整式乘法与因式分解提高.doc

第十四章 整式乘法与因式分解
14-1【知识回顾】
一、【基础训练】
（一）幂的运算
1、同底数幂的乘法法则：（都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
2、幂的乘方法则：（都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
3、积的乘方法则：（是正整数）。积的乘方，等于各因数乘方的积。
4、同底数幂的除法法则：（都是正整数，且
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
5、零指数； （a≠0），即任何不等于零的数的零次方等于1。
6、总结：幂运算的变形

； （n为偶数）
； （n为奇数）

； （n为偶数）
； （n为奇数）

（二）单项式、多项式的乘除法运算：
7、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
8、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，
9、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。
10、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
11、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。
（三）课堂练习
1、下列各题中计算错误的是（ ）

2、化简x(y－x)－y(x－y)得（ ）
A、x2－y2 B、y2－x2 C、2xy D、－2xy
3、计算的结果是（ ）
A、 B、－ C、 D、－
4、在①a2n·an=a3n;②22·33=65;③32·32=81;④a2·a3=5a;⑤(－a)2(－a)3=a5中，计算正确的式子有( )
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
5、三个数中，最大的是（ ）
A、 B、 C、 D、不能确定
6、下列运算错误的是（ ）
A、 B、
C、 D、
7、已知，，，则、、的大小关系是（ ）
A、＞＞　 B、＞＞ C、＜＜ D、＞＞
8、若，，则等于（ ）
A、－5 B、－3 C、－1 D、1
9、边长为a的正方形，边长减少b以后所得较小正方形的面积比原来正方形的面积减少了（　　）
A、　　　 B、＋2ab C、2ab D、b(2a—b)
10、下面计算正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
二、【基础过关】
1、（1） ； （2）( )2002×(1.5)2003÷(－1)2004＝________.
2、（1）若，则= ； （2）已知am=2，an=3，则am+2n= .
3、（1） （2）
4、（1）(a－b)·(b－a)2m·(b－a)3=_____ （2）
5、（1）2x+1×3x-1=144，则x= ；（2）若，则= .
6、如果时， 代数式的值为2008，则当时，代数式的值是
三、【综合应用】
1、计算：（1）（103）3 （2）(－x4)7 （3）[（－x）4]7 （4）[(a-b)3]5·[(b-a)7]3

(5){[(-a)3]2}5 (6) -(-m3)2·[(-m)2]3 (7) [(-a-b)3]2 [-(a+b)2]3

2、（1）； （2）（x-y）3·（y-x）2·（y-x）5

3、已知，求的值

4、若52x+1=125，求（x－2）2005+x的值．

5、已知2a=3，2b=12，2c=6，试问a、b、c之间有怎样的关系？请说明理由．

6、有理数a, b,满足， 求+1的值

7、若的积中不含与项，
（1）求、的值； （2）求代数式的值；

14-2【知识回顾】
一、【基础训练】
（一）公式
1、平方差公式：注意平方差公式展开只有两项
公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。 如： =
2、完全平方公式：
完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号和前一个样。
公式的变形使用：（1）；
；
（2）三项式的完全平方公式：
（二）因式分解
1、提公因式法
（1）会找多项式中的公因式；公因式的构成一般情况下有三部分：
①系数一各项系数的最大公约数；
②字母——各项含有的相同字母；
③指数——相同字母的最低次数；
（2）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．
（3）注意点：
①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；
②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．
2、公式法
运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：
（1）平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b）
（2）完全平方公式： a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
（3）公式变形： ①位置变化：(x+y)(-y+x)
②符号变化：(-x+y)(-x-y)
③指数变化：(x2+y2)(x2-y2)4
④系数变化：(2a+b)(2a-b)
⑤换式变化：[xy+(z+m)][xy-(z+m)]
⑥增项变化：(x-y+z)(x-y-z)
⑦连用公式变化：(x+y)(x-y)(x2+y2)
⑧逆用公式变化：(x-y+z)2-(x+y-z)2
3、十字相乘法.
（1）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——进行分解。
特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数的乘积；③一次项系数是常数项的两因数的和。
练习1、分解因式(1) (2) (3)

（2）二次项系数不为1的二次三项式——
条件：（1）
（2）
（3）
分解结果：=

练习2、分解因式：（1） （2）

（3）二次项系数为1的齐次多项式
例1：
分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1 8b
1 -16b
8b+(-16b)= -8b
解：=
=
练习3、分解因式(1) (2) (3)

（4）二次项系数不为1的齐次多项式
例2、 例3、
1 -2y 把看作一个整体 1 -1
2 -3y 1 -2
(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3
解：原式= 解：原式=
练习4、分解因式：（1） （2）

（三）课堂练习
1、4a3+8a2+24a=4a( )
2、(a－3)(3－2a)= (3－a)(3－2a)
3、a3b－ab3=ab(a－b)( )
4、(1-a)mn+a－1=( )(mn－1)
5、0.0009x4=( )2
6、x2－( )+ =(x－ )2
7、( )a2-6a+1=( )2
8、x2－y2－z2+2yz=x2－( )=( )( )
9、2ax－10ay+5by－bx=2a( )－b( )=( )( )
10、x2+3x-10=(x )(x )
11、若m2－3m+2=(m+a)(m+b)，则a= ，b= ；
12、a2-bc+ab-ac=(a2+ab)－( )=( )( )
13、当m= 时，x2+2(m－3)x+25是完全平方式.
二、【基础过关】
1、若的运算结果是，则的值是（ ）
A、-2 B、2 C、-3 D、3
2、若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m的值等于（ ）
A、3 B、-5 C、7 D、7或-1
3、如图，矩形花园ABCD中，AB=，AD=，花园中建有一条矩形道路LMQP及一条平行四边形道路RSTK，若LM=RS=，则花园中可绿化部分的面积为（ ）
A、 B、
C、 D、
4、若为整数，则一定能被（ ）整除
A、2 B、3 C、4 D、5
5、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A、a²＋b² B、－a²＋b² C、－a²－b² D、－(－a²)＋b²
6、若9x²＋mxy＋16y²是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A、24 B、±24 C、12 D、±12
7、若a²＋a＝－1，则a4＋2a³－3a²－4a＋3的值为（ ）
A、8 B、7 C、10 D、12
8、已知x²＋y²＋2x－6y＋10=0，那么x，y的值分别为（ ）
A、x=1，y=3 B、x=1，y=－3 C、x=－1，y=3 D、x=1，y=－3
9、把(m²＋3m)4－8(m²＋3m)²＋16分解因式得（ ）
A、(m＋1)4(m＋2)²　　　　　　　 B、(m－1)²(m－2)²(m²＋3m－2)
C、(m＋4)²(m－1)²　　　　　　　 D、(m＋1)²(m＋2)²(m²＋3m－2)²
三、【综合应用】
1、符号变换: （1）(m+n)(x-y)+(m-n)(y-x) （2）-a2-2ab-b2

2、系数变换: （1）4x2-12xy+9y2 （2）

3、指数变换:（1）x4-y4 （2）a4-2a4b4+b4

4、展开变换:（1）a(a+2)+b(b+2)+2ab （2）x(x-1)-y(y-1)

5、拆项变换: （1）3a3-4a+1 （2）3a3+5a2-2

6、添项变换:（1）x2+4x-12 （2）x2-6x+8 （3）a4+4

7、综合练习
（1） （2） （3）

（4） （5） （6）

（7） （8）

★【能力提高】★
1、若M、N分别是关于的7次多项式与5次多项式，则M·N（ ）
A、一定是12次多项式 B、一定是35次多项式
C、一定是不高于12次的多项式 D、无法确定其积的次数
2、如果（x-4）（x+8）=x2+mx+n,那么m、n的值分别是（ ）
A、m= 4,n=32 B、m= 4,n=-32 C、m= -4,n=32 D、m= -4,n= -32
3、计算:27m÷9m÷3的值为（ ）
A、32m-1 B、3m-1 C、3m+1 D、3m+1
4、下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）
A、(x－2y)(2y+x) B、(x－2y)(－2y+x) C、(x+y)(y－x) D、(2x－3y)(3y+2x)
5、下列各式中计算正确的是（ ）
A、(a+b)(－a－b)=a2－b2 B、 (a2－b3)(a2+b3)=a4－b6
C、(－x－2y)(－x+2y)=-x2－4y2 D、(2x2+y)(2x2－y)=2x4－y4
6、已知a＜0,若－3an·a3的值大于零，则n的值只能是（ ）
A、奇数 B、偶数 C、正整数 D、整数
7、若n为正整数，则(-5)n+1÷[5·(－5)n]的结果为( )
A、5n+1 B、0 C、－5n+1 D、－1
8、计算（5×108）÷（4×103）的结果是（ ）
A、125 B、1250 C、12500 D、125000
9、长方形的面积为4a2－6ab+2a，若它的一边长为2a，则它的周长为（ ）
A、4a－3b B、8a－6b C、4a－3b+1 D、8a－6b+2
10、一个多项式除以2x－1，所得的商是x2+1，余式是5x，则这个多项式是( )
A、2x3－x2+7x－1 B、2x3－x2+2x－1 C、7x3－x2+7x－1 D、2x3+9x2－3x－1
11、－21999+（－2）2000分解因式的结果是（ ）
A、21999 B、－2 C、－21999 D、－1
12、将7张如图①所示的长为a、宽为b（a>b）的小长方形纸片，按如图②所示的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积之差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a、b应满足（ ）
A、a＝b B、a＝3b C、a＝b D、a＝4b

13、若4x3+2x2－2x+k能被2x整除，则常数k的值为（ ）
A、1 B、2 C、－2 D、0
14、两个连续奇数的平方差一定是（ ）
A、16的倍数 B、12的倍数 C、8的倍数 D、4的倍数
15、（1）(x－y)p·(y－x)2n·[－(x－y)3m]= ,（2）已知2x+2=m，用含m的代数式表示2x=
16、（1）xm·xn+7÷x3=______；（2）若xm+n÷xn=x3；则m= ； （3）8m÷4m= ；
17、要使(-2x2+mx+1)(-3x2)的展开式中不含x3项,则m=__________.
18、三个连续奇数，若中间一个为a，则他们的积为__________.
19、用平方差公式计算：1999×2001+1=__________
20、如果x+y=－1,x－y=-2009，那么x2－y2=__________
21、若a与b都是有理数，且满足a2+b2+5=4a-2b,则(a+b)2009=__________
22、（x－1）（x+1）（x2+1）（x4+1）=__________
23、计算：（1）0.252012×24024×0.256039×642013 （2）24×44×0.1254 （3）5022

(4) 1992 （5） 2004×2006－20052 （6）19992+1999－20002

24、已知a=－3，b=25，求a2013+b2013的末位数字是多少？

25、已知a3m=3，b3n=2，求（a2m）3+（bn）3－a2m·bn·a4m·b2n

26、（1）xa+b+c=35，xa+b=5，求xc的值。 （2）若x·xm·xn=x14,求m+n.

（3）若an+1·am+n=a6，且m-2n=1,求的值. （4）计算：x3·x5+x·x3·x4

27、已知9an-6b-2-n与-2a3m+1b2n的积与5a4b是同类项，求m，n的值.

28、有理数x、y满足︱x+y-3︱+(x-y+1)2=0，求(xy2)2· (x2y)2的值.

29、一个多项式与2x2y3的积为8x5y3－6x4y4+4x3y5－2x2y3，求这个多项式.

30、如果能被13整除，那么能被13整除吗？

31、试说明：代数式（2x＋3）（6x＋2）－6x（2x＋13）＋8（7x＋2）的值与x的取值无关.

32、设，求的值.

33、现规定一种运算，a※b=ab+a－b,求a※b+(b－a)※ b的值

☆【重要结论】☆
1、（1）1032 （2）1982 （3）19992-2000×1998

（4）． (5)212·(-0.5)11 (6)(-9)5×(-)5×( )5

2、设a＝192×918，b＝8882－302，c＝10532－7472，则数a、b、c按从小到大的顺序排列是_______．
3、(1)已知16m=4×22n-2,27n=9×3m+3,求m,n. (2)若n是正整数，且xn=6,yn=5,求(xy)2n.

（3）若xm·x2m=2，求x9m的值. （4）若a2n=3，求（a3n）4的值.

（5）计算(-3)2 n+1+3·(-3)2n . （6）已知am=2,an=3,求a2m+3n的值.

4、已知x+y=3,xy=40,求下列各式的值 （1）x2+y2 （2）(x-y)2

5、若(x2+nx+3)(x2－3x+m)的展开式中不含x2和x3项，求m、n的值.

6、已知a、b、c是△ABC的三边，且满足关系式a2+c2=2ab+2bc－2b2，试说明△ABC是等边三角形.

7、试求（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1的值.

8、已知︱a－2︱+(b－1)2=0,求－a(a2－2ab－b2)－b(ab+2a2－b2)的值

9、对于任意自然数n，都能被动24整除。

10、已知x＋y＝1，xy＝，求下面各式的值：
(1)x2y＋xy2； (2)(x2＋1)(y2＋1)．

11、下表为杨辉三角系数表的一部分，它的作用是指导读者按规律写出形如（为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出展开式中所缺的系数。

则
12、探索题：

．．．．．．
①试求的值
②判断的值的个位数是几？

13、先阅读材料，再解答下列问题：
我们已经知道，多项式与多项式相乘的法则可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示．例如：(2a＋b) (a＋b)＝2a2＋3ab＋b2就可以用图①或图②等图形的面积来表示．
(1)请写出图③所表示的代数恒等式：
(2)画出一个几何图形，使它的面积能表示(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc．
(3)请仿照上述方法写出另一个含a、b的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形．

14、（1）已知a2+b2=13，ab=6，求(a+b)2，(a-b)2的值。

变式练习：已知(a+b)2=8，(a-b)2=4，求a2+b2，ab的值。

（2）已知，，求的值。

变式练习：已知，，求的值。

（3）已知a－=3，求a2+的值。

变式练习：已知a2-5a+1=0，①求a+的值；②求a2+的值；

（4）已知a(a-1)-(a2-b)=2，求的值。

变式练习：已知，则= .

（5）已知x2+2y2+4x-12y+22=0，求x+y的值

变式练习：已知2x2+6xy+9y2-6x+9=0，求x+y的值

（6）已知：，，，
求的值。

变式练习：△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，判断△ABC的形状

（7）已知：x2-y2=6，x+y=3,求x-y的值。

变式练习:已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x2-z2的值。

※☆【章节测试】☆※
1、下列计算中正确的是(　　)．
A．a2＋b3＝2a5 B．a4÷a＝a4 C．a2·a4＝a8 D．(－a2)3＝－a6
2、(x－a)(x2＋ax＋a2)的计算结果是(　　)．
A．x3＋2ax2－a3 B．x3－a3 C．x3＋2a2x－a3 D．x3＋2ax2＋2a2－a3
3、下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的个数有(　　)．
①3x3·(－2x2)＝－6x5；②4a3b÷(－2a2b)＝－2a；③(a3)2＝a5；④(－a)3÷(－a)＝－a2.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4、已知被除式是x3＋2x2－1，商式是x，余式是－1，则除式是(　　)．
A．x2＋3x－1 B．x2＋2x C．x2－1 D．x2－3x＋1
5、下列各式是完全平方式的是(　　)．
A．x2－x＋ B．1＋x2 C．x＋xy＋1 D．x2＋2x－1
6、把多项式ax2－ax－2a分解因式，下列结果正确的是(　　)．
A．a(x－2)(x＋1) B．a(x＋2)(x－1) C．a(x－1)2 D．(ax－2)(ax＋1)
7、如(x＋m)与(x＋3)的乘积中不含x的一次项，则m的值为(　　)．
A．－3 B．3 C．0 D．1
8、若3x＝15,3y＝5，则3x－y等于(　　)．
A．5 B．3 C．15 D．10
9、计算(－3x2y)·()＝__________.
10、计算：＝__________.
11、计算：＝__________.
12、计算：(－a2)3＋(－a3)2－a2·a4＋2a9÷a3＝__________.
13、当x__________时，(x－4)0＝1.
14、若多项式x2＋ax＋b分解因式的结果为(x＋1)(x－2)，则a＋b的值为__________．
15、若|a－2|＋b2－2b＋1＝0，则a＝__________，b＝__________.
16、已知a＋＝3，则a2＋的值是__________．
17、计算：
(1)(ab2)2·(－a3b)3÷(－5ab)； (2)x2－(x＋2)(x－2)－(x＋)2； (3)[(x＋y)2－(x－y)2]÷(2xy)．

18、把下列各式因式分解：
(1)3x－12x3； (2)－2a3＋12a2－18a； (3)9a2(x－y)＋4b2(y－x)； (4)ab2-4ab+4a

19、先化简，再求值．
2(x－3)(x＋2)－(3＋a)(3－a)，其中，a＝－2，x＝1.

20、已知：a，b，c为△ABC的三边长，且2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．

21、在日常生活中，如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4－y4，因式分解的结果是(x－y)(x＋y)·(x2＋y2)，若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：(x－y)＝0，(x＋y)＝18，x2＋y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x3－xy2，取x＝10，y＝10时，请你写出用上述方法产生的密码．

22、将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义＝ad－bc，上述记号就叫做2阶行列式．若＝－20，求x的值．