直线和平面的投影市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

第第 二二 章章 点、直线和平面投影点、直线和平面投影2-1 2-1 投影基本知识投影基本知识2-2 2-2 点投影点投影2-3 2-3 直线投影直线投影2-4 2-4 平面投影平面投影2-5 2-5 直线与平面及两平面相对位置直线与平面及两平面相对位置2-6 2-6 换面法换面法要求：掌握点三面投影规律，掌握直线、平面投影要求：掌握点三面投影规律，掌握直线、平面投影特征，会利用直线与平面及两平面相对位置投影特特征，会利用直线与平面及两平面相对位置投影特征处理相关问题。掌握换面法征处理相关问题。掌握换面法第1页21 投影基本知识投影基本知识投影方法投影方法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法直角投影法（正投影法）直角投影法（正投影法）斜角投影法斜角投影法画透视图画透视图画斜轴测图画斜轴测图画工程图样画工程图样及正轴测图及正轴测图第2页中心投影法中心投影法 投射中心、物体、投影面三者之间相投射中心、物体、投影面三者之间相对距离对投影大小有影响。对距离对投影大小有影响。度量性较差度量性较差投影特征投影特征投射线投射线投射中心投射中心物体物体投影面投影面投影投影物体位置改物体位置改变，投影大变，投影大小也改变小也改变第3页平行投影法平行投影法斜角投影法斜角投影法投投 影影 特特 性性投影大小与物体和投影面之间距离无关。投影大小与物体和投影面之间距离无关。度量性很好度量性很好工程图样多数采取正投影法绘制。工程图样多数采取正投影法绘制。投射线相互平行投射线相互平行且垂直于投影面且垂直于投影面投射线相互平行投射线相互平行且倾斜于投影面且倾斜于投影面直角（正）投影法直角（正）投影法第4页 Pb AP采取多面投影采取多面投影。过空间点过空间点A A投射线与投射线与投影面投影面P P交点即为点交点即为点A A在在P P面上投影。面上投影。B1B2B3 点在一个投影面上点在一个投影面上投影不能确定点空间位投影不能确定点空间位置。置。一、点在一个投影面上投影一、点在一个投影面上投影a 22 22 点投影点投影处理方法？处理方法？第5页HWV二、点三面投影二、点三面投影投影面投影面正面投影面（简称正正面投影面（简称正 面或面或V V面）面）水平投影面（简称水水平投影面（简称水 平面或平面或H H面）面）侧面投影面（简称侧侧面投影面（简称侧 面或面或W W面）面）投影轴投影轴oXZOXOX轴轴 V V面与面与H H面交线面交线OZOZ轴轴 V V面与面与W W面交线面交线OYOY轴轴 H H面与面与W W面交线面交线Y三个投影面三个投影面相互垂直相互垂直第6页WHVoX空间点空间点A在三个投影面上投影在三个投影面上投影a a 点点A A正面投影正面投影a a点点A A水平投影水平投影a a 点点A A侧面投影侧面投影空间点用大写字母空间点用大写字母表示，点投影用小表示，点投影用小写字母表示。写字母表示。a aa AZY第7页WVHXYZOVHWAaa a xaazay向右翻向右翻向下翻向下翻不动不动投影面展开投影面展开aaZaa yayaXYYO azx第8页XYZOVHWAaa a 点投影规律点投影规律:a aOX轴轴 aax=a az=y=A到到V面距离面距离a ax=a ay=z=A到到H面距离面距离aay=a az=x=A到到W面距离面距离xaazayYZaza XYayOaaxaya a a OZ轴轴第9页a aax例：已知点两个投影，求第三投影。例：已知点两个投影，求第三投影。a a aaxazaz解法一解法一:经过作经过作4545线线使使a a a az z=aa=aax x解法二解法二:用圆规直接量用圆规直接量取取a az=aaxa 第10页三三 点坐标与投影之间关系点坐标与投影之间关系YWxXYZOVHWAaa a xaazayZaza XYHayOaaxaya xzyzyxyz四四 投影面和投影轴上点投影面和投影轴上点书本书本P36第11页五、两点相对位置五、两点相对位置 两点相对位置指两点两点相对位置指两点在空间在空间上下、前后、左右上下、前后、左右位置关系。位置关系。判断方法：判断方法：x x 坐标大在左坐标大在左 y y 坐标大在前坐标大在前 z z 坐标大在上坐标大在上b aa a b bB B点在点在A A点之前、点之前、之右、之下。之右、之下。XYHYWZ第12页六、重影点：六、重影点：空间两点在某一投影空间两点在某一投影面上面上投影重合为一点投影重合为一点时，时，则称此两点为则称此两点为该投影面该投影面重影点。重影点。A、C为为H面重影点面重影点a a c c 被挡住投影被挡住投影加加()()A A、C C为哪个投为哪个投影面重影点呢影面重影点呢？a c第13页aa a b b b23 23 直线投影直线投影 两点确定一条直线，将两两点确定一条直线，将两点同名投影用直线连接，就点同名投影用直线连接，就得到直线同名投影。得到直线同名投影。直线对一个投影面投影特征直线对一个投影面投影特征一、直线投影特征一、直线投影特征ABab直线垂直于投影面直线垂直于投影面投影重合为一点投影重合为一点 积聚性积聚性直线平行于投影面直线平行于投影面投影反应线段实长投影反应线段实长 ab=AB ab=AB直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影比空间线段短 ab=ABcos ab=ABcosABabAMBabm第14页 直线在三个投影面中投影特征直线在三个投影面中投影特征投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面）水平线（平行于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）普通位置直线普通位置直线与三个投影面都倾斜直线与三个投影面都倾斜直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面第15页b a aba b b aa b ba 投影面平行线投影面平行线 在其平行那个投影面上投影反应实长，在其平行那个投影面上投影反应实长，并反应直线与另两投影面倾角实大。并反应直线与另两投影面倾角实大。另两个投影面上投影平行于对应投影另两个投影面上投影平行于对应投影 轴。轴。水平线水平线侧平线侧平线正平线正平线投投 影影 特特 性：性：与与H面夹角面夹角:与与V面角面角:与与W面夹角面夹角:实长实长实长实长实长实长ba aa b b 第16页 反应线段实长。且垂直反应线段实长。且垂直于对应投影轴。于对应投影轴。投影面垂直线投影面垂直线铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线 另外两个投影另外两个投影，在其垂直投影面上，在其垂直投影面上，投影有积聚性投影有积聚性。投影特征投影特征:c(d)cdd c a b a(b)a b e f efe(f)第17页 普通位置直线普通位置直线投影特征：投影特征：三个投影都缩短。即三个投影都缩短。即:都不反应空间线段实长及与都不反应空间线段实长及与三个投影面夹角实大，且与三个投影面夹角实大，且与三根投影轴都倾斜。三根投影轴都倾斜。abb a b a（1 1）ab,ab,abab,ab,ab对于三个投影轴既不平行也对于三个投影轴既不平行也不垂直不垂直（2 2）ab,ab,ab ab,ab,ab都较空间线段都较空间线段ABAB缩短了。缩短了。其详细长度为：其详细长度为：ab=ABcos,ab=ABcos,ab=ABcos ab=ABcos,ab=ABcos,ab=ABcos第18页HWVab abba zYwYHXab abba ab=ABcosab=ABcosab=ABcos普通位置直线与倾角三个投影都缩短，且都倾斜于对应投影轴第19页ABVHbb a A0B0ZB-ZAYB-YAZB-ZAab ab实长二、三角形法：普通位置直线实长求法二、三角形法：普通位置直线实长求法第20页|zA-zB|ABABbbaaCXO|zA-zB|XaabbABab|zA-zB|AB|zA-zB|ab对面倾角和实长第21页ABbbaaCXO|YA-YB|aXabbabAB|YA-YB|AB|YA-YB|对面倾角与实长第22页XZYOABbbabaaZXabaOYHYWabb|XA-XB|XA-XB|对面倾角与实长第23页例：求线段CD实长及角cdcdYd -Yc实长dccd实长第24页直角三角形法关键点2、投影、坐标差、实长和角度四个要素知道其中二个就能够求其它二个1、角度、投影、坐标差和投影之间对应关系角角水平投影水平投影zz坐标差坐标差线段实长线段实长角角正面投影正面投影 y y坐标差坐标差线段实长线段实长角角侧面投影侧面投影xx坐标差坐标差线段实长线段实长3、解题时，直角三角形画在任何位置，都不影响解题结果。但用哪个长度来作直角边不能搞错第25页三、直线与点相对位置三、直线与点相对位置 若点在直线上若点在直线上,则则点投影必在直线同名投点投影必在直线同名投影上。并将线段同名投影上。并将线段同名投影分割成与空间相同百影分割成与空间相同百分比。即：分比。即：若点投影有一个不在若点投影有一个不在直线同名投影上，直线同名投影上，则该点则该点必不在此直线上。必不在此直线上。判别方法判别方法：AC/CB=ac/cb=a c /c b ABCVHbcc b a a定比定理定比定理第26页点点C不不在在直线直线AB上上例例1：判断点：判断点C是否在线段是否在线段AB上。上。abca b c c abca b 点点C在直在直线线AB上上第27页例例2：判断点：判断点K是否在线段是否在线段AB上。上。a b k 因因k 不在不在a b 上，上，故点故点K不在不在AB上。上。应用定比定理应用定比定理abka b k 另一判断法另一判断法?第28页三、两直线相对位置三、两直线相对位置空间两直线相对位置分为：空间两直线相对位置分为：平行平行、相交相交、交叉交叉。两直线平行两直线平行投影特征：投影特征：空间两直线平行，空间两直线平行，则其各则其各同名投影同名投影必相互必相互平行，反之亦然。平行，反之亦然。aVHc bcdABCDb d a 空间两直线之比空间两直线之比等于其同名投影之比等于其同名投影之比第29页abcdc a b d 例例1：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。对于普通位置直对于普通位置直线，只要有两个同名线，只要有两个同名投影相互平行，空间投影相互平行，空间两直线就平行。两直线就平行。AB/CD第30页b d c a cbadd b a c 对于特殊位置直线，对于特殊位置直线，只有两个同名投影相互只有两个同名投影相互平行，空间直线不一定平行，空间直线不一定平行。平行。求出侧面投影后可知：求出侧面投影后可知：AB与与CD不平行。不平行。例例2：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。求出侧面投影求出侧面投影怎样判断？怎样判断？第31页HVABCDKabcdka b c k d abcdb a c d kk 两直线相交两直线相交判别方法：判别方法：若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其同名投影必则其同名投影必相交，且交点投影必符合空间一点投影规相交，且交点投影必符合空间一点投影规律律。反之亦然。反之亦然。交点是两直交点是两直线共有点线共有点第32页cabb a c d k kd例：过例：过C点点作水平线作水平线CD与与AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影第33页d b a abcdc1(2 )3(4)两直线交叉两直线交叉投影特征投影特征：同名投影可能相交，同名投影可能相交，但但 “交点交点”不符合空间不符合空间一个点投影规律一个点投影规律。“交点交点”是两直线上是两直线上一一 对对重影点投影重影点投影，用其，用其可帮助判断两直线空间可帮助判断两直线空间位置。位置。、是面重影点，是面重影点，、是是H面重影点。面重影点。为何？为何？123 4 两直线相交吗？两直线相交吗？第34页 两直线垂直相交（或垂直交叉）两直线垂直相交（或垂直交叉）直角投影特征：直角投影特征：若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上投影仍为直角。上投影仍为直角。设设 直角边直角边BC/H面面因因 BCAB,同时同时BCBb所以所以 BCABba平面平面直线在直线在H面上投面上投影相互垂直影相互垂直即即 abc为直角为直角所以所以 bcab故故 bc ABba平面平面又因又因 BCbcABCabcHa c b abc.证实：证实：第35页例：过例：过C点作直线与点作直线与AB垂直相交。垂直相交。d abca b c dAB为正平线为正平线,正面投影反应直正面投影反应直角。角。.反之，若一角投影为直角，而且空间被投影角反之，若一角投影为直角，而且空间被投影角最少有一边平行于该投影面，则空间角必是直角。最少有一边平行于该投影面，则空间角必是直角。第36页 小小 结结 点与直线投影特征，尤其是点与直线投影特征，尤其是特殊位置特殊位置 直线投影特征直线投影特征。点与直线及两直线相对位置判断方点与直线及两直线相对位置判断方 法及投影特征。法及投影特征。定比定理。定比定理。直角定理，即两直线垂直时投影特征。直角定理，即两直线垂直时投影特征。重点掌握：重点掌握：第37页一、点投影规律一、点投影规律aaZayayaXYYO xa za a aOX轴轴 aax=a az=y=A到到V面距离面距离a ax=a ay=z=A到到H面距离面距离aay=a az=x=A到到W面距离面距离 a a OZ轴轴第38页二、各种位置直线投影特征二、各种位置直线投影特征 普通位置直线普通位置直线三个投影与各投影轴都倾斜。三个投影与各投影轴都倾斜。投影面平行线投影面平行线 在其平行投影面上投影反应线段实长及与在其平行投影面上投影反应线段实长及与对应投影面夹角。另两个投影平行于对应投影对应投影面夹角。另两个投影平行于对应投影轴。轴。投影面垂直线投影面垂直线 在其垂直投影面上投影积聚为一点。另两在其垂直投影面上投影积聚为一点。另两个投影反应实长且垂直于对应投影轴。个投影反应实长且垂直于对应投影轴。第39页三、直线上点三、直线上点 点投影在直线同名投影上。点投影在直线同名投影上。点分线段成定比，点投影必分线段投影点分线段成定比，点投影必分线段投影 成定比成定比定比定理。定比定理。四、两直线相对位置四、两直线相对位置 平行平行 相交相交 交叉（异面）交叉（异面）同名投影相互平行。同名投影相互平行。同名投影相交，交点是两直线共有点，且同名投影相交，交点是两直线共有点，且符合空间一个点投影规律。符合空间一个点投影规律。同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但“交点交点”不符合空不符合空间一个点投影规律。间一个点投影规律。“交点交点”是两直线上一对是两直线上一对重影点投影。重影点投影。第40页五、相互垂直两直线投影特征五、相互垂直两直线投影特征 两直线同时平行于某一投影面时，在该两直线同时平行于某一投影面时，在该 投影面上投影反应直角。投影面上投影反应直角。两直线中有一条平行于某一投影面时，两直线中有一条平行于某一投影面时，在该投影面上投影反应直角。在该投影面上投影反应直角。两直线均为普通位置直线时，两直线均为普通位置直线时，在三个投影面上投影都不在三个投影面上投影都不 反应直角。反应直角。直角定理直角定理第41页2.4 2.4 平面投影平面投影一、一、平面表示法平面表示法abca b c 不在同一不在同一直线上三直线上三个点个点abca b c 直线及直线及线外一线外一点点abca b c dd 两平行直两平行直线线abca b c 两相交两相交直线直线abca b c 平面平面图形图形第42页迹线表示法迹线表示法PXPVPHOXZYPHPVPWPZPYPXXOPWPZPYHPYWYHZYW平面与投影面交线，叫做平面迹线。第43页二、平面投影特征二、平面投影特征平行平行垂直垂直倾斜倾斜投投 影影 特特 性性 平面平行投影面平面平行投影面-投影就把实形现投影就把实形现 平面垂直投影面平面垂直投影面-投影积聚成直投影积聚成直线线 平面倾斜投影面平面倾斜投影面-投影类似原平面投影类似原平面实形性实形性类似性类似性积聚性积聚性 平面对一个投影面投影特征平面对一个投影面投影特征第44页 平面在三投影面体系中投影特征平面在三投影面体系中投影特征平面对于三投影面位置可分为三类平面对于三投影面位置可分为三类：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面普通位置平面普通位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面第45页abca c b c b a 投影面垂直面投影面垂直面类似性类似性类似性类似性积聚性积聚性铅垂面铅垂面投影特征：投影特征：在它垂直投影面上投影积聚成直线。在它垂直投影面上投影积聚成直线。该直线与投影轴夹角反应空间平面与另外该直线与投影轴夹角反应空间平面与另外两投影面夹角大小。两投影面夹角大小。另外两个投影面上投影有类似性。另外两个投影面上投影有类似性。为何？为何？是什么位置是什么位置平面？平面？第46页a b c a b c abc 投影面平行面投影面平行面积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性水平面水平面投影特征：投影特征：在它所平行投影面上投影反应实形。在它所平行投影面上投影反应实形。另两个投影面上投影分别积聚成与对应投另两个投影面上投影分别积聚成与对应投影轴平行直线。影轴平行直线。第47页投影特征1、abc、abc、abc 均为 ABC类似形2、不反应、真实角度 abcbacababbaccbacCAB 普通位置平面普通位置平面第48页三、平面上直线和点三、平面上直线和点判断直线在平面判断直线在平面内方法内方法 定定 理理 一一若一直线过平面若一直线过平面上两点，则此直上两点，则此直线必在该平面内。线必在该平面内。定定 理理 二二若一直线过平面上一若一直线过平面上一点，且平行于该平面点，且平行于该平面上另一直线，则此直上另一直线，则此直线在该平面内。线在该平面内。平面上取任意直线平面上取任意直线第49页abcb c a abcb c a d mnn m d例例1：已知平面由直线：已知平面由直线AB、AC所确定，试所确定，试 在平面内任作一条直线。在平面内任作一条直线。解法一解法一解法二解法二依据定理二依据定理二依据定理一依据定理一有多少解？有多少解？有没有数解。有没有数解。第50页例例2：在平面：在平面ABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到 H面距面距 离为离为10mm。n m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？第51页 平面上取点平面上取点 先找出过此点而又在平面内一条直线作为先找出过此点而又在平面内一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点位置。辅助线，然后再在该直线上确定点位置。例例1：已知：已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点水平投影。点水平投影。bacc a k b k 面上取点方法：面上取点方法：首先面上取线首先面上取线abca b k c d kd利用平面积聚性求解利用平面积聚性求解经过在面内作辅助线求解经过在面内作辅助线求解第52页bckada d b c ada d b c k bc例例2：已知：已知AC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形 ABCD水平投影。水平投影。解法一解法一解法二解法二第53页2.5 直线与平面及两平面相对位置直线与平面及两平面相对位置相对位置包含相对位置包含平行平行、相交相交和和垂直。垂直。一、平行问题一、平行问题 直线与平面平行直线与平面平行 平面与平面平行平面与平面平行包含包含 直线与平面平行直线与平面平行定理：定理：若一直线平行于平面上某一直线，若一直线平行于平面上某一直线，则该直线与此平面必相互平行。则该直线与此平面必相互平行。第54页n a c b m abcmn例例1：过：过M点作直线点作直线MN平行于平面平行于平面ABC。有没有数有没有数解解有多少解？有多少解？第55页正平线正平线例例2：过：过M点作直线点作直线MN平行于平行于V面和平面面和平面 ABC。c b a m abcmn唯一解唯一解n 第56页 两平面平行两平面平行 若一平面上若一平面上两相交两相交直线直线对应平行于另一对应平行于另一平面上平面上两相交直线两相交直线，则这两平面相互平行。则这两平面相互平行。若两若两投影面垂直面投影面垂直面相互平行，则它们相互平行，则它们含含有积聚性有积聚性那组投影必那组投影必相互平行。相互平行。f h abcdefha b c d e c f b d e a abcdef第57页二、相交问题二、相交问题直线与平面相交直线与平面相交平面与平面相交平面与平面相交 直线与平面相交直线与平面相交 直线与平面相交，其直线与平面相交，其交点是直线与平交点是直线与平面共有点。面共有点。要讨论问题：要讨论问题：求求直线与平面直线与平面交点。交点。判别二者之间相互遮挡关系，即判别二者之间相互遮挡关系，即判别可判别可 见性。见性。我们只讨论直线与平面中最少有一个我们只讨论直线与平面中最少有一个处于特殊位置情况。处于特殊位置情况。第58页abcmnc n b a m 平面为特殊位置平面为特殊位置例：求直线例：求直线MN与平面与平面ABC交点交点K并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABCABC是一铅垂是一铅垂面，其水平投影积聚成一面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与条直线，该直线与mnmn交点交点即为即为K K点水平投影。点水平投影。求交点求交点 判别可见性判别可见性由水平投影可知，由水平投影可知，KNKN段段在平面前，故正面投影在平面前，故正面投影上上k k n n 为可见。为可见。还可经过重影点判别可见性。还可经过重影点判别可见性。k 1(2)作作 图图k21第59页km(n)bm n c b a ac 直线为特殊位置直线为特殊位置空间及投影分析空间及投影分析 直线直线MNMN为铅垂线，其为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，水平投影积聚成一个点，故交点故交点K K水平投影也积聚在水平投影也积聚在该点上。该点上。求交点求交点 判别可见性判别可见性 点点位于平面上，在位于平面上，在前；点前；点位于位于MNMN上，在上，在后。故后。故k k 2 2 为不可见。为不可见。1(2)k 21作图作图用面上取点法用面上取点法第60页 两平面相交两平面相交 两平面相交其交线为直线，两平面相交其交线为直线，交线是两平交线是两平面共有线，面共有线，同时同时交线上点都是两平面共有点。交线上点都是两平面共有点。要讨论问题：要讨论问题：求求两平面两平面交线交线方法：方法：确定两平面确定两平面两个共有点。两个共有点。确定确定一个共有点及交线方向。一个共有点及交线方向。只讨论两平面中最少有一个处于特只讨论两平面中最少有一个处于特殊位置情况。殊位置情况。判别两平面之间相互遮挡关系，即：判别两平面之间相互遮挡关系，即：判别可见性。判别可见性。第61页可经过正面投影可经过正面投影直观地进行判别。直观地进行判别。abcdefc f d b e a m(n)空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABCABC与与DEFDEF都为都为正垂面正垂面，它们正面投影都，它们正面投影都积聚成直线。积聚成直线。交线必为一交线必为一条正垂线条正垂线，只要求得交线只要求得交线上一个点便可作出交线投上一个点便可作出交线投影。影。求交线求交线 判别可见性判别可见性作作 图图 从正面投影上可看出，从正面投影上可看出，在交线左侧，平面在交线左侧，平面ABCABC在在上，其水平投影可见。上，其水平投影可见。nm能否不用重能否不用重影点判别？影点判别？能能!怎样判别？怎样判别？例：求两平面交线例：求两平面交线MN并判别可见性。并判别可见性。第62页b c f h a e abcefh1(2)空间及投影分析空间及投影分析 平面平面EFHEFH是一水平面，它正是一水平面，它正面投影有积聚性。面投影有积聚性。a a b b 与与e e f f 交点交点m m 、b b c c 与与f f h h 交交点点n n 即为两个共有点正面投影，即为两个共有点正面投影，故故m m n n 即即MNMN正面投影正面投影。求交线求交线 判别可见性判别可见性点点在在FHFH上，点上，点在在BCBC上，上，点点在上，点在上，点在下，故在下，故fh fh可见，可见，n2n2不可见。不可见。作作 图图mn 2 nm 1 第63页c d e f a b abcdef投影分析投影分析 N N点水平投影点水平投影n n位于位于defdef外面，说明点外面，说明点N N位位于于DEFDEF所确定平面内，所确定平面内，但不位于但不位于DEFDEF这个图这个图形内。形内。所以所以ABCABC和和DEFDEF交线应为交线应为MKMK。nn m kmk 互交互交第64页bak三三 垂直问题垂直问题1、直线与平面垂直、直线与平面垂直定理：若一直线垂直于平面，则该直线水平定理：若一直线垂直于平面，则该直线水平投影一定垂直于该平面上水平线水平投影，而投影一定垂直于该平面上水平线水平投影，而该直线正面投影一定垂直于该平面上平面投影该直线正面投影一定垂直于该平面上平面投影NKABn证实：证实：NK垂直平面垂直平面PPHAB是平面是平面P内一条水平线内一条水平线则则NK垂直于垂直于AB则则nk垂直于垂直于ab同理可证直线同理可证直线NKNK正面投影垂直于平面上正平线正面投影正面投影垂直于平面上正平线正面投影第65页例：过点例：过点M作直线垂直于三角形作直线垂直于三角形ABC所确定平面所确定平面mbmacabceeddnn第66页2、二平面垂直、二平面垂直若一平面包含另一平面垂线，则此二平面相互垂直若一平面包含另一平面垂线，则此二平面相互垂直 作平面作平面Q包含垂直于平面包含垂直于平面P直线直线AB 作平面作平面Q垂直于平面垂直于平面P内直线内直线CDPQABPQCD第67页例：过直线例：过直线MN作一平面使它垂直于作一平面使它垂直于ABC所确定平面所确定平面abcabcmnmn1122第68页 小小 结结 重点掌握：重点掌握：二、怎样在平面上确定直线和点。二、怎样在平面上确定直线和点。三、两平面平行条件一定是分别位于两平面三、两平面平行条件一定是分别位于两平面 内内两组相交直线对应平行。两组相交直线对应平行。四、直线与平面交点及平面与平面交线是四、直线与平面交点及平面与平面交线是 二者共有点或共有线。二者共有点或共有线。解题思绪：解题思绪：空间及投影分析空间及投影分析 目标是找出交点或交线已知投影。目标是找出交点或交线已知投影。判别可见性判别可见性尤其是尤其是怎样利用重影点判别。怎样利用重影点判别。一、平面投影特征，一、平面投影特征，尤其是特殊位置平面尤其是特殊位置平面 投影特征。投影特征。第69页要要 点点一、各种位置平面投影特征一、各种位置平面投影特征 普通位置平面普通位置平面 投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面三个投影为边数相等类似多边形三个投影为边数相等类似多边形类似性类似性。在其垂直投影面上投影积聚成直线在其垂直投影面上投影积聚成直线 积聚性积聚性。另外两个投影类似。另外两个投影类似。在其平行投影面上投影反应实形在其平行投影面上投影反应实形 实形性实形性。另外两个投影积聚为直线。另外两个投影积聚为直线。第70页二、平面上点与直线二、平面上点与直线 平面上点平面上点一定位于平面内某条直线上一定位于平面内某条直线上 平面上直线平面上直线 过平面上两个点。过平面上两个点。过平面上一点并平行于该平面上某条直线。过平面上一点并平行于该平面上某条直线。三、平行问题三、平行问题 直线与平面平行直线与平面平行 直线平行于平面内一条直线。直线平行于平面内一条直线。两平面平行两平面平行 必须是一个平面上一对相交直线对应平行必须是一个平面上一对相交直线对应平行 于另一个平面上一对相交直线。于另一个平面上一对相交直线。第71页四、相交问题四、相交问题 求直线与平面交点方法求直线与平面交点方法 普通位置直线与特殊位置平面求交点，利用普通位置直线与特殊位置平面求交点，利用 交点共有性和平面积聚性直接求解。交点共有性和平面积聚性直接求解。投影面垂直线与普通位置平面求交点，利用投影面垂直线与普通位置平面求交点，利用 交点共有性和直线积聚性，采取平面上交点共有性和直线积聚性，采取平面上 取点方法求解。取点方法求解。求两平面交线方法求两平面交线方法 两特殊位置平面相交，分析交线空间位置，两特殊位置平面相交，分析交线空间位置，有时可找出两平面一个共有点，依据交线有时可找出两平面一个共有点，依据交线 投影特征画出交线投影。投影特征画出交线投影。普通位置平面与特殊位置平面相交，可利用普通位置平面与特殊位置平面相交，可利用 特殊位置平面积聚性找出两平面两个共特殊位置平面积聚性找出两平面两个共 有点，求出交线。有点，求出交线。第72页2.6 2.6 换面法换面法一、问题提出一、问题提出 怎样求普通位置直线实长？怎样求普通位置直线实长？怎样求普通位置平面真实大小？怎样求普通位置平面真实大小？换换 面面 法：法：物体本身在空间位置不动，而用某一物体本身在空间位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使使物体相对新投影面处于解题所需要有利物体相对新投影面处于解题所需要有利位置位置，然后将物体向新投影面进行投射。，然后将物体向新投影面进行投射。处理方法：更换投影面。处理方法：更换投影面。第73页VHAB a b ab二、新投影面选择标准二、新投影面选择标准1.1.新投影面必须对空间物体处于新投影面必须对空间物体处于最有利解最有利解 题位置。题位置。平行于新投影面平行于新投影面 垂直于新投影面垂直于新投影面2.2.新投影面必须新投影面必须垂直于垂直于某某一保留原投影面，一保留原投影面，以组成一个相互垂直两投影面新体系。以组成一个相互垂直两投影面新体系。Pa1b1第74页VHA a a axX 更换一次投影面更换一次投影面 旧投影体系旧投影体系 X VH 新投影体系新投影体系P1HX1 A点两个投影：点两个投影：a，a A点两个投影：点两个投影：a，a1 新投影体系建立新投影体系建立三、点投影变换规律三、点投影变换规律X1P1a1ax1 VHXP1HX1 a aa1axax1.第75页ax1 VHXP1HX1 a aa1VHA a axXX1P1a1ax1 新旧投影之间关系新旧投影之间关系 aa1 X1 a1ax1=a ax 点新投影到新投影轴距离等于被代替投影点新投影到新投影轴距离等于被代替投影 到原投影轴距离。到原投影轴距离。axa 普通规律：普通规律：点新投影和与它相关原投影连线，必垂直点新投影和与它相关原投影连线，必垂直 于新投影轴。于新投影轴。.第76页 XVHaa ax更换更换H面面 求新投影作图方法求新投影作图方法 VHXP1HX1 由点不变投影向新投影轴作垂线，并由点不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替投影到原投影轴距离。代替投影到原投影轴距离。aa X1P1H a1axax1ax1更换更换V面面a1作图规律：作图规律：.第77页 更换两次投影面更换两次投影面先把先把V面换成平面面换成平面P1，P1 H，得到中间新投影体系，得到中间新投影体系:P1HX1 再把再把H面换成平面面换成平面P2，P2 P1，得到新投影体系，得到新投影体系:X2 P1 P2 新投影体系建立新投影体系建立按次序更换按次序更换AaVH a axXX1P1a1ax1P2X2ax2a2 第78页ax2 a aXVH 求新投影作图方法求新投影作图方法a2X1HP1X2P1P2 作图规律作图规律 a2a1 X2 轴轴 a2ax2=aax1a1 axax1 .第79页VHAB a b ab四、换面法四个基本问题四、换面法四个基本问题1.把普通位置直线变换成投影面平行线把普通位置直线变换成投影面平行线用用P1面代替面代替V面，在面，在P1/H投影体系中，投影体系中，AB/P1。X1HP1P1a1b1空间分析空间分析：换换H面行吗？面行吗？不行！不行！作图：作图：例：求直线例：求直线AB实长及与实长及与H面夹角。面夹角。a b abXVH新投影轴位置？新投影轴位置？a1b1与与ab平行。平行。.第80页a1b1VH a aXB b bA2.把普通位置直线变换成投影面垂直线把普通位置直线变换成投影面垂直线空间分析：空间分析：a b abXVHX1H1P1P1P2X2作图：作图：X1P1a1b1X2P2二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。X2轴位置？轴位置？a2 b2ax2a2 b2.与与a1b1垂直垂直一次换面把直线变成投影面平行线；一次换面把直线变成投影面平行线；第81页 普通位置直线变换普通位置直线变换成投影面垂直线，需经成投影面垂直线，需经几次变换？几次变换？a b c abcdVHABCDX d 3.把普通位置平面变换成投影面垂直面把普通位置平面变换成投影面垂直面 假如把平面内一条直线变换成新投影面垂直线，假如把平面内一条直线变换成新投影面垂直线，那么该平面则变换成新投影面垂直面。那么该平面则变换成新投影面垂直面。P1X1c1b1 a1 d1空间分析：空间分析：在平面内在平面内取一条取一条投影面平行线投影面平行线，经一，经一次换面后变换成新投次换面后变换成新投影面垂直线，则该平影面垂直线，则该平面变成新投影面垂直面变成新投影面垂直面。面。作图方法：作图方法：两平面垂直需满足什么条件？两平面垂直需满足什么条件？能否只进行一次变换？能否只进行一次变换？思索：思索：若变换若变换H面，需在面内面，需在面内取什么位置直线？取什么位置直线？正平线！正平线！第82页 a b c acbXVH例：把例：把三角形三角形ABC变变换换成投影面垂直面。成投影面垂直面。HP1X1作作 图图 过过 程：程：在平面内取一条水平在平面内取一条水平 线线AD。d d 将将AD变换成新投影变换成新投影 面垂直线。面垂直线。d1a1 d1c1 反应平面对哪反应平面对哪个投影面夹角？个投影面夹角？.第83页a1 b1需经几次变换？需经几次变换？一次换面一次换面,把普通位置平面变换成新投影面垂直面；把普通位置平面变换成新投影面垂直面；二次换面，再变换成新投影面平行面。二次换面，再变换成新投影面平行面。X2P1P24.把普通位置平面变换成投影面平行面把普通位置平面变换成投影面平行面ab a c b XVHc作作 图：图：AB是水平是水平线线空间分析：空间分析：a2c2b2c1X2轴轴位置？位置？平面实形平面实形.X1HP1.与其平行与其平行第84页b1 距离距离dd1X1HP1X2P1P2c2 d 例例1：求点：求点C到直线到直线AB距离，并求垂足距离，并求垂足D。c c b a abXVH 五、换面法应用五、换面法应用 以下列图：当直线以下列图：当直线AB垂直于投影面时，垂直于投影面时，CD平行于投影面，其投影反平行于投影面，其投影反应实长。应实长。APBDCca b d作图作图:求求C点到直线点到直线AB距离，就距离，就是求垂线是求垂线CD实长。实长。空间及投影分析：空间及投影分析：c1 a1 a2 b2 d2 过过c1作线平行于作线平行于x2轴。轴。.怎样确定怎样确定d1点位置？点位置？第85页b a abcdc 例例2：已知两交叉直线：已知两交叉直线AB和和C