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第三章 微分中值定理习题课
一、判断题（每题3分）
1. 函数在点处可导，且在点处取得极值，那么.（ √ ）
2. 函数在点处可导，且，那么在点处取得极值.（ × ）
3. 若是的极值点，则是的驻点. ( × )
4. 函数在区间内的极大值一定大于极小值 . ( × )
5. 若,则在内单调增加 . （ √ ）
6. 且是函数在处取得极大值的充要条件. ( × )
7. 函数的图形没有拐点. （ √ ）
8. 因为函数在点不可导，所以点不是曲线的拐点.（ × ）
二、选择题（每题3分）
1.下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔定理条件的是（　D　）.
A． B．
C． D．
2．对于函数，满足罗尔定理全部条件的区间是（ D ）.
（A）； （B）； （C）； （D）
3. 设函数，则方程在 内根的个数（ D ）
(A) 0个 ; (B)至多1个; (C) 2个; (D)至少3个.
4．已知函数在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，使得该定理成立的（ D ）.
（A） （B） （C） （D）
5.若函数在区间上的导函数相等，则该两函数在上（ C ）.
A.不相等 　 B .相等 C.至多相差一个常数 　D.均为常数
6. 在定义域内( B ).
A. 单调减函数 B.单调增函数
C. 有单调增区间也有单调减区间 D. 没有单调性
7. 函数的单调减少区间是 （ C ）.
（A） （B） （C） （D）
8．设内，则曲线在内的曲线弧位于其上任一条切线的（ A ）.
（A）上方; （B）下方; （C）左方; （D）右方.
9.曲线的拐点为，则 （ A ）.
（A） （B）
（C） （D）
10. 设函数在开区间内有且，则在内（ C ）
A.单调增加，图像是凹的 B.单调减少，图像是凹的
C.单调减少，图像是凸的 D. 单调增加，图像是凸的
11．函数在区间内单调增加，则和应满足（ C ）.
（A）且； （B）且是任意实数；
（C）且； （D）且是任意实数.
12． 函数 在其定义域内（ B ）
（A）单调减少 (B) 单调增加
(C) 图形是凹的 (D) 图形是凸的
13．若为连续曲线上凹弧与凸弧的分界点，则（ A ）.
（A）必为曲线的拐点; （B）必为曲线的驻点;
（C）点必为曲线的极值点; （D）必为曲线的拐点.
14.函数的驻点是（ B ）.
（A） （B） （C） (D)
15．函数的极值（　　D　）.
A．是 B．是0
C．是 D．不存在

16.设＜0，则下述正确的是（ A ）
( A ) ＜＜; ( B ) ＜＜;
( C ) ＜＜; ( D ) ＜＜
17.设具有二阶连续的导数，且则是的
（ A ）
（A）极大值； （B）极小值; （C）驻点; （D）拐点.
18.设函数在处有=0,在处导数不存在，则( C ).
A. ,一定都是极值点 B.只有可以是极值点
C. , 都可能不是极值点 D. ,至少有一个是极值点
三、 解答题（求极限每题4分其余每题 8分）
1． 求极限

（2） =

（4）

.

解：

2． 验证罗尔中值定理对函数在区间上的正确性.
解：在闭区间上连续，在开区间内可导，满足罗尔定理条件. （3分）
令，得，满足罗尔定理结论.

3． 试证明对函数应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间.
证明：在区间上，
代入：
解得：.
4． 证明方程在之间有且仅有一个实根．
证明：令，，
所以 在上至少一个根，又，
当时，所以单增，因此在上至多有一个根.
在上有且仅有一个根.
5． 设在上连续，在内可导，且，证明：至少存在一个，使得. 提示:令
证明：令，显然在上连续，在内可导，
且 （3分）
由Larange中值定理，则至少，使得
又
6． 设在上连续，在内可导，且，证明存在一点，使得.提示:令 .
证明：构造辅助函数， 在上连续，在 内可导
在上连续，在内可导，
且
由Rolle定理，至少，有
即
7． 证明：不论b取何值，方程在区间上至多有一个实根
证：令时，故在区间上至多有一个实根.
8． 证明：当时，.
证明: 令，显然在上满足Lagrange中值定理的条件，由中值定理，至少存在一点，使得
即又即
9． 证明：当时，.
证：
,即有.
10． 求证：
证明：令
当时，
故在区间上，单调递增
从而当时，即
或者：
证明： ……8分
11． 当时，证明：.
答案参看课本p148 例6
12． 证明：当时，
答案参看课本P132 例1
13． 设，
证明:.
证明：
令，
显然在上满足lagrange定理条件，故至少存在一点，使得

即

又由及的单增性，得

14． 设，证明：
证明：令，在区间上连续，在区间内可导，有拉格朗日中值定理，至少存在一点，使得，又因为因此，.
15． 证明恒等式.
证：令
则在上连续.在内有:

令在内成立.
再根据在上的连续性,可知上式在上成立.
16． 求函数的极值点和单调区间.
解： 　　
因此，在定义域内有不可导点和驻点　　
列表

1

不存在

0

极小值点

极大值点

17． 求函数的单调区间，拐点及凹或凸的区间.
解：,
易得函数的单调递增区间为,单调减区间.
,令，得.
当时，，因此曲线在上是凸的；
当时，，因此曲线在上是凹的，
故是拐点
18． 试确定的值，使曲线在（）为一拐点，在处有极值，并求曲线的凹凸区间.
解：
为拐点，则
由，则 , 代入，则.

曲线为, .
凸区间为, 凹区间为.
19． 求函数的单调区间，拐点及凹或凸的区间.
解： ，
易得函数的单调递增区间为,单调减区间.
，
令，得.
当时，，因此曲线在上是凸的；
当时，，因此曲线在上是凹的，故是拐点
20． 求函数的单调区间，拐点及凹或凸的区间．
解：>0,因此单调增区间是,
，
令，得.
当时，，因此曲线在上是凹的；
当时，，因此曲线在上是凸的，
故是拐点
21． 求函数的拐点和凹凸区间.
解：
令，得，
列表 （4分）

拐点

拐点

22． 求函数的极值.
解：
令得驻点：.
当时，取得极小值，其值为.
当时，，取得极大值，其值为.
23． 求函数的极值.
解：

令，得
，故是极小值点. ， 无法用第二充分条件进行判定.
在的附近的左右两侧取值均有，故不是极值点.
在的附近的左右两侧取值均有，故不是极值点.
极小值
24． 求函数的极值点和单调区间.
解：
所以，驻点，，
列表

极大值

极小值

无极值

在处取得极大值
在处取得极小值
单调递增区间，单调递增区间
25． 试问为何值时，函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.
解：　　
　　　在处取得极值

即　　　

　　　所以它是极大值，极大值为
26． 求函数在区间上的最大值与最小值.
解：(舍去) ，故最大值为80，最小值为－1.
27．、某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20长的墙壁.问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？
解：设小屋长，宽，.
，
故小屋长10米，宽5米时，面积最大.
28.某厂每批生产产品单位的总费用为
（元），
得到的收入是
（元）.
问每批生产多少个单位产品时总利润最大？
解：
（单位）
，故单位时总利润最大.