基于4_2-CIR模型的欧式期权定价及实证研究.pdf

第 卷第 期运 筹 与 管 理 ，年 月 收稿日期：基金项目：国家自然科学基金资助项目（，）；甘肃省教育厅“双一流”科研重点项目（）作者简介：郭精军（），通讯作者，男，甘肃民勤人，博士，教授，研究方向：金融统计与风险管理，随机分析；马爱琴（），女，甘肃靖远人，博士研究生，研究方向：金融统计与风险管理；张翠芸（），女，甘肃景泰人，博士，讲师，研究方向：随机分析。基于 模型的欧式期权定价及实证研究郭精军，马爱琴，张翠芸（兰州财经大学 统计与数据科学学院，甘肃 兰州 ；兰州财经大学 甘肃经济发展数量分析研究中心，甘肃 兰州 ）摘要：在假设波动率服从均值回复过程的条件下，探讨了具有随机利率的 随机波动率模型下的期权定价问题。首先，基于 随机波动率模型提出 随机混合模型，并利用快速傅里叶变换方法推出 随机混合模型下的欧式期权定价公式。其次，通过数值分析的方法，对比 随机波动率模型与 随机混合模型的定价结果，分析新模型的定价性能，并运用交叉验证法，对模型中参数进行敏感性分析。最后，选取上证 期权数据进行实证分析。研究发现：随机利率对模型定价结果具有显著影响；期权价格对利率的波动率参数不敏感，而对其它参数都较敏感；与经典 模型及 随机波动率模型相比，随机混合模型的定价误差更小，定价结果更接近真实值。关键词：随机混合模型；期权定价；快速傅里叶变换；敏感性分析中图分类号：文章标识码：文章编号：（）：，（，；，）：，：，：；引言近年来，随着内源性和外源性冲击风险的不断增加，金融市场进入前所未有的不稳定时期。金融市场未来的不确定性，使得标的资产价格出现增值或贬值的变动情况。而期权作为重要的金融衍生品，能够有效规避风险。因此，对其进行合理、精确的定价具有一定的意义。理论上，充分考虑市场特征获得的定价公式可以丰富期权定价的理论框架；实际中，对期权的精确定价可以更高效的规避风险，减少风险带来的损失。对于期权定价理论的研究，最为经典的是由 和 提出的 模型，但该模型中标的资产价格服从几何布朗运动，波动率、利率均为常数等假设条件与金融市场的实际情况不相符。因此，一些学者对波动率、利率为常数的条件进行放宽，探讨随机波动率以及随机利率模型下的期权定价问题，研究发现随机波动率模型与随机利率模型比经典 模型更加符合金融市场的实际情况。基于随机波动率模型对期权定价的研究已有大量成果。例如，和 及 和 均对波动率模型的发展做出了一定的贡献，但最具影响力的是由 提出的均值回复模型，该模型不仅能够描述金融市场中波动率微笑的特点，而且模型中的参数在金融市场中有具体的经济含义。因此，基于 模型对衍生品定价的研究越来越受欢迎。如吴鑫育等 在随机波动率模型的基础上对上证 期权进行研究，发现随机波动率模型确实能够更加精确地刻画波动率微笑和波动率的随机性特征。但在实际应用中仍存在一些不足。如，为了拟合陡峭的标的资产曲面产生较大的方差波动率参数，使得估计参数不满足 条件；此外，由于 模型对非常低的或即将消失的波动率样本赋予较大的权重，无法拟合极端情况，使得该模型所估计的期权隐含波动率曲面趋于平缓。于是 提出了 模型，其假设波动率服从逆 过程，允许瞬时波动率出现峰值的极端路径，所产生的隐含波动率曲面比较陡峭。但是，无论标的资产的波动如何变化，期权隐含波动率曲面的斜率既可能趋于平缓也可能较为陡峭，而 模型与 模型产生的期权隐含波动率斜率只能描述一种情况。因此，为了同时解决 模型和 模型的缺陷，提出了 随机波动率模型，简称 模型，该模型同时弥补了以上两个模型的不足。之后，等 和王波等 基于 模型对欧式期权定价问题进行研究。此外，李蓬实等 估计了快速均值回复随机波动率模型中的参数，并对双限期权定价问题进行了研究。随着国家经济政策、金融市场状况等的不断变化，利率不再是一个常数，而具有一定的波动性。针对利率随机性问题，提出了 模型描述瞬时利率的动态变化过程。等 提出 模型，描述长期利率的均值回复性。之后，基于随机利率模型对期权定价问题的研究也引起了学者们的广泛关注。譬如，郭精军和张亚芳 对次分数 随机利率模型下的欧式期权定价问题进一步探讨，发现此模型下的期权值更贴近真实值。等 探讨了基于随机利率投资策略的看涨期权定价问题，并在随机利率模型下对股票市场中的风险进行规避，使得基于设计的随机利率线性投资策略获得了一种新的定价方法。第 期郭精军，等：基于 模型的欧式期权定价及实证研究随着随机波动率和随机利率模型研究的不断发展，学者们将两种模型结合进一步探讨期权定价问题。如，和 在 模型中引入了随机利率参数，建立了扩展的 波动率模型，并导出了期权的半显示定价公式。和 将 模型与 模型相结合，在此基础上探讨了欧式期权定价问题，得到该模型下封闭形式的定价公式，并将利用定价公式计算的期权价格与 模拟获得的值进行比较，验证定价公式的适用性。和 在 模型的基础上引入随机利率因素，提出了一个优于 模型的多因素定价模型，研究发现随机利率在期权定价中起着至关重要的作用。虽然单个随机模型和混合模型的研究均取得了长足发展，但已有研究成果仍存在诸多缺陷或不足，主要表现在两个方面：一是集中于单因子波动率模型，其本身具有一定的局限性；二是主要集中在对不同衍生产品的定价问题上，其与随机利率模型结合进行定价的研究相对不足。基于此，本文将 模 型与 随机利 率 模 型相 结 合，提出 随机混合模型。该模型不仅能精确刻画金融市场波动率的波动情况，而且也能更精确的模拟利率的均值回复和随机性。行文安排：第 部分构建 随机混合模型，并获得此模型下欧式期权定价公式；第 部分数值分析，探讨新模型定价性能及模型中参数对定价结果 的 影 响；第 部 分 实 证 分 析，选 取 上 证 期权数据，验证模型的有效性和精确度；第部分结论。理论模型与定价公式考虑到金融市场数据的“尖峰厚尾”及“波动率微笑”等现象，并结合随机利率的随机波动特性，本节将主要介绍 模型的基本内容。给定完备概率空间（，），则 模型满足如下微分方程：（槡槡）（）槡 ，（）槡 ，（）其中，为标的资产价格，随机波动率 及随机利率 均服从 过程，分别表示波动率和利率的均值回复速率，分别为波动率和利率的均值回复水平，分别为波动率和利率的波动率，为常数，为布朗运动，。模型满足的偏微分方程较为复杂，很难直接获得其定价公式。因此，先求解其特征函数，再求解定价公式。详见定理 和定理 。定理 在风险中性测度下，若标的资产价格服从 过程，那么其广义特征函数如下：（，）（）（）（槡 （槡）（）（）（）（）（）（）（）（槡 （槡）（，（槡）（）。其中，（）（），（）（）（）槡），（槡 （槡 ），槡，（槡），。运 筹 与 管 理 年第 卷 根 据 定 理 的 特 征 函 数，推 理 可 得 基 于 模型的期权定价公式，详见定理 。定理 在风险中性测度下，到期日为 ，执行价格为 ，标的资产满足（）式的无股息欧式期权定价公式如下：（，）（），其中，（）为对数资产价格的广义特征函数，为变量变换且 （），（）。特别地，当 时，定价公式简化为：（，）槡 （）。数值分析本节将利用数值分析法，探讨新模型的定价性能，并对模型参数进行敏感性分析，探讨模型中各个参数对定价结果的影响。模型定价性能分析为说明随机利率对定价结果的影响，对不同到期日的期权，基于 模型和 模型进行定价，并根据定价差异，分析利率对定价结果的影响，结果如图 和图 。图 到期期限对期权价格的影响从图 可以看出，到期日越小，模型和 模型的定价结果差异越小，反之亦然，说明期权的到期时间越长，利率对定价结果的影响越大，在定价过程中需要考虑利率因素对期权价格的影响。图 执行价格对期权价格的影响由图 可得，到期时间一定时，模型所得期权价格随执行价格的增大而变小，其结果符合实际中期权价格的变动情况，即模型构建合理有效。为了说明构建 模型研究期权定价的必要性，给出不同模型下的定价误差，如表 。表 模型与 模型的定价误差 由表 数据可得，随着到期日的增大，模型与 模型定价结果之间的误差也随之增大。可见随着到期日的增大，利率对期权定价结果的影响越来越明显，故在期权定价过程中考虑利率是十分必要的。参数变量对期权价格的影响对 节的结果进行分析可知，模型能够对期权进行的合理定价，但此模型中参数较多。为了验证模型中不同参数对期权定价结果的影响，采用交叉验证法对参数进行数值分析。每次分析时只改变其中一个参数，验证，对模型定价结果的影响，如图 所示。由图 可得，波动率以及利率的均值回复速度越大，对应的期权价格越小；波动率以及利率均值回复水平对期权价格的影响呈现出相反的趋势，即均值回复水平越大，相应的期权价格越小；波动率的波动程度越大，相应的期权价格也越大，即波动率的波动率对期权价格具有正向影响；利率的波动率对期权价格的影响不够显著。综上所述，模型下的期权价格对波动率以及利率的均值回复速度、均值回复水平以及波动率的波动率参数变化均比较敏感，而期权价格对利率的波动率参数变化不够敏感。第 期郭精军，等：基于 模型的欧式期权定价及实证研究（）对期权价格的影响（）对期权价格的影响（）对期权价格的影响（）对期权价格的影响（）对期权价格的影响（）对期权价格的影响图 不同参数对期权价格的影响 实证分析为了验证模型的定价精度，本文选取 年 月 日上证 期权的真实数据作为基础数据，将期权真实值与不同模型的定价结果进行比较，分析各模型的定价精度，所选期权的到期日分别为 ，执行价格分别为 ，标的资产初值 （数据来源：数据库）。参数估计本文运用粒子群优化算法估计模型中的参数。假设样本包括 个到期日，个执行价格，；，建立目标函数：。其中，表示期权的真实价格，表示模型计算的期权价格。最小化目标函数获得一组稳定的参数估计值。定价结果分析为探讨 模型的定价性能，基于参数估计值及 模型、模型和 模型的定价公式计算期权值，并与市场真实值进行对比，分析 各 模 型 的 定 价 精 度 及 本 文 的 研 究 意 义。和 结果见图 ，和 结果见表 表 。由图 、表 和表 可知，模型的定价结果更加接近真实值，模型次之，经典 模型的定价结果较差。（）（）图 不同模型下的期权定价结果运 筹 与 管 理 年第 卷表 时模型的定价结果期权名称执行价格定价模型 模型 模型 模型真实值 购 月 购 月 购 月 购 月 购 月 购 月 购 月 购 月 购 月 购 月 表 时模型的定价结果期权名称执行价格定价模型 模型 模型 模型真实值 购 月 购 月 购 月 购 月 购 月 购 月 购 月 购 月 购 月 购 月 误差分析基于以上结果，对模型定价误差进行分析。首先，以 购 月 和 购 月 为例，分析各模型的绝对误差。其次，采用均方误差（）和平均绝对百分比误差（）衡量各个模型的定价误差，结果见表 和表 所示。由表 得，到期时间相同时，模型的定价误差最小。此外，随到期时间的增大，各模型的定价误差差异越明显，即波动率、利率对定价结果的影响越显著。表 绝对误差期权名称到期时间绝对误差 模型 模型 模型 购 月 购 月 表 误差结果定价模型定价误差 模型 模型 模型 表 结果表明，经典 模型的 最大，模 型 次 之，模 型 最 小。此 外，模型的 远小于 模型及 模型的 。由此可见，模型的定价结果优于 模型与经典 模型。第 期郭精军，等：基于 模型的欧式期权定价及实证研究 结论为提高金融衍生产品定价精度，本文充分考虑随机利率、随机波动率等市场因素。首先，构建了 模型，推导出基于 模型的欧式期权定价公式。其次，对所建模型进行数值分析，探讨 模型下对随机利率对定价结果的影响以及新模型的定价性能，并对模型中的参数进行敏感性分析。最后，基于上证 期权市场数据进行实证研究。研究表明：在相同的随机波动模型下，到期期限越大，利率对模型定价结果的影响越明显；波动率和利率的均值回复速度及均值回复水平对期权价格呈反向影响；波动率的波动率对期权价格具有正向影响作用；利率的波动率对期权价格的影响不明显；此外，与经典 模型及 模型相比，模型的绝对误差、均方误差及平均绝对百分比误差均较小，定价结果更精确。参考文献：，（）：，（）：，：，（）：，（）：吴鑫育，李心丹，马超群 基于随机波动率模型的上证 期权定价研究 数理统计与管理，（）：，（）：，（）：，（）：王波，朱顺伟，邓亚东，等 随机波动率模型下的期权定价 系统管理学报，（）：李蓬实，杨建辉，林焰 快速均值回归随机波动率模型参数估计及应用 运筹与管理，（）：，（）：，（）：郭精军，张亚芳次分数 随机利率模型下的欧式期权定价 应用数学，（）：，（）：，：，：，（）：运 筹 与 管 理 年第 卷