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十字相乘法分解因式
同学们都知道，型的二次三项式是分解因式中的常见题型，那么此类多项式该如何分解呢？
观察=，可知=。
这就是说，对于二次三项式，如果常数项b可以分解为p、q的积，并且有p+q=a，那么=。这就是分解因式的十字相乘法。
下面举例具体说明怎样进行分解因式。
例1、       因式分解。
分析：因为
          7x  +  (-8x) =-x
解：原式=（x+7）（x-8）
例2、       因式分解。
分析：因为 
            -2x+（-8x）=-10x
解：原式=（x-2）（x-8）
例3、       因式分解。
分析：该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字相乘法进行因式分解。
      因为
          9y  +  10y=19y
解：原式=（2y+3）（3y+5）
例4、       因式分解。
分析：因为
          21x + (-18x)=3x
解：原式=（2x+3）（7x-9）
例5、       因式分解。
分析：该题可以将（x+2）看作一个整体来进行因式分解。
因为
 -25（x+2）+[-4(x+2)]= -29（x+2）
解：原式=[2（x+2）-5][5（x+2）-2]
        =（2x-1）（5x+8）
例6、       因式分解。
分析：该题可以先将（）看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十字相乘。
因为                      
-2+[-12]=-14     a  +  (-2a)=-a    3a  +（-4a）=-a
解：原式=[-2][ -12]
        =(a+1)(a-2)(a+3)(a-4)
从上面几个例子可以看出十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握。但要注意，并不是所有的二次三项式都能进行因式分解，如在实数范围内就不能再进一步因式分解了

因式分解的一点补充——十字相乘法
宜昌九中 尤启平
教学目标
1．使学生掌握运用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解；
2．进一步培养学生的观察力和思维的敏捷性。

教学重点和难点
重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式因式分解。
难点：灵活运用十字相乘法因分解式。

教学过程设计

一、 导入新课
前一节课我们学习了关于x2+（p+q）x+pq这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是：二次项系数为1，常数项是两个数之积，一次项系数是常数项的两个因数之和。
因此，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q).

课前练习：下列各式因式分解
1．- x2+2 x+15 2．（x+y）2-8（x+y）+48；
3．x4-7x2+18； 4．x2-5xy+6y2。
答：1．-（x+3）（x-5）； 2．（x+y-12）（x+y+4）；
3．（x+3）（x-3）（x2+2）； 4．（x-2y）（x-3y）。
我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式因式分解，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式因式分解。
对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。

二、新课
例1 把2x2-7x+3因式分解。
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。
分解二次项系数（只取正因数）：
2=1×2=2×1；
分解常数项：
3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1 1 1 3 1 -1 1 -3
2 × 3 2 × 1 2 × -3 2 × -1
1×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1） 1×（-1）+2×（-3）
=5 =7 = -5 =-7
经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。
解 2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。
一般地，对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下：
a1 c1
a2 × c2
a1c2 + a2c1
按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）。
像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。

例2 把6x2-7x-5分解因式。
分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种
2 1
3 × -5
2×（-5）+3×1=-7
是正确的，因此原多项式可以用直字相乘法分解因式。
解 6x2-7x-5=（2x+1）（3x-5）。
指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式。
对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数。例如把x2+2x-15分解因式，十字相乘法是
1 -3
1 × 5
1×5+1×（-3）=2
所以x2+2x-15=（x-3）（x+5）。

例3 把5x2+6xy-8y2分解因式。
分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即
1 2
5 × -4
1×（-4）+5×2=6
解 5x2+6xy-8y2=（x+2y）（5x-4y）。
指出：原式分解为两个关于x，y的一次式。

例4 把（x-y）（2x-2y-3）-2分解因式。
分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先化简，进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解。
问：两个乘积的式子有什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便？
答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2（x-y），它是第一个因式的二倍，然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式，就可以用址字相乘法分解因式了。
解 （x-y）（2x-2y-3）-2
=（x-y）［2（x-y）-3］-2 1 -2
=2（x-y）2-3（x-y）-2 2 × +1
=［（x-y）-2］［2（x-y）+1］ 1×1+2×（-2）=-3
=（x-y-2）（2x-2y+1）。
指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法。

三、课堂练习
1．用十字相乘法因式分解：
（1）2x2-5x-12； （2）3x2-5x-2； （3）6x2-13x+5；
（4）7x2-19x-6； （5）12x2-13x+3； （6）4x2+24x+27。
2．把下列各式因式分解：
（1）6x2-13x+6y2； （2）8x2y2+6xy-35；
（3）18x2-21xy+5y2； （4）2（a+b）2+（a+b）（a-b）-6（a-b）2。
答案：1．（1）（x-4）（2x+3）； （2）（x-2）（3x+1）；
（3）（2x-1）（3x-5）； （4）（x-3）（7x+2）；
（5）（3x-1）（4x-3）； （6）（2x+3）（2x+9）。
2．（1）（2x-3y）（3x-2y）； （2）（2xy+5）（4xy-7）；
（3）（3x-y）（6x-5y）； （4）（3a-b）（5b-a）。

四、小结
1．用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式时，应注意以下问题：
（1）正确的十字相乘必须满足以下条件：
a1 c1
在式子 中，竖向的两个数必须满足关系a1a2=a，c1c2=c；在上式中，斜
a2 c2
向的两个数必须满足关系a1c2+a2c1=b，分解思路为“看两端，凑中间。”

（2）由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时，图的上一行两个数中，a1是第一个因式中的一次项系数，c1是常数项；在下一行的两个数中，a2是第二个因式中的一次项的系数，c2是常数项。
（3）二次项系数a一般都把它看作是正数（如果是负数，则应提出负号，利用恒等变形把它转化为正数），只需把经分解在两个正的因数。
2．形如x2+px+q的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式。
3．凡是可用代换的方法转化为二次三项式ax2+bx+c的多项式，有些也可以用十字相乘法分解因式，如例4。

五、作业
1．用十字相乘法分解因式：
（1）2x2+3x+1； （2）2y2+y-6； （3）6x2-13x+6； （4）3a2-7a-6；
（5）6x2-11xy+3y2； （6）4m2+8mn+3n2； （7）10x2-21xy+2y2；
（8）8m2-22mn+15n2。
2．把下列各式分解因式：
（1）4n2+4n-15； （2）6a2+a-35； （3）5x2-8x-13；
（4）4x2+15x+9； （5）15x2+x-2； （6）6y2+19y+10；
（7）20-9y-20y2； （8）7（x-1）2+4（x-1）（y+2）-20（y+2）2。

答案：
1．（1）（2x+1）（x+1）； （2）（y+2）（2y-3）；
（3）（2x-3）（3x-2）； （4）（a-3）（3a+2）；
（5）（2x-3y）（3x-y）； （6）（2m+n）（2m+3n）；
（7）（x-2y）（10x-y）； （8）（2m-3n）（4m-5n）。
2．（1）（2n-3）（2n+5）； （2）（2a+5）（3a-7）；
（3）（x+1）（5x-13）； （4）（x+3）（4x+3）；
（5）（3x-1）（5x+2）； （6）（2y+5）（3y+2）；
（7）-（4y+5）（5y-4）； （8）（x+2y+3）（7x-10y-27）。

课堂教学设计说明
1．为了使学生切实掌握运用十字相乘法把某些二次三项式因式分解的思路和方法，在教学设计中，先通过例1，较祥尽地讲解借助画十字交叉线分解系数的具体方法，在此基础上再进一步概括如何运用十字相乘法把二次三项式ax2+bx+c进行因式分解的一般思路和方法。只有使学生掌握了十字相乘法的一般法则，才能进一步指导解决各种具体的问题，这种从特殊到一般，再从一般到特殊的认识问题的过程，是符合学生的认识问题的过程。
2．对于借助画十字，用观察的方法，选择和确定合适的数组，把二次三项式运用十字相乘法分解因式，学生最初是有一定困难的。所以在教学中应循序渐进，首先讲解例1时，要求学生把分解二次项系数常数项的各种情况都画十字交叉线表示，运用观察的方法，从中选取合适的数组，然后归纳为一般情况，总结出一般的方法，再通过例2加以巩固。
当学生熟悉了这种方法，摸索出规律后，就会发现这是一种非常简单又好用的方法！