高职高等数学教案第三章导数的应用.doc

第三章 导数的应用3-1 中值定理一、罗尔定理定理：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，则在内至少在一点，使得。几何意义：若连续曲线上处处具有不垂直于轴的切线且两端点的纵坐标相等，则在曲线上至少能找到一点，使曲线在该点处的切线平行于轴。例：验证在是否满足罗尔定理证：在上连续，在上可导则在上至少存在一点，使得即二、拉格朗日中值定理定理：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在内至少有一点，使得几何意义：若连续曲线除端点外处处有不垂直于轴的切线，则该曲线上至少有一点存在，使得该点处切线平行于两个端点连线。推论1：如果函数在区间上的导数恒为零，则在区间上是一个常数。推论2：如果与在区间上连续，在区间内可导，且，则有。例1：验证在上是否满足拉氏定理解：在上连续，在内可导因为，则在上至少存在一点，使得则，即例2：证明当时，证：设，由于，则在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，则有：，即 由，易推得三、柯西中值定理定理：如果函数及在闭区间上连续，在开区间内可导，且在内的每一点均不为零，则在内至少有一点，使得.三个定理的联系：罗尔定理通过推广可得拉氏定理，拉氏定理通过推广可得柯西定理。 柯西定理中令可得拉氏定理，拉氏定理中令可得罗尔定理。3-2 洛必达法则一、型和型未定式定理1：设满足以下条件（1）；（2）在点的某去心邻域内可导，且；（3）存在（或无穷大）则例1：求解：注：不是型，不能继续使用洛必达法则。例2：求解：例3：求解：定理2：设满足以下条件（1）；（2）在点的某去心邻域内可导，且；（3）存在（或无穷大）则例4：求解：例5：求解：二、其他未定式，型的未定式可以转化为型和型未定式。1.型例1：求解：2.型例2：求解：3.，型例3：求解：令，则，则例4：求解：例5：求解：总结：（1）每次使用洛必达法则，须检验是否为型和型 （2）应用洛必达法则后及时化简 （3）洛必达法则失效后，极限仍可能存在3-3 函数单调性与极值一、函数单调性的判定法 如果函数在上单调增加（单调减少），那么它的图像是一条上升（下降）的曲线。这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的），即。因此，函数的单调性与导数的符号存在关系。定理(函数单调性的判定法)：设函数在上连续，在内可导，(1)如果在内，那么函数在上单调增加；(2)如果在内，那么函数在上单调减少。证明：，令应用拉格朗日中值定理可得： 由于，则，即所以函数 在上单调增加。（同理可证单调减）注：1.上面定理中，区间若改为或无线区间，定理仍然成立。2.若函数的导数在有限个点处导数为零，其余各点处均为正（或负）时，函数在该区间仍为单调函数。如函数，导数为，除时，外，其他各点处均有，因此函数在区间及内都是单调增加的，从而在整个定义域内是单调增加的。例1：讨论函数的单调性解： 则函数在定义域内为的单调增函数例2：讨论函数的单调性解：定义域为 ，在处不可导 则，时，函数在上单调减少； 时，函数在上单调增加。注：导数不存在的点两边也可能出现不同的单调性。单调区间：使函数单调增或单调减的区间。单调区间的求法：如果函数在有导数 1.确定函数的定义域2.求导数，令求其根及使不存在的点，并由小到大排序3.将定义域划分为若干子区间4.判断每个子区间内的符号，从而判断单调性例3：确定函数的单调区间解：定义域为，-+-函数在区间和内单调减少，在区间上单调增加例4：确定函数的单调区间解：定义域为，+-+函数在区间和内单调增加，在区间上单调减少例5：证明当时，证明：令由，则有，即函数在单调增加则有，即得证二、函数的极值及其求法定义：设函数在的某一去心邻域内有定义，对于该邻域内异于 的点恒有：（1），则称为函数的极大值，为的极大值点；（2），则称为函数的极小值，为的极小值点。函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。注：函数的极大值和极小值概念是局部性的。如果是函数的一个极大（小）值，只是就附近的一个局部范围而言是的一个最大（小）值；如果就的整个定义域来说，不一定是最大（小）值。定理1(必要条件)：设函数在点处可导，且为极值，则驻点：使导数为零和使导数不存在的点。说明：1.函数的驻点不一定是极值点。如，导数为，但不是极值点。 2.导数不存在的点仍可能是极值点。如，处连续但不可导，但仍是该函数的极小值点。定理2(第一充分条件)：设函数在点的一个邻域内可导，且 (1) 如果时，；时，则函数在处取得极大值； (2) 如果时，；时，则函数在处取得极小值； (3)如果在的某一邻域内不改变符号，则函数在处无极值。求极值点和极值的步骤： (1)求出导数 (2)求出的全部驻点(3)列表考察符号变化情况例1：求函数的极值解：，12+0-0+2（极大）1（极小）极大值为，极小值为例2：求函数的极值解：，0+不存在-0+0（极大）-0.3（极小）极大值为，极小值为定理3(第二充分条件)：设函数在点处具有二阶导数，且，则 (1)当时，函数在处取得极大值；(2)当时，函数在处取得极小值；注：当时，利用第一充分条件判定例1：求函数的极值解：，则，即为极大值，即为极小值例2：求函数的极值解：，则，即为极大值例3：求函数的极值解：，则，即为极小值 ，因此需用第一充分条件判定-101-0-0+0+非0（极小）非三、最值问题 实际生活中经常遇到如何使用料最省、成本最低、效率最高等问题，这类问题在数学上归结为求函数的最值问题。最值的求法：求出在上所有的驻点，求这些驻点函数值与端点函数值，比较他们的大小得到最值。例1：求函数在上的最值解：，端点函数值则在上最大值为2，最小值为-4例2：求函数在上的最值解：，端点函数值则在上最大值为，最小值为最值的应用问题解法：函数有实际意义，在区间内极值总是唯一存在的，因此极值与最值相同。例3：求乘积为常数而其和最小的两个正数解：设为所求两个正数，表示两数之和由题意可得：，则，可推出已知为正数，所以，唯一驻点则即为所求例4：要做一个圆柱体有盖铁桶，其容积为，问其底半径与高之比为多少才能使所需铁皮最省？解：设底半径为，高为由题意可得：所需铁皮表面积为：，将上式代入可得：，可推出，唯一驻点，即铁皮最省，即时，所需铁皮最省3-4 曲线的凹凸性与拐点及函数图象的描绘一、曲线的凹凸与拐点定义1：设在区间上连续，对，（1）如果恒有，则称在上的图形是(向上)凹的（2）如果恒有，则称在上的图形是(向上)凸的x1 x 2 yx O f(x2) f(x1) x1 x 2 yx O f(x2) f(x1) 定义1 ：设函数在区间上连续，如果函数的曲线位于其上每一点切线的上方，则称该曲线在区间上是凹的；如果函数的曲线位于其上每一点切线的下方，则称该曲线在区间上是凸的。定理1：设在上连续，在内具有一阶和二阶导数，则在该区间上 (1)若，则在上的是凹的； (2)若，则在上的是凸的。例1：判断的凹凸性解：则曲线是凸的。例2：判断在上的凹凸性解：当时，则函数是凸的当时，则函数是凹的定义2：设函数在区间上连续，则曲线在该区间内的凹凸分界点，叫做曲线的拐点。定理2（拐点的必要条件）：若函数在处的二阶导数存在，且为曲线的拐点，则有。定理3：若函数在处，且在两侧的二阶导数符号不同，则为曲线的拐点。注：（1）二阶导数存在的条件下，拐点处，反之未必。如 （2）二阶导数不存在的点也可能是拐点。确定凹凸区间和拐点的步骤： (1)确定函数的定义域 (2)求出在二阶导数 (3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点 (4)列表判断出曲线凹凸区间和拐点例3：判断的凹凸性解：，0+0-0+拐点拐点则曲线在和是凹，在是凸，拐点为和例4：判断的凹凸性解：，-11-0+0-拐点拐点 则曲线在和是凸，在是凹，拐点为和例5：求的拐点解：函数的定义域为，没有二阶导数为零的点，二阶导数不存在的点为当时；当时，则点是曲线的拐点二、函数图象的描绘1.水平渐近线与垂直渐近线定义：如果曲线上一点沿着曲线趋向无穷远时，该点与某条直线的距离趋近于零，则该直线为曲线的渐近线。垂直渐近线：如果（或或），则称直线为的垂直渐近线。例1：求的垂直渐进线解：，则是的垂直渐进线例2：求的垂直渐近线解：则是的垂直渐进线水平渐近线：如果（或或），则称直线为的水平渐近线。例3：求的水平渐进线解：则是的水平渐近线例4：求的水平渐进线解：， 则是的水平渐近线2.函数图形的描绘描绘步骤：(1)确定函数的定义域，讨论其对称性及周期性(2)确定函数的单调性、极值点和极值(3)确定函数的凹凸性和拐点(4)确定函数的渐近线(5)确定函数与坐标轴的交点(6)作图描绘例1：描绘函数的图像解：定义域为，由得到函数为奇函数，图像关于原点对称 ；0+0-0+-0+极大拐点极小当时， 特殊点：， 描绘图像：Oxy例2：描绘函数的图像解：定义域为，由得到函数为偶函数，图像关于轴对称；-101+0-+-+0-0+拐点极大拐点由，曲线有水平渐近线 特殊点：，描绘图像：Oxy