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Advances in Applied Mathematics 应用数学进展应用数学进展,2024,13(4),1558-1564 Published Online April 2024 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/aam https:/doi.org/10.12677/aam.2024.134146 文章引用文章引用:黄雯,高英.回收锥和回收函数的性质J.应用数学进展,2024,13(4):1558-1564.DOI:10.12677/aam.2024.134146 回收锥和回收函数的性质回收锥和回收函数的性质 黄黄 雯雯1*，高，高 英英2 1重庆师范大学数学科学学院，重庆 2内蒙古大学数学科学学院，内蒙古 呼和浩特 收稿日期：2024年3月23日；录用日期：2024年4月21日；发布日期：2024年4月28日 摘摘 要要 回收锥和回收函数作为凸分析的重要研究对象，在最优化理论中有着广泛的应用。本文首先根据渐近锥回收锥和回收函数作为凸分析的重要研究对象，在最优化理论中有着广泛的应用。本文首先根据渐近锥和回收锥有关交集运算的性质推导出了渐近锥关于并集运算的性质。其次，针对正则条件下回收函数的和回收锥有关交集运算的性质推导出了渐近锥关于并集运算的性质。其次，针对正则条件下回收函数的四则运算进行了讨论，并得出了相应的结论。最后，举例说明了回收函数一些性质成立时相关条件的合四则运算进行了讨论，并得出了相应的结论。最后，举例说明了回收函数一些性质成立时相关条件的合理性。理性。关键词关键词 渐近锥，回收锥，回收函数，正则性渐近锥，回收锥，回收函数，正则性 The Properties of Recession Cone and Recession Function Wen Huang1*,Ying Gao2 1School of Mathematics Science,Chongqing Normal University,Chongqing 2School of Mathematics Science,Inner Mongolia University,Hohhot Inner Mongolia Received:Mar.23rd,2024;accepted:Apr.21st,2024;published:Apr.28th,2024 Abstract The recession cone and recession function are extremely important research objects in Convex Analysis.They have extensive applications in the optimization theory.Firstly,this article investi-gates the properties of union operation of asymptotic cones based on the properties of the inter-section operation of asymptotic cone and recession cone.Secondly,the four operations of the re-cession function under regular conditions are discussed and corresponding conclusions are drawn.*通讯作者。黄雯，高英 DOI:10.12677/aam.2024.134146 1559 应用数学进展 Finally,examples are given to illustrate the rationality of the relevant conditions when some properties of recession function hold.Keywords Asymptotic Cone,Recession Cone,Recession Function,Regularity Copyright 2024 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 在二十世纪六十年代末期，凸分析1 2 3日益形成，随后逐渐发展起来，成为新的数学分支。凸分析主要研究凸集和凸函数的性质及其应用。在凸分析的基本概念中，回收锥和回收函数作为刻画凸集和凸函数无界性的主要工具，得到了广泛的研究和应用。早在 1970 年，Rockafellar 1针对回收锥和回收函数的基本概念、性质及其应用进行了详细的介绍。此外，文献2和3也针对凸优化概念的理论和应用进行了详细介绍。Rockafellar 在凸分析中讨论凸集的回收锥及其性质和应用。1979 年，Beer 4提出了非凸集合的回收锥，并利用其研究增函数的性质，证明数值分析中的重要定理和关于闭集与闭性的优化理论。凸性在研究回收锥和回收函数的性质中起着重要的作用。如：1974 年，Robert 5利用集合的回收锥、函数的回收锥讨论了最优性条件。在文献6 7 8中回收锥和回收函数在凸性条件下具有很好的性质。Lara 在文献9中讨论了拟凸条件下的一些拟凸渐近函数及其应用。然而，因为回收锥不能反映一个集合在无穷远处的性质，所以对于非凸条件下回收锥和回收函数的研究并不多。近年来，Li 等人10扩展了非凸条件下回收锥和回收函数的研究，表明了函数的单调性和 Lipschitz 连续性与回收函数的性质密切相关。特别地，他们在非凸条件下的渐近分析中引入了正则性的概念，并得到了正则性条件下非凸优化问题解集有界性和非空性的刻画。随后，在文献11中 Li 等人从回收函数的角度讨论了渐近函数的单调性和 Lipschitz 连续性，并利用非线性标量化函数研究了一般约束条件下非凸优化问题解集的有界性和非空性。本文以文献1 2 3中回收锥和回收函数的基本理论作为基础，针对文献10中回收锥和回收函数的性质作了进一步研究。首先，根据渐近锥和回收锥有关交集运算的性质研究了渐近锥关于并集运算的性质。其次，针对正则条件下回收函数的四则运算进行了讨论并得到了相应的结论。最后，再举例说明了回收函数一些性质成立时相关条件的合理性。2.预备知识预备知识 令nR为 n 维欧氏空间。对于函数:nfRR+，定义():,ndom fxRfx=且dom f ，则称函数 f 是真函数。定义定义 2.1 10设nAR为一非空集合，A 的渐近锥记为A，其定义如下 Open AccessOpen Access黄雯，高英 DOI:10.12677/aam.2024.134146 1560 应用数学进展 :0,.nnnnnAuRtxA t xu=特别地，若 A 为非空凸集，则渐近锥A退化为回收锥A，其中:,0,.nAuRxuAxA=+定义定义 2.2 10函数:nfRR+的渐近函数f和回收函数f分别定义如下(),epi fepi f=().epi fepi f=定义定义 2.3 10设nAR为一非空集合，:nfRR+为一个真函数。若AA=，则称集合 A 是正则的。若ff=，则称函数 f 是正则的。文献3 10给出了渐近锥和回收锥的以下性质。引理引理 2.4 10对任意一组集合,niARiI，其中 I 为任意指标集且i IiA，则 1)()i Iii IiAA，2)i Iii IiAA。注注 2.5 在引理 2.4 中若()niARiI为闭凸集，则包含关系变成等式关系。引理引理 2.6 3设12,A A为nR中的非空闭凸集，假设 A1回收方向的反方向都不是 A2的回收方向，则12AA+为闭集且()1212.AAAA+=+引理引理 2.7 10设:nfRR+是一个真函数，则对任意nuR有()(),liminf.uu tf tufut+=引理引理 2.8 3设:nfRR+是一个真函数，则对任意nuR有()()(),0sup.x domf tfxtufxfut+=引理引理 2.9 2设:nfRR+是一个真函数，若 f 是正则的，则()()()()00lim,tfxtufxfufut+=其中0 xdom f。若0dom f，则()()()lim.tf tufufut+=引理引理 2.10 10设12,:nffRR+是正则函数，则对任意nuR有()()()()()()1212.ffufufu=定义定义 2.11 12设 A 为nR中一非空凸集，f 是 A 上的函数。若对任意两点12,x xA和()0,1有()()()()()121211,fxxfxfx+则称函数 f 为 A 上的凸函数。黄雯，高英 DOI:10.12677/aam.2024.134146 1561 应用数学进展 3.回收锥和回收函数的性质回收锥和回收函数的性质 文献3和10给出了渐近锥和回收锥有关交集的运算性质。下面结合相关定理给出渐近锥的并集运算性质。定理定理 3.1 对任意一组集合,iA iI，其中 I 为任意指标集，则有().i Iii IiAA 证明：证明：设()i IiuA，则存在0iI使得()0iuA。由渐近锥的定义得存在00,0,kkiiI txA使得k kx tu。因此存在0,kki IitxA使得k kx tu。即i IiuA，故()i Iii IiAA。从而结论成立。推论推论 3.2 当 i 为有限指标集时，则()11.nniiiiAA=证明：证明：下面用数学归纳法证明()11nniiiiAA=成立。令2i=，若()12uAA，则存在120,kktxAA使得k kx tu。从而存在10,kktxA或2kxA使得k kx tu。即存在001,2,0,kkiitxA使得k kx tu。故存在01,2i 使得()0iuA。从而有()()12uAA。再由定理 3.1 可知()()()1212AAAA=。假设当()2im m=时结论成立，即()11mmiiiiAA=，则当1im=+时有()()()()()()1111111111.mmmmmiiiimiimiimiiAAAAAAAA+=+=+=+=从而由数学归纳法有()11nniiiiAA=。下面举例说明上述定理。例例 3.3 设()()2112122122111,:0,:Ax xxxAx xxxx=，则()()21212121121211,:1,:1,.AAx xxxxx xxxx=从而()()121212,:0,0.AAx xxx=又1A和2A的渐近锥分别为()()11212,:0,0,Ax xxx=()()21212,:0,0.Ax xxx=从而()()()121212,:0,0.AAx xxx=这表明()()()1212.AAAA=黄雯，高英 DOI:10.12677/aam.2024.134146 1562 应用数学进展 下面给出正则条件下渐近函数的一些运算性质。定理定理 3.4 设:nfRR+是正则函数，且 f 是线性泛函，则 1)对任意nuR有()()()()0,0.fufufu=2)对任意,nu vR有()()()fuvfufv+=+。证明：证明：(1)当0时，由引理 2.9 有()()()()()()()()()000000limlimlim.tttfxtufxfufutfxtufxtfxtufxfut+=+=+=当0有()().f txtxt xt fx=对任意的12,xxR有()()()12121212.fxxxxxxfxfx+=+=+这表明()fx是次线性泛函，且()fxx=是正则的。由引理 2.9 可知()()()0000limlim,ttxt uxfxt ufxfutt+=()()()0000limlim.ttxtuxfxtufxfutt+=()()()000022limlim,ttxtutvxfxtutvfxfuvtt+=()()00000002limlimlim.tttxtuxxtvxxtuxtvxfufvttt+=+=黄雯，高英 DOI:10.12677/aam.2024.134146 1563 应用数学进展 无法得到定理 3.4 中的结论。定理定理 3.7 设()()()()max,mini Iii Iifxfxfxfx=，且(),ifxiI是正则函数，则()()()()()()()()max,minmax.i Iii Iii Iifufufufufu 证明：证明：因为()()()()max,mini Iii Iifxfxfxfx=，则,i Iii Iiepi fepi fepi fepi f=。取iiAepi f=，则根据引理 2.4 有()().i Iii Iii Iii IiAepi fepi fAepi f=从而有()()()maxi Iifufu。根据定理 3.1 有()().i Iii Iii Iii IiAepi fAepi fepi f=从而有()()()mini Iifufu。又根据()()()()()()()()()maxmaxmaxmax.i Iii Iii Iii Iifufufufufu=故得到()()()()()minmaxi Iii Iifufufu。定理定理 3.8 设12,:nffRR+是正则的，若12f f是正则的且120,0dom fdom f，并且()()()()12fufu有界大于 0，则有()()12f fu=+。证明：证明：因为12f f是正则的且120,0dom fdom f，从而根据渐近函数的计算方法有()()()()()()()()12121212limlimlim,tttf ftuftu ftuftuftuf futtttt+=又由()()()()12fufu有界大于 0，tt+是无穷大量，则根据无穷大量的运算性质可得()()12f fu=+。若12,:nffRR+是正则的，不能推出12f f和()1220fff 也是正则的。例例 3.9 设()()()24123,fxx fxxfxxxR=都是正则函数，由回收函数的计算方法有()()()33222312,0,0supsup 33,x R tx R txtuxf fuuxtu xt ut+=+当0u 时，()()12f fu=+。当0u 时，()()12f fu=+。当0u，又有()()()()2212212limlimlim.tttf ftut uf fuu ttt+=+例例 3.12 设()()212,0fxx fxxx=。则由引理 2.9 可得()()()11limlim0,ttftutufuutt+=()()()22222limlimlim,tttftut ufututt+=+又有()()()1212211limlimlim0.tttfftuftuufttt u+=基金项目基金项目 重庆市留学人员回国创新基金项目(cx2020096)。参考文献参考文献 1 Rockafellar,R.T.(1970)Convex Analysis.Princeton University Press,Princeton.https:/doi.org/10.1515/9781400873173 2 冯德兴.凸分析基础M.北京:科学出版社,1995.3 Bertsekas,D.P.(2009)Convex Optimization Theory.Athena Scientific,Nashua,NH.4 Beer,G.(1979)Recession Cones of Nonconvex Sets and Increase Functions.Proceedings of the American Mathemat-ical Society,73,228-232.https:/doi.org/10.1090/S0002-9939-1979-0516469-7 5 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