1、第十四章 整式乘法与因式分解14-1【知识回顾】一、【基础训练】(一)幂的运算1、同底数幂的乘法法则:(都是正整数)同底数幂相乘,底数不变,指数相加。2、幂的乘方法则:(都是正整数)幂的乘方,底数不变,指数相乘。3、积的乘方法则:(是正整数)。积的乘方,等于各因数乘方的积。4、同底数幂的除法法则:(都是正整数,且同底数幂相除,底数不变,指数相减。5、零指数; (a0),即任何不等于零的数的零次方等于1。6、总结:幂运算的变形 ; (n为偶数) ; (n为奇数) ; (n为偶数) ; (n为奇数) (二)单项式、多项式的乘除法运算:7、单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在
2、一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。8、单项式乘以多项式,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,9、多项式与多项式相乘,用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所的的积相加。10、单项式的除法法则:单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。11、多项式除以单项式的法则:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,在把所的的商相加。(三)课堂练习1、下列各题中计算错误的是( ) 2、化简x(yx)y(xy)得( )A、x2y2 B、y2x2 C、2xy D、2xy3、计算的结果
3、是( )A、 B、 C、 D、4、在a2nan=a3n;2233=65;3232=81;a2a3=5a;(a)2(a)3=a5中,计算正确的式子有( ) A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 5、三个数中,最大的是( )A、 B、 C、 D、不能确定6、下列运算错误的是( ) A、 B、C、 D、7、已知,则、的大小关系是( ) A、 B、 C、 D、8、若,则等于( )A、5 B、3 C、1 D、19、边长为a的正方形,边长减少b以后所得较小正方形的面积比原来正方形的面积减少了() A、 B、2ab C、2ab D、b(2ab)10、下面计算正确的是( ) A、 B、 C、 D、二、【基础
4、过关】1、(1) ; (2)( )2002(1.5)2003(1)2004_.2、(1)若,则= ; (2)已知am=2,an=3,则am+2n= .3、(1) (2)4、(1)(ab)(ba)2m(ba)3=_ (2) 5、(1)2x+13x-1=144,则x= ;(2)若,则= .6、如果时, 代数式的值为2008,则当时,代数式的值是 三、【综合应用】1、计算:(1)(103)3 (2)(x4)7 (3)(x)47 (4)(a-b)35(b-a)73 (5)(-a)325 (6) -(-m3)2(-m)23 (7) (-a-b)32 -(a+b)23 2、(1); (2)(x-y)3(y
5、-x)2(y-x)5 3、已知,求的值4、若52x+1=125,求(x2)2005+x的值5、已知2a=3,2b=12,2c=6,试问a、b、c之间有怎样的关系?请说明理由6、有理数a, b,满足, 求+1的值7、若的积中不含与项,(1)求、的值; (2)求代数式的值;14-2【知识回顾】一、【基础训练】(一)公式1、平方差公式:注意平方差公式展开只有两项公式特征:左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。 如: = 2、完全平方公式:完全平方公式的口诀:首平方,尾平方,首尾2倍中间放,符号和前一个样。公式的变形使用:(1);
6、 ;(2)三项式的完全平方公式: (二)因式分解1、提公因式法(1)会找多项式中的公因式;公因式的构成一般情况下有三部分:系数一各项系数的最大公约数;字母各项含有的相同字母;指数相同字母的最低次数;(2)提公因式法的步骤:第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并确定另一因式需注意的是,提取完公因式后,另一个因式的项数与原多项式的项数一致,这一点可用来检验是否漏项(3)注意点:提取公因式后各因式应该是最简形式,即分解到“底”;如果多项式的第一项的系数是负的,一般要提出“”号,使括号内的第一项的系数是正的2、公式法运用公式法分解因式的实质是:把整式中的乘法公式反过来使用;常用的公式:(1)平方差公
7、式: a2b2 (ab)(ab)(2)完全平方公式: a22abb2(ab)2 a22abb2(ab)2(3)公式变形: 位置变化:(x+y)(-y+x)符号变化:(-x+y)(-x-y)指数变化:(x2+y2)(x2-y2)4系数变化:(2a+b)(2a-b)换式变化:xy+(z+m)xy-(z+m)增项变化:(x-y+z)(x-y-z)连用公式变化:(x+y)(x-y)(x2+y2)逆用公式变化:(x-y+z)2-(x+y-z)23、十字相乘法.(1)二次项系数为1的二次三项式直接利用公式进行分解。特点:二次项系数是1;常数项是两个数的乘积;一次项系数是常数项的两因数的和。练习1、分解因式
8、(1) (2) (3)(2)二次项系数不为1的二次三项式条件:(1) (2) (3) 分解结果:=练习2、分解因式:(1) (2)(3)二次项系数为1的齐次多项式例1:分析:将看成常数,把原多项式看成关于的二次三项式,利用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解:= =练习3、分解因式(1) (2) (3)(4)二次项系数不为1的齐次多项式例2、 例3、 1 -2y 把看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解:原式= 解:原式=练习4、分解因式:(1) (2)(三)课堂练习1、4a3+8
9、a2+24a=4a( )2、(a3)(32a)= (3a)(32a)3、a3bab3=ab(ab)( )4、(1-a)mn+a1=( )(mn1)5、0.0009x4=( )26、x2( )+ =(x )27、( )a2-6a+1=( )28、x2y2z2+2yz=x2( )=( )( )9、2ax10ay+5bybx=2a( )b( )=( )( )10、x2+3x-10=(x )(x )11、若m23m+2=(m+a)(m+b),则a= ,b= ;12、a2-bc+ab-ac=(a2+ab)( )=( )( )13、当m= 时,x2+2(m3)x+25是完全平方式.二、【基础过关】1、若的
10、运算结果是,则的值是( ) A、-2 B、2 C、-3 D、32、若x2+2(m-3)x+16是完全平方式,则m的值等于( )A、3 B、-5 C、7 D、7或-13、如图,矩形花园ABCD中,AB=,AD=,花园中建有一条矩形道路LMQP及一条平行四边形道路RSTK,若LM=RS=,则花园中可绿化部分的面积为( )A、 B、C、 D、4、若为整数,则一定能被( )整除 A、2 B、3 C、4 D、55、下列各式中,能用平方差公式分解因式的是( )A、ab B、ab C、ab D、(a)b6、若9xmxy16y是一个完全平方式,那么m的值是( )A、24 B、24 C、12 D、127、若aa
11、1,则a42a3a4a3的值为( )A、8 B、7 C、10 D、128、已知xy2x6y10=0,那么x,y的值分别为( )A、x=1,y=3 B、x=1,y=3 C、x=1,y=3 D、x=1,y=39、把(m3m)48(m3m)16分解因式得( )A、(m1)4(m2) B、(m1)(m2)(m3m2)C、(m4)(m1) D、(m1)(m2)(m3m2)三、【综合应用】1、符号变换: (1)(m+n)(x-y)+(m-n)(y-x) (2)-a2-2ab-b22、系数变换: (1)4x2-12xy+9y2 (2)3、指数变换:(1)x4-y4 (2)a4-2a4b4+b44、展开变换:
12、(1)a(a+2)+b(b+2)+2ab (2)x(x-1)-y(y-1)5、拆项变换: (1)3a3-4a+1 (2)3a3+5a2-26、添项变换:(1)x2+4x-12 (2)x2-6x+8 (3)a4+47、综合练习(1) (2) (3)(4) (5) (6)(7) (8)【能力提高】1、若M、N分别是关于的7次多项式与5次多项式,则MN( )A、一定是12次多项式 B、一定是35次多项式C、一定是不高于12次的多项式 D、无法确定其积的次数2、如果(x-4)(x+8)=x2+mx+n,那么m、n的值分别是( )A、m= 4,n=32 B、m= 4,n=-32 C、m= -4,n=32
13、 D、m= -4,n= -323、计算:27m9m3的值为( )A、32m-1 B、3m-1 C、3m+1 D、3m+14、下列各式中不能用平方差公式计算的是( )A、(x2y)(2y+x) B、(x2y)(2y+x) C、(x+y)(yx) D、(2x3y)(3y+2x)5、下列各式中计算正确的是( )A、(a+b)(ab)=a2b2 B、 (a2b3)(a2+b3)=a4b6C、(x2y)(x+2y)=-x24y2 D、(2x2+y)(2x2y)=2x4y46、已知a0,若3ana3的值大于零,则n的值只能是( )A、奇数 B、偶数 C、正整数 D、整数7、若n为正整数,则(-5)n+15
14、(5)n的结果为( )A、5n+1 B、0 C、5n+1 D、18、计算(5108)(4103)的结果是( )A、125 B、1250 C、12500 D、1250009、长方形的面积为4a26ab+2a,若它的一边长为2a,则它的周长为( )A、4a3b B、8a6b C、4a3b+1 D、8a6b+210、一个多项式除以2x1,所得的商是x2+1,余式是5x,则这个多项式是( )A、2x3x2+7x1 B、2x3x2+2x1 C、7x3x2+7x1 D、2x3+9x23x111、21999+(2)2000分解因式的结果是( )A、21999 B、2 C、21999 D、112、将7张如图所
15、示的长为a、宽为b(ab)的小长方形纸片,按如图所示的方式不重叠地放在长方形ABCD内,未被覆盖的部分(两个长方形)用阴影表示,设左上角与右下角的阴影部分的面积之差为S,当BC的长度变化时,按照同样的放置方式,S始终保持不变,则a、b应满足( )A、ab B、a3b C、ab D、a4b13、若4x3+2x22x+k能被2x整除,则常数k的值为( )A、1 B、2 C、2 D、014、两个连续奇数的平方差一定是( )A、16的倍数 B、12的倍数 C、8的倍数 D、4的倍数15、(1)(xy)p(yx)2n(xy)3m= ,(2)已知2x+2=m,用含m的代数式表示2x= 16、(1)xmxn
16、+7x3=_;(2)若xm+nxn=x3;则m= ; (3)8m4m= ;17、要使(-2x2+mx+1)(-3x2)的展开式中不含x3项,则m=_.18、三个连续奇数,若中间一个为a,则他们的积为_.19、用平方差公式计算:19992001+1=_20、如果x+y=1,xy=-2009,那么x2y2=_21、若a与b都是有理数,且满足a2+b2+5=4a-2b,则(a+b)2009=_22、(x1)(x+1)(x2+1)(x4+1)=_23、计算:(1)0.252012240240.256039642013 (2)24440.1254 (3)5022 (4) 1992 (5) 2004200
17、620052 (6)19992+19992000224、已知a=3,b=25,求a2013+b2013的末位数字是多少?25、已知a3m=3,b3n=2,求(a2m)3+(bn)3a2mbna4mb2n26、(1)xa+b+c=35,xa+b=5,求xc的值。 (2)若xxmxn=x14,求m+n.(3)若an+1am+n=a6,且m-2n=1,求的值. (4)计算:x3x5+xx3x427、已知9an-6b-2-n与-2a3m+1b2n的积与5a4b是同类项,求m,n的值.28、有理数x、y满足x+y-3+(x-y+1)2=0,求(xy2)2 (x2y)2的值.29、一个多项式与2x2y3的
18、积为8x5y36x4y4+4x3y52x2y3,求这个多项式.30、如果能被13整除,那么能被13整除吗?31、试说明:代数式(2x3)(6x2)6x(2x13)8(7x2)的值与x的取值无关.32、设,求的值.33、现规定一种运算,ab=ab+ab,求ab+(ba) b的值【重要结论】1、(1)1032 (2)1982 (3)19992-20001998 (4) (5)212(-0.5)11 (6)(-9)5(-)5( )52、设a192918,b8882302,c105327472,则数a、b、c按从小到大的顺序排列是_3、(1)已知16m=422n-2,27n=93m+3,求m,n. (
19、2)若n是正整数,且xn=6,yn=5,求(xy)2n. (3)若xmx2m=2,求x9m的值. (4)若a2n=3,求(a3n)4的值.(5)计算(-3)2 n+1+3(-3)2n . (6)已知am=2,an=3,求a2m+3n的值.4、已知x+y=3,xy=40,求下列各式的值 (1)x2+y2 (2)(x-y)25、若(x2+nx+3)(x23x+m)的展开式中不含x2和x3项,求m、n的值.6、已知a、b、c是ABC的三边,且满足关系式a2+c2=2ab+2bc2b2,试说明ABC是等边三角形.7、试求(2+1)(22+1)(24+1)(22n+1)+1的值. 8、已知a2+(b1)
20、2=0,求a(a22abb2)b(ab+2a2b2)的值9、对于任意自然数n,都能被动24整除。10、已知xy1,xy,求下面各式的值:(1)x2yxy2; (2)(x21)(y21)11、下表为杨辉三角系数表的一部分,它的作用是指导读者按规律写出形如(为正整数)展开式的系数,请你仔细观察下表中的规律,填出展开式中所缺的系数。则12、探索题: 试求的值判断的值的个位数是几?13、先阅读材料,再解答下列问题:我们已经知道,多项式与多项式相乘的法则可以用平面几何图形的面积来表示,实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示例如:(2ab) (ab)2a23abb2就可以用图或图等图形的面积来表示
21、(1)请写出图所表示的代数恒等式: (2)画出一个几何图形,使它的面积能表示(abc)2a2b2c22ab2ac2bc(3)请仿照上述方法写出另一个含a、b的代数恒等式,并画出与之对应的几何图形14、(1)已知a2+b2=13,ab=6,求(a+b)2,(a-b)2的值。变式练习:已知(a+b)2=8,(a-b)2=4,求a2+b2,ab的值。(2)已知,求的值。变式练习:已知,求的值。(3)已知a=3,求a2+的值。变式练习:已知a2-5a+1=0,求a+的值;求a2+的值;(4)已知a(a-1)-(a2-b)=2,求的值。变式练习:已知,则= .(5)已知x2+2y2+4x-12y+22=
22、0,求x+y的值变式练习:已知2x2+6xy+9y2-6x+9=0,求x+y的值(6)已知:,求的值。变式练习:ABC的三边a,b,c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca,判断ABC的形状(7)已知:x2-y2=6,x+y=3,求x-y的值。变式练习:已知x-y=2,y-z=2,x+z=14。求x2-z2的值。【章节测试】1、下列计算中正确的是()Aa2b32a5 Ba4aa4 Ca2a4a8 D(a2)3a62、(xa)(x2axa2)的计算结果是()Ax32ax2a3 Bx3a3 Cx32a2xa3 Dx32ax22a2a33、下面是某同学在一次测验中的计算摘录,其中正确的个数有()3x
23、3(2x2)6x5;4a3b(2a2b)2a;(a3)2a5;(a)3(a)a2.A1个 B2个 C3个 D4个4、已知被除式是x32x21,商式是x,余式是1,则除式是()Ax23x1 Bx22x Cx21 Dx23x15、下列各式是完全平方式的是()Ax2x B1x2 Cxxy1 Dx22x16、把多项式ax2ax2a分解因式,下列结果正确的是()Aa(x2)(x1) Ba(x2)(x1) Ca(x1)2 D(ax2)(ax1)7、如(xm)与(x3)的乘积中不含x的一次项,则m的值为()A3 B3 C0 D18、若3x15,3y5,则3xy等于()A5 B3 C15 D109、计算(3x
24、2y)()_.10、计算:_.11、计算:_.12、计算:(a2)3(a3)2a2a42a9a3_.13、当x_时,(x4)01.14、若多项式x2axb分解因式的结果为(x1)(x2),则ab的值为_15、若|a2|b22b10,则a_,b_.16、已知a3,则a2的值是_17、计算:(1)(ab2)2(a3b)3(5ab); (2)x2(x2)(x2)(x)2; (3)(xy)2(xy)2(2xy)18、把下列各式因式分解:(1)3x12x3; (2)2a312a218a; (3)9a2(xy)4b2(yx); (4)ab2-4ab+4a19、先化简,再求值2(x3)(x2)(3a)(3a
25、),其中,a2,x1.20、已知:a,b,c为ABC的三边长,且2a22b22c22ab2ac2bc,试判断ABC的形状,并证明你的结论21、在日常生活中,如取款、上网等都需要密码有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆原理是:如对于多项式x4y4,因式分解的结果是(xy)(xy)(x2y2),若取x9,y9时,则各个因式的值是:(xy)0,(xy)18,x2y2162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码对于多项式4x3xy2,取x10,y10时,请你写出用上述方法产生的密码22、将4个数a,b,c,d排成2行、2列,两边各加一条竖直线记成,定义adbc,上述记号就叫做2阶行列式若20,求x的值