自动控制原理第二版数学模型线性化省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型Part 2.2.2Part 2.2.2 非线性数学模型线性化非线性数学模型线性化2.2.2.12.2.2.12.2.2.22.2.2.22.2.2.32.2.2.3常见非线性模型常见非线性模型常见非线性模型常见非线性模型线性化问题提出线性化问题提出线性化问题提出线性化问题提出线性化方法线性化方法线性化方法线性化方法ExampleExample液面系统液面系统单摆单摆ExampleExample液面系统液面系统单摆单摆单变量单变量多变量多变量第1页湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.2.2.12.2.2.1 常见非线性模型常见非线性模型数学物理方程中线性方程：未知函数项或未知函数（偏）导数项系数不依赖于自变量针对时间变量常微分方程：线性方程指满足叠加原理 叠加原理：可加性 齐次性不满足以上条件方程，就成为非线性方程。第2页湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型1.几个常几个常见见非非线线性性第3页湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型常见非线性情况常见非线性情况饱和非线性间隙非线性第4页湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型单摆单摆(非线性非线性)是未知函数 非线性函数，所以是非线性模型。第5页湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型液面系统液面系统(非线性非线性)是未知函数h非线性函数，所以是非线性模型。第6页湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型有条件存在，只在一定工作范围内含有线性特征；非线性系统分析和综合是非常复杂。2.2.2.22.2.2.2 线性化问题提出线性化问题提出能够应用叠加原理，以及应用线性理论对系统进行分析和设计。线性系统缺点：线性系统缺点：线性系统优点：线性系统优点：线性化定义线性化定义 将一些非线性方程在一定工作范围内用近似线性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。第7页湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 2.2.2.3 线线性化方法性化方法 非非线线性微分方程求解很困性微分方程求解很困难难。在一定条件下，。在一定条件下，能能够够近似地近似地转转化化为线为线性微分方程，能性微分方程，能够够使系使系统动统动态态特征分析大特征分析大为简为简化。化。实实践践证实证实，这这么做能么做能够圆够圆满满地地处处理理许许多工程多工程问题问题，有很大，有很大实际实际意意义义。（1）忽略弱非）忽略弱非线线性步性步骤骤 假假如如元元件件非非线线性性原原因因较较弱弱或或者者不不在在系系统统非非线线性性工工作作范范围围以以内内，则则它它们们对对系系统统影影响响很很小小，就就能能够够忽略。忽略。第8页湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型（2）偏微法）偏微法 以微小偏差法为基础，运动方程中各变量就不是它们绝对值，而是它们对稳态工作点偏差。增量增量增量增量（微小偏差法）（微小偏差法）假设：假设：在控制系统整个调整过程中，全部变量与稳态值之间只会产生足够微小偏差。非线性方程非线性方程 局部线性增量方程局部线性增量方程第9页湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型偏微法（小偏差法，切偏微法（小偏差法，切线线法，增量法，增量线线性化法）性化法）偏偏微微法法基基于于一一个个假假设设，就就是是在在控控制制系系统统整整个个调调整整过过程程中中，各各个个元元件件输输入入量量和和输输出出量量只只是是在在平平衡衡点点附附近近作作微微小小改改变变。这这一一假假设设是是符符合合许许多多控控制制系系统统实实际际工工作作情情况况，因因为为对对闭闭环环控控制制系系统统而而言言，一一有有偏偏差差就就产产生生控控制制作作用用来来减减小小或或消消除除偏偏差差，所所以以各各元元件件只只工工作作在在平平衡点附近。衡点附近。第10页湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型第11页湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 A(x0,y0)平衡点，函数在平衡点处连续可微，则可平衡点，函数在平衡点处连续可微，则可将函数在平衡点附近展开成台劳级数将函数在平衡点附近展开成台劳级数 忽略二次以上各忽略二次以上各项项，上式能，上式能够够写成写成 这就是非线性元件线性化数学模型这就是非线性元件线性化数学模型第12页湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型（3）平均斜率法）平均斜率法 假如一非线性元件输入输出关系如图所假如一非线性元件输入输出关系如图所表示表示,此时不能用偏微分法，可用平均斜率此时不能用偏微分法，可用平均斜率法得线性化方程为法得线性化方程为(死区)电机第13页湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 注意：注意：这这几个方法只适合用于一些非几个方法只适合用于一些非线线性性程度程度较较低系低系统统，对对于一些于一些严严重非重非线线性，如性，如不能作不能作线线性化性化处处理，普通用相平面法及描述理，普通用相平面法及描述函数法函数法进进行分析。行分析。第14页湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型增量方程增量方程增量方程数学含义 将参考坐标原点移到系统或元件平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动起始点，这时，系统全部初始条件均为零。第15页湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型多变量函数泰勒级数法多变量函数泰勒级数法增量方程增量方程增量方程增量方程静态方程静态方程静态方程静态方程第16页湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型单变量函数泰勒级数法单变量函数泰勒级数法函数y=f(x)在其平衡点（x0,y0）附近泰勒级数展开式为：略去含有高于一次增量x=x-x0项，则：注：非线性系统线性化模型，称为增量方程。注：y=f(x0)称为系统静态方程第17页湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型单摆模型单摆模型(线性化线性化)第18页湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型液面系统线性化液面系统线性化常数！第19页湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型练习题：水位自动控制系统，输入量为练习题：水位自动控制系统，输入量为Q1,输输出量为水位出量为水位H，求水箱微分方程，水箱横截，求水箱微分方程，水箱横截面积为面积为C，R表示流阻。表示流阻。第20页湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型解：解：dt时间中水箱内流体增加（或降低）时间中水箱内流体增加（或降低）CdH应与水总改变量（应与水总改变量（Q1-Q2）dt相等。即：相等。即：CdH=（Q1-Q2）dt 又据托里拆利定理，出水量与水位高度平方又据托里拆利定理，出水量与水位高度平方根成正比，则有根成正比，则有 其中其中 为百分比系数。为百分比系数。第21页湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 显然这个式子为非线性关系，在工作点（显然这个式子为非线性关系，在工作点（Q20,H0）附近进行台劳级数展开。取一）附近进行台劳级数展开。取一 次次项得：项得：为流阻。为流阻。于是水箱线性化微分方程为于是水箱线性化微分方程为第22页