1、高等数学测试(第三章)一. 选择题(每小题3分,共30分)1下列函数在上满足罗尔定理条件的是( )A B C D2曲线的拐点是( )A B C D3已知函数,则有( )实根A一个B两个C三个 D四个4设函数在内可导,则在内是函数在内单调增的( )A必要非充分条件 B充分非必要条件 C充要条件 D无关条件5如果,则( )A是函数的极大值 B是函数的极小值C不是函数的极值 D不能判定是否为函数的极值6下列说法正确的是( )A. 函数的极值点一定是函数的驻点 B. 函数的驻点一定是函数的极值点C. 二阶导数非零的驻点一定是极值点 D. 以上说法都不对7若在上有,则曲线在区间内是( )A单调减少且下凹
2、 B单调减少且上凹 C单调增加且上凹 D单调增加且下凹8曲线的垂直渐近线共有( )A一条B两条C三条D四条9设在点的某个邻域内存在,且为的极大值,则( )ABCD-10设在点的某个邻域内有定义,若,则在处( )A. 的导数存在且 B. 的导数不存在C. 取得极小值 D. 取得极大值二. 填空题(每小题3分,共15分)11函数在上满足拉格朗日定理的=_12函数的单调减少区间是_13函数的凹区间为_.14曲线上的拐点为_.15函数的垂直渐近线方程为_.三. 计算题(25分)16(5分)计算. 17(5分)计算.18(5分)计算. 19(10分)已知函数,讨论其单调性及极值.四. 应用题(每题10分
3、,共20分)20.(10分)某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成咋样的长方形才能使这间小屋的面积最大?21.(10分)某厂生产某产品,其固定成本为100元,每多生产一件产品成本增加6元,又知该产品的需求函数为.问产量为多少时,可使利润最大?最大利润是多少?五. 证明题(10分)22.(10分)当时,试证:.答案:一选择题15CBCBB610 DDAAD二. 填空题11 12 13.14 .15 三. 计算题16(5分)计算【解析】原式=17(5分)计算【解析】原式=.18(5分)计算【解析】令所以 原式=19(10分)已知函数,讨论其单调性及极值.【解析】函数
4、的定义域为,且在定义域内都有意义.03符号+0+-0+0令得驻点,,它们把定义域分成四个区间,列表如下:所以 函数单调减区间为,单调增区间为,. 在时取得极小值,无极大值.四.应用题(每题10分,共20分)20.(10分)某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成咋样的长方形才能使这间小屋的面积最大?【解析】设长方形小屋的长为米,宽为米,面积为平方米,如图所示则, 即有,令得唯一驻点,且,即是极大值点,即为最大值点,此时,故长方形小屋的长为10米,宽为5米,所围成小屋的面积最大.21.(10分)某厂生产某产品,其固定成本为100元,每多生产一件产品成本增加6元,又知该产品的需求函数为.问产量为多少时,可使利润最大?最大利润是多少?【解析】设产量为时,利润函数,则目标函数:,即,则,令,得,且此时.故是唯一的极值点,且为极大值点,即为最大值点,最大值.所以,该产品产量为200时,最大利润为300元.五.证明题(10分)22.(10分)当时,试证:.【证明】构造函数,它在区间内连续且可导,由拉格朗日中值定理知,至少存在,使得,即有,而有 ,所以 .