤动态方程动态方程:传递函数传递函数:阶跃响应阶跃响应:tx=x0TcKx0特点特点:T Tc c 决定过渡过程时间决定过渡过程时间,K,K 决定稳态输出值决定稳态输出值.第31页例例例例:单容水箱单容水箱单容水箱单容水箱已知已知已知已知:流入量流入量流入量流入量 Q Qi i,流出量流出量流出量流出量 Q Qo o,截面截面截面截面 A;A;液位液位液位液位 H H 求求求求:以以以以 Q Qi i 为输入，为输入，为输入，为输入，H H 为输出系统动态方程式为输出系统动态方程式为输出系统动态方程式为输出系统动态方程式.解解解解:线性化处理线性化处理线性化处理线性化处理:QiQoAH 代换得零初始条件下零初始条件下对微分方对微分方对微分方对微分方程进行拉氏变换程进行拉氏变换程进行拉氏变换程进行拉氏变换第32页4.5 振荡步骤动态方程动态方程:传递函数传递函数:单位阶跃响应单位阶跃响应:特点特点:决定了振荡特征决定了振荡特征,n n 决定振荡周期决定振荡周期.ty1第33页4.6 拖延步骤动态方程动态方程:传递函数传递函数:阶跃响应阶跃响应:ty(t)=x0 tx=x0Y(t)特点特点:y(t)y(t)比比x(t)x(t)拖延了一段时间拖延了一段时间.第34页课题：课题：第五节第五节 系统方框图等效变换系统方框图等效变换n n要求：要求：掌握方框图等效变换基本概念掌握方框图等效变换基本概念 ，等效变换规则，等效变换规则难点：系统方框图等效变换详细应用系统方框图等效变换详细应用第35页第五节 系统方框图等效变换 5.1 5.1 基本概念基本概念 5.2 5.2 等效变换规则等效变换规则 5.3 5.3 应用举例应用举例第36页1 基本概念 （一（一（一（一 ）方框图概念）方框图概念）方框图概念）方框图概念 右右图图RCRC网络微分方程式为网络微分方程式为:(5.1)(5.2)即对二式进行拉氏变换，得(5.2a)(5.1a)第37页:图(a)描绘了 图(b)表示了将图(a)、图(b)合并如图(c)，得RC网络结构图。图中 符号表示信号代数和，箭头表示信号传递方向，称作“加减点”或“综合点”。第38页 （二）系统结构图建立（二）系统结构图建立（二）系统结构图建立（二）系统结构图建立 其步骤以下：其步骤以下：（1 1）建立控制系统各元部件微分方程。建立控制系统各元部件微分方程。（2 2）对对各各元元件件微微分分方方程程进进行行拉拉氏氏变变换换，并并作作出出各元件结构图。各元件结构图。（3 3）按按系系统统中中各各变变量量传传递递次次序序，依依次次将将各各元元件件结结构构图图连连接接起起来来，置置系系统统输输入入变变量量于于左左端端，输输出出变量于右端，便得到系统结构图。变量于右端，便得到系统结构图。第39页（三）结构图等效变换（三）结构图等效变换（三）结构图等效变换（三）结构图等效变换n n 等效变换等效变换-方框图合并和分解变换前后方框图合并和分解变换前后n n输入输出关系不变，效果等同。输入输出关系不变，效果等同。n n 结构图运算和变换，就是将结构图化为一结构图运算和变换，就是将结构图化为一个等效方框，使方框中数学表示式为总传递函个等效方框，使方框中数学表示式为总传递函数。数。结构图变换应按等效原理进行。结构图变换应按等效原理进行。第40页结构图基本组成形式结构图基本组成形式结构图基本组成形式可分为三种：结构图基本组成形式可分为三种：（1 1）串串串串联联联联连连连连接接接接 方方框框与与方方框框首首尾尾相相连连。前前一一个个方方框输出，作为后一个方框输入。框输出，作为后一个方框输入。（2 2）并并并并联联联联连连连连接接接接 两两个个或或多多个个方方框框，含含有有同同一一个个输输入，而以各方框输出代数和作为总输出。入，而以各方框输出代数和作为总输出。（3 3）反反反反馈馈馈馈连连连连接接接接 一一个个方方框框输输出出，输输入入到到另另一一个个方方框，得到输出再返回作用于前一个方框输入端。框，得到输出再返回作用于前一个方框输入端。第41页 A处为综合点，返回至A处信号取“+”，称为正反馈；取“-”，称为负反馈。负反馈连接是控制系统基本结构形式。图 反馈连接结构图中引出信息点（位置）常称为引出点。第42页2 等效变换规则等效变换规则 （1 1）串联方框等效变换串联方框等效变换 图 串联结构等效变换由图可写出图 n个方框串联等效变换 n个传递函数依次串联等效传递函数，等于n个传递函数乘积。第43页图 n个方框并联等效变换（2）并联连接等效变换）并联连接等效变换G1(s)与G2(s)两个步骤并联连接，其等效传递函数等于该两个传递函数代数和，即：G(s)=G1(s)G2(s)第44页（3）反馈连接等效变换）反馈连接等效变换 由图(a)得：图(a):反馈连接普通形式，图(b):其等效变换第45页消去E(s)和B(s)，得:得:上式为系统闭环传递函数。注:式中分母加号，对应于负反馈；减号对应于正反馈。H(s)=1，常称作单位反馈，此时:第46页（4）综合点与引出点移动）综合点与引出点移动 a.综合点前移综合点前移 挪动前结构图中，信号关系为:图(a)原始结构图 (b)等效结构图 挪动后，信号关系为:第47页 b.综合点之间移动综合点之间移动 图(a)原始结构图 (b)等效结构图挪动前，总输出信号:挪动后，总输出信号:第48页 c.引出点后移引出点后移 图(a)原始结构图 (b)等效结构图挪动后支路上信号为:第49页 d.相邻引出点之间移动相邻引出点之间移动 图 相邻引出点移动 若干个引出点相邻，引出点之间相互交换位置，完全不会改变引出信号性质。第50页3 3应用举例应用举例 例:简化下列图系统结构图，求系统传递函数GB(s)即C(s)/R(s)。解解:1)将综合点后移，然后交换综合点位置，化为图(a)。2)对图(a)中由G2，G3，H2组成小回路实施串联及反馈变换，简化为图(b)。第51页图 系统结构图变换第52页 3)对内回路再实施串联及反馈变换，只剩一个主反馈回路,如图(c)。4)变换为一个方框，如图(d)。系统总传递函数：思索：第一步变换是否可采取其它移动方法?第53页 简化结构图求总传递函数普通步骤：简化结构图求总传递函数普通步骤：n n 1.1.确定输入量与输出量。确定输入量与输出量。n n 2.2.若若结结构构图图中中有有交交叉叉关关系系，应应利利用用等等效效变变换换法则，将交叉消除，化为无交叉多回路结构。法则，将交叉消除，化为无交叉多回路结构。n n 3.3.对对多多回回路路结结构构，由由里里向向外外进进行行变变换换，直直至至变换为一个等效方框。变换为一个等效方框。第54页