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第十四章 整式乘法与因式分解14-1【知识回顾】一、【基础训练】（一）幂的运算1、同底数幂的乘法法则：（都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。2、幂的乘方法则：（都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。3、积的乘方法则：（是正整数）。积的乘方，等于各因数乘方的积。4、同底数幂的除法法则：（都是正整数，且同底数幂相除，底数不变，指数相减。5、零指数； （a0），即任何不等于零的数的零次方等于1。6、总结：幂运算的变形 ； （n为偶数） ； （n为奇数） ； （n为偶数） ； （n为奇数） （二）单项式、多项式的乘除法运算：7、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。8、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，9、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。10、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。11、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。（三）课堂练习1、下列各题中计算错误的是（ ） 2、化简x(yx)y(xy)得（ ）A、x2y2 B、y2x2 C、2xy D、2xy3、计算的结果是（ ）A、 B、 C、 D、4、在a2nan=a3n;2233=65;3232=81;a2a3=5a;(a)2(a)3=a5中，计算正确的式子有( ) A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 5、三个数中，最大的是（ ）A、 B、 C、 D、不能确定6、下列运算错误的是（ ） A、 B、C、 D、7、已知，则、的大小关系是（ ） A、 B、 C、 D、8、若，则等于（ ）A、5 B、3 C、1 D、19、边长为a的正方形，边长减少b以后所得较小正方形的面积比原来正方形的面积减少了（） A、 B、2ab C、2ab D、b(2ab)10、下面计算正确的是（ ） A、 B、 C、 D、二、【基础过关】1、（1） ； （2）( )2002(1.5)2003(1)2004_.2、（1）若，则= ； （2）已知am=2，an=3，则am+2n= .3、（1） （2）4、（1）(ab)(ba)2m(ba)3=_ （2） 5、（1）2x+13x-1=144，则x= ；（2）若，则= .6、如果时， 代数式的值为2008，则当时，代数式的值是 三、【综合应用】1、计算：（1）（103）3 （2）(x4)7 （3）（x）47 （4）(a-b)35(b-a)73 (5)(-a)325 (6) -(-m3)2(-m)23 (7) (-a-b)32 -(a+b)23 2、（1）； （2）（x-y）3（y-x）2（y-x）5 3、已知，求的值4、若52x+1=125，求（x2）2005+x的值5、已知2a=3，2b=12，2c=6，试问a、b、c之间有怎样的关系？请说明理由6、有理数a, b,满足， 求+1的值7、若的积中不含与项，（1）求、的值； （2）求代数式的值；14-2【知识回顾】一、【基础训练】（一）公式1、平方差公式：注意平方差公式展开只有两项公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。 如： = 2、完全平方公式：完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号和前一个样。公式的变形使用：（1）； ；（2）三项式的完全平方公式： （二）因式分解1、提公因式法（1）会找多项式中的公因式；公因式的构成一般情况下有三部分：系数一各项系数的最大公约数；字母各项含有的相同字母；指数相同字母的最低次数；（2）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项（3）注意点：提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“”号，使括号内的第一项的系数是正的2、公式法运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：（1）平方差公式： a2b2 （ab）（ab）（2）完全平方公式： a22abb2（ab）2 a22abb2（ab）2（3）公式变形： 位置变化：(x+y)(-y+x)符号变化：(-x+y)(-x-y)指数变化：(x2+y2)(x2-y2)4系数变化：(2a+b)(2a-b)换式变化：xy+(z+m)xy-(z+m)增项变化：(x-y+z)(x-y-z)连用公式变化：(x+y)(x-y)(x2+y2)逆用公式变化：(x-y+z)2-(x+y-z)23、十字相乘法.（1）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式进行分解。特点：二次项系数是1；常数项是两个数的乘积；一次项系数是常数项的两因数的和。练习1、分解因式(1) (2) (3)（2）二次项系数不为1的二次三项式条件：（1） （2） （3） 分解结果：=练习2、分解因式：（1） （2）（3）二次项系数为1的齐次多项式例1：分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：= =练习3、分解因式(1) (2) (3)（4）二次项系数不为1的齐次多项式例2、 例3、 1 -2y 把看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=练习4、分解因式：（1） （2）（三）课堂练习1、4a3+8a2+24a=4a( )2、(a3)(32a)= (3a)(32a)3、a3bab3=ab(ab)( )4、(1-a)mn+a1=( )(mn1)5、0.0009x4=( )26、x2( )+ =(x )27、( )a2-6a+1=( )28、x2y2z2+2yz=x2( )=( )( )9、2ax10ay+5bybx=2a( )b( )=( )( )10、x2+3x-10=(x )(x )11、若m23m+2=(m+a)(m+b)，则a= ，b= ；12、a2-bc+ab-ac=(a2+ab)( )=( )( )13、当m= 时，x2+2(m3)x+25是完全平方式.二、【基础过关】1、若的运算结果是，则的值是（ ） A、-2 B、2 C、-3 D、32、若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m的值等于（ ）A、3 B、-5 C、7 D、7或-13、如图，矩形花园ABCD中，AB=，AD=，花园中建有一条矩形道路LMQP及一条平行四边形道路RSTK，若LM=RS=，则花园中可绿化部分的面积为（ ）A、 B、C、 D、4、若为整数，则一定能被（ ）整除 A、2 B、3 C、4 D、55、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A、ab B、ab C、ab D、(a)b6、若9xmxy16y是一个完全平方式，那么m的值是（ ）A、24 B、24 C、12 D、127、若aa1，则a42a3a4a3的值为（ ）A、8 B、7 C、10 D、128、已知xy2x6y10=0，那么x，y的值分别为（ ）A、x=1，y=3 B、x=1，y=3 C、x=1，y=3 D、x=1，y=39、把(m3m)48(m3m)16分解因式得（ ）A、(m1)4(m2) B、(m1)(m2)(m3m2)C、(m4)(m1) D、(m1)(m2)(m3m2)三、【综合应用】1、符号变换: （1）(m+n)(x-y)+(m-n)(y-x) （2）-a2-2ab-b22、系数变换: （1）4x2-12xy+9y2 （2）3、指数变换:（1）x4-y4 （2）a4-2a4b4+b44、展开变换:（1）a(a+2)+b(b+2)+2ab （2）x(x-1)-y(y-1)5、拆项变换: （1）3a3-4a+1 （2）3a3+5a2-26、添项变换:（1）x2+4x-12 （2）x2-6x+8 （3）a4+47、综合练习（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8）【能力提高】1、若M、N分别是关于的7次多项式与5次多项式，则MN（ ）A、一定是12次多项式 B、一定是35次多项式C、一定是不高于12次的多项式 D、无法确定其积的次数2、如果（x-4）（x+8）=x2+mx+n,那么m、n的值分别是（ ）A、m= 4,n=32 B、m= 4,n=-32 C、m= -4,n=32 D、m= -4,n= -323、计算:27m9m3的值为（ ）A、32m-1 B、3m-1 C、3m+1 D、3m+14、下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）A、(x2y)(2y+x) B、(x2y)(2y+x) C、(x+y)(yx) D、(2x3y)(3y+2x)5、下列各式中计算正确的是（ ）A、(a+b)(ab)=a2b2 B、 (a2b3)(a2+b3)=a4b6C、(x2y)(x+2y)=-x24y2 D、(2x2+y)(2x2y)=2x4y46、已知a0,若3ana3的值大于零，则n的值只能是（ ）A、奇数 B、偶数 C、正整数 D、整数7、若n为正整数，则(-5)n+15(5)n的结果为( )A、5n+1 B、0 C、5n+1 D、18、计算（5108）（4103）的结果是（ ）A、125 B、1250 C、12500 D、1250009、长方形的面积为4a26ab+2a，若它的一边长为2a，则它的周长为（ ）A、4a3b B、8a6b C、4a3b+1 D、8a6b+210、一个多项式除以2x1，所得的商是x2+1，余式是5x，则这个多项式是( )A、2x3x2+7x1 B、2x3x2+2x1 C、7x3x2+7x1 D、2x3+9x23x111、21999+（2）2000分解因式的结果是（ ）A、21999 B、2 C、21999 D、112、将7张如图所示的长为a、宽为b（ab）的小长方形纸片，按如图所示的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积之差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a、b应满足（ ）A、ab B、a3b C、ab D、a4b13、若4x3+2x22x+k能被2x整除，则常数k的值为（ ）A、1 B、2 C、2 D、014、两个连续奇数的平方差一定是（ ）A、16的倍数 B、12的倍数 C、8的倍数 D、4的倍数15、（1）(xy)p(yx)2n(xy)3m= ,（2）已知2x+2=m，用含m的代数式表示2x= 16、（1）xmxn+7x3=_；（2）若xm+nxn=x3；则m= ； （3）8m4m= ；17、要使(-2x2+mx+1)(-3x2)的展开式中不含x3项,则m=_.18、三个连续奇数，若中间一个为a，则他们的积为_.19、用平方差公式计算：19992001+1=_20、如果x+y=1,xy=-2009，那么x2y2=_21、若a与b都是有理数，且满足a2+b2+5=4a-2b,则(a+b)2009=_22、（x1）（x+1）（x2+1）（x4+1）=_23、计算：（1）0.252012240240.256039642013 （2）24440.1254 （3）5022 (4) 1992 （5） 2004200620052 （6）19992+19992000224、已知a=3，b=25，求a2013+b2013的末位数字是多少？25、已知a3m=3，b3n=2，求（a2m）3+（bn）3a2mbna4mb2n26、（1）xa+b+c=35，xa+b=5，求xc的值。 （2）若xxmxn=x14,求m+n.（3）若an+1am+n=a6，且m-2n=1,求的值. （4）计算：x3x5+xx3x427、已知9an-6b-2-n与-2a3m+1b2n的积与5a4b是同类项，求m，n的值.28、有理数x、y满足x+y-3+(x-y+1)2=0，求(xy2)2 (x2y)2的值.29、一个多项式与2x2y3的积为8x5y36x4y4+4x3y52x2y3，求这个多项式.30、如果能被13整除，那么能被13整除吗？31、试说明：代数式（2x3）（6x2）6x（2x13）8（7x2）的值与x的取值无关.32、设，求的值.33、现规定一种运算，ab=ab+ab,求ab+(ba) b的值【重要结论】1、（1）1032 （2）1982 （3）19992-20001998 （4） (5)212(-0.5)11 (6)(-9)5(-)5( )52、设a192918，b8882302，c105327472，则数a、b、c按从小到大的顺序排列是_3、(1)已知16m=422n-2,27n=93m+3,求m,n. (2)若n是正整数，且xn=6,yn=5,求(xy)2n. （3）若xmx2m=2，求x9m的值. （4）若a2n=3，求（a3n）4的值.（5）计算(-3)2 n+1+3(-3)2n . （6）已知am=2,an=3,求a2m+3n的值.4、已知x+y=3,xy=40,求下列各式的值 （1）x2+y2 （2）(x-y)25、若(x2+nx+3)(x23x+m)的展开式中不含x2和x3项，求m、n的值.6、已知a、b、c是ABC的三边，且满足关系式a2+c2=2ab+2bc2b2，试说明ABC是等边三角形.7、试求（2+1）（22+1）（24+1）（22n+1）+1的值. 8、已知a2+(b1)2=0,求a(a22abb2)b(ab+2a2b2)的值9、对于任意自然数n，都能被动24整除。10、已知xy1，xy，求下面各式的值：(1)x2yxy2； (2)(x21)(y21)11、下表为杨辉三角系数表的一部分，它的作用是指导读者按规律写出形如（为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出展开式中所缺的系数。则12、探索题： 试求的值判断的值的个位数是几？13、先阅读材料，再解答下列问题：我们已经知道，多项式与多项式相乘的法则可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示例如：(2ab) (ab)2a23abb2就可以用图或图等图形的面积来表示 (1)请写出图所表示的代数恒等式： (2)画出一个几何图形，使它的面积能表示(abc)2a2b2c22ab2ac2bc(3)请仿照上述方法写出另一个含a、b的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形14、（1）已知a2+b2=13，ab=6，求(a+b)2，(a-b)2的值。变式练习：已知(a+b)2=8，(a-b)2=4，求a2+b2，ab的值。（2）已知，求的值。变式练习：已知，求的值。（3）已知a=3，求a2+的值。变式练习：已知a2-5a+1=0，求a+的值；求a2+的值；（4）已知a(a-1)-(a2-b)=2，求的值。变式练习：已知，则= .（5）已知x2+2y2+4x-12y+22=0，求x+y的值变式练习：已知2x2+6xy+9y2-6x+9=0，求x+y的值（6）已知：，求的值。变式练习：ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，判断ABC的形状（7）已知：x2-y2=6，x+y=3,求x-y的值。变式练习:已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x2-z2的值。【章节测试】1、下列计算中正确的是()Aa2b32a5 Ba4aa4 Ca2a4a8 D(a2)3a62、(xa)(x2axa2)的计算结果是()Ax32ax2a3 Bx3a3 Cx32a2xa3 Dx32ax22a2a33、下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的个数有()3x3(2x2)6x5；4a3b(2a2b)2a；(a3)2a5；(a)3(a)a2.A1个 B2个 C3个 D4个4、已知被除式是x32x21，商式是x，余式是1，则除式是()Ax23x1 Bx22x Cx21 Dx23x15、下列各式是完全平方式的是()Ax2x B1x2 Cxxy1 Dx22x16、把多项式ax2ax2a分解因式，下列结果正确的是()Aa(x2)(x1) Ba(x2)(x1) Ca(x1)2 D(ax2)(ax1)7、如(xm)与(x3)的乘积中不含x的一次项，则m的值为()A3 B3 C0 D18、若3x15,3y5，则3xy等于()A5 B3 C15 D109、计算(3x2y)()_.10、计算：_.11、计算：_.12、计算：(a2)3(a3)2a2a42a9a3_.13、当x_时，(x4)01.14、若多项式x2axb分解因式的结果为(x1)(x2)，则ab的值为_15、若|a2|b22b10，则a_，b_.16、已知a3，则a2的值是_17、计算：(1)(ab2)2(a3b)3(5ab)； (2)x2(x2)(x2)(x)2； (3)(xy)2(xy)2(2xy)18、把下列各式因式分解：(1)3x12x3； (2)2a312a218a； (3)9a2(xy)4b2(yx)； (4)ab2-4ab+4a19、先化简，再求值2(x3)(x2)(3a)(3a)，其中，a2，x1.20、已知：a，b，c为ABC的三边长，且2a22b22c22ab2ac2bc，试判断ABC的形状，并证明你的结论21、在日常生活中，如取款、上网等都需要密码有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆原理是：如对于多项式x4y4，因式分解的结果是(xy)(xy)(x2y2)，若取x9，y9时，则各个因式的值是：(xy)0，(xy)18，x2y2162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码对于多项式4x3xy2，取x10，y10时，请你写出用上述方法产生的密码22、将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义adbc，上述记号就叫做2阶行列式若20，求x的值