整式的乘法与因式分解知识点及例题.doc

整式乘除与因式分解
一．知识点 （重点）
1．幂的运算性质：
am·an＝am＋n （m、n为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．例：(－2a)2(－3a2)3

2．＝ amn （m、n为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．例： (－a5)5

3． （n为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积．例：(－a2b)3
练习：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）

4．＝ am－n （a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
例：（1）x8÷x2 （2）a4÷a （3）（ab）5÷（ab）2
（4）（-a）7÷（-a）5 （5） (-b) 5÷(-b)2

5．零指数幂的概念：
a0＝1 （a≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l．
例：若成立，则满足什么条件？

6．负指数幂的概念：a－p＝ （a≠0，p是正整数）
任何一个不等于零的数的－p（p是正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数．
也可表示为：（m≠0，n≠0，p为正整数）
7．单项式的乘法法则：
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
例：（1） （2）
8．单项式与多项式的乘法法则：
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
例：（1） （2）
（3） （4）

9．多项式与多项式的乘法法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
例：（1） （2） （3）

练习：
1．计算2x 3·(－2xy)(－xy) 3的结果是 2．(3×10 8)×(－4×10 4)＝
3．若n为正整数，且x 2n＝3，则(3x 3n) 2的值为 4．如果(a nb·ab m) 3＝a 9b 15，那么mn的值是
5．－[－a 2(2a 3－a)]＝ 6．(－4x 2＋6x－8)·(－x 2)＝
7．2n(－1＋3mn 2)＝ 8．若k(2k－5)＋2k(1－k)＝32，则k＝
9．(－3x 2)＋(2x－3y)(2x－5y)－3y(4x－5y)＝
10．在(ax 2＋bx－3)(x 2－x＋8)的结果中不含x 3和x项，则a＝ ，b＝
11．一个长方体的长为(a＋4)cm，宽为(a－3)cm，高为(a＋5)cm，则它的表面积为 ，体积为 。
12．一个长方形的长是10cm，宽比长少6cm，则它的面积是 ，若将长方形的长和都扩大了2cm，则面积增大了 。

10．单项式的除法法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
例：（1）28x4y2÷7x3y（2）-5a5b3c÷15a4b（3）（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y3

11．多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
例：

练习：
1．计算：
（1）；　　（2）；
（3）． （4）
（5）

2．计算：
（1）；　（2）
（3）

3．计算：
（1）； （2）．

4.若 (ax3my12)÷(3x3y2n)=4x6y8 , 则 a = , m = ,= ;

易错点：在幂的运算中，由于法则掌握不准出现错误；
有关多项式的乘法计算出现错误；
误用同底数幂的除法法则；
用单项式除以单项式法则或多项式除以单项式法则出错；
乘除混合运算顺序出错。

12．乘法公式：
①平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2
文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
②完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a－b）2＝a2－2ab＋b2
文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍．
例1： （1）(7+6x)(7−6x)； （2）(3y ＋ x)(x−3y)； （3）(−m＋2n)(−m−2n)．

例2： (1) (x+6)2 (2) (y-5)2 (3) (-2x+5)2

练习：
1、=_______。＝______________。
2、（_____________________）
3、；（______________）
4、已知，那么=_______；=_______。
5、若是一个完全平方式，那么m的值是__________。
6、多项式的公因式是_____________________。
7、因式分解：__________________________。
8、因式分解：____________________________。
9、计算：_____________________。
10、，则=_____________________

易错点：错误的运用平方差公式和完全平方公式。

13．因式分解（难点）
因式分解的定义．
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
掌握其定义应注意以下几点：
（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
（2）因式分解必须是恒等变形；
（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
 二、熟练掌握因式分解的常用方法．
1、提公因式法
（1）掌握提公因式法的概念；
（2）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；
（3）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．
（4）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．
例：（1） （2）

 2、公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
常用的公式：
①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
例：（1）　　　　　　　　　　（2）

（3）　　　　　（4）

练习：
1、若是完全平方式，则的值等于_____。 2、则=____=____
3、与的公因式是＿ 4、若=，则m=_______，n=_________。
5、在多项式中，可以用平方差公式分解因式的
有________________________ ，其结果是 _____________________。
6、若是完全平方式，则m=_______。
7、8、已知则
9、若是完全平方式M=________。10、，
11、若是完全平方式，则k=_______。12、若的值为0，则的值是________。
13、若则=_____。14、若则___。
15、方程，的解是________。

易错点：用提公因式法分解因式时易出现漏项，丢系数或符号错误；
分解因式不彻底。

中考考点解读：

整式的乘除是初中数学的基础,是中考的一个重点内容.其考点主要涉及以下几个方面：
考点1、幂的有关运算
例1．（2009年湘西）在下列运算中，计算正确的是（　　）
（A） （B）
（C） （D）
分析:幂的运算包括同底数幂的乘法运算、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法运算.幂的运算是整式乘除运算的基础,准确解决幂的有关运算的关键是熟练理解各种运算的法则.
解：根据同底数幂的乘法运算法则知，所以（A）错；根据幂的乘方运算法则知，所以（B）错；根据同底数幂的除法法则知，所以（C）错；故选（D）.
例2.（2009年齐齐哈尔）已知，，则____________．
分析:本题主要考查幂的运算性质的灵活应用，可先逆用同底数幂的乘法法则,将指数相加化为幂相乘的形式, 再逆用幂的乘方的法则,将指数相乘转化为幂的乘方的形式,然后代入求值即可.
解： .
考点2、整式的乘法运算
例3．（2009年贺州）计算： = ．
分析:本题主要考查单项式与多项式的乘法运算.计算时，按照法则将其转化为单项式与单项式的乘法运算,注意符号的变化.
解：＝＝.
考点3、乘法公式
例4. (2009年山西省)计算：
分析:运用多项式的乘法法则以及乘法公式进行运算，然后合并同类项.
解： =
==.
例5. (2009年宁夏)已知：，，化简的结果是　　　．
分析:本题主要考查多项式与多项式的乘法运算.首先按照法则进行计算,然后灵活变形，使其出现（）与，以便求值.
解：===.
考点4、利用整式运算求代数式的值
例6．（2009年长沙）先化简，再求值：，其中．
分析:本题是一道综合计算题,主要在于乘法公式的应用.
解：

当，时，.
考点5、整式的除法运算
例7. (2009年厦门)计算：[(2x－y)(2x＋y)＋y(y－6x)]÷2x
分析:本题的一道综合计算题,首先要先算中括号内的,注意乘法公式的使用,然后再进行整式的除法运算.
解：[(2x－y)( 2x＋y)＋y(y－6x)]÷2x
＝(4x2－y2＋y2－6xy)÷2x
＝(4x2－6xy)÷2x
＝2x－3y.
考点6、定义新运算
例8.（2009年定西）在实数范围内定义运算“”，其法则为：，求方程（43）的解．
分析:本题求解的关键是读懂新的运算法则，观察已知的等式可知，在本题中“”定义的是平方差运算，即用“”前边的数的平方减去 “”后边的数的平方.
解：∵ ， ∴ ．
∴ ． ∴ ．
∴ ．
考点7、乘法公式
例3（1）(2009年白银市) 当时，代数式的值是　　　　．
（2）(2009年十堰市) 已知：a+b=3，ab=2，求a2+b2的值.
解析：问题（1）主要是对乘法的平方差公式的考查.原式=x 2- y 2 +y 2= x 2 = 3 2=9.问题（2）考查了完全平方公式的变形应用，∵，∴.
说明：乘法公式应用极为广泛，理解公式的本质，把握公式的特征，熟练灵活地使用乘法公式，可以使运算变得简单快捷，事半功倍.
考点8、因式分解
例4（1）(2009年本溪市) 分解因式： ．
（2）(2009年锦州市) 分解因式：a2b-2ab2+b3=____________________.
解析：因式分解的一般步骤是：若多项式的各项有公因式，就先提公因式，然后观察剩下因式的特征，如果剩下的因式是二项式，则尝试运用平方差公式；如果剩下的因式是三项式，则尝试运用完全平方公式继续分解.
（1） x (y 2-9)= ．
（2）a2b-2ab2+b3= b(a2-2ab +b2) =b(a-b)2．
说明：分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.