高等数学电子教案第三章第十七讲微分及其在近似计算中的应用.doc

榆林職業技術學院技術學院神木校區课时教案首页
《高等数学》课程课时教案
课题名称
第十七讲 微分及其在近似计算中的应用
课 次
17
授课日期
11.20（1、2）
11.20（3、4）
11.20（5、6）
11.26（3、4）
授课班级
14热电1
14化工
14化设2
14煤化
授课地点
14热电1
14化工
14化设2
14煤化
教学目标
与
教学要求
1、理解微分的概念及几何意义；
2、熟练掌握基本初等函数的微分公式及运算法则；
3、会利用一阶微分形式的不变性求微分；
4、能利用微分进行近似计算。
重点难点
及
解决办法
重点: 利用求微分。
解决办法: 由于导数大部分同学会了，所以求微分就简单了。
难点：利用一阶微分形式的不变性求微分。
解决办法:多举例子，让学生理解不变性。
教学设计
引课：在许多实际问题中，不仅需要知道由自变量变化引起函数变化的快慢程度问题，而且还需要计算出自变量在其一点取得一个微小增量时，函数取得相应增量的大小，一般来说，计算函数值增量的精确值较为繁琐，实际中往往只需计算出函数值增量的近似值就可以了，微分概念就由此而产生。 5min
一、微分的定义 40min
边长为的正方形的面积 ，如果边长从增加到时，面积的增量为

包含两部分，和。相对比较
比小得多，而且

这样，当很小时，，而且。
对于一般的函数，当自变量从增加到时，函数增量

定义 设函数在某区间内有定义，及属于。如果函数的增量可表为

其中为与无关的常数，则说函数在处是可微的，称为函数在处的微分，记为，即

下面论述函数在处是可微的条件：如果函数在处是可微，则

从而

因此

即函数在处是可导，而且。
反之，如果函数在处是可导，即

因此得

为时的无穷小。即

综上，函数在处是可微等价于函数在处是可微，而且。
例1 求函数在和的微分
例2 求函数当，时的微分
如果函数在任意点都可微分，则在任意点的微分为

特别地，函数的微分为。因此，函数的微分为

二、微分的几何意义 10min
设函数，当自变量从增加到，相应的函数增量为

如图，函数在处的微分
为曲线的切线当从增加到时
的增量，即

三、微分公式与微分法则 40min
1．基本初等函数的微分公式
(1) （C为常数）； (2) ；
(3) ； (4) ；
(5) ； (6) ；
(7) ； (8) ；
(9) ； (10) ；
(11) ； (12) ；
(13) ； (14) ；
(15) ； (16) 。
2．函数的和、差、积、商的微分法则
(1) ； (2) ；
(3) （C为常数）； (4) 。
3．复合函数的微分法则
如果函数与都可导（可微），则复合函数可微，而且

由于，因此 。即对于函数，无论是自变量还是中间变量，微分形式保持不变，这个性质称为微分的形式的不变性。
例3 ，求
例4 ，求
例5 ，求
总结： 5min
1、微分概念 ；
2、微分的几何意义及应用；
课后作业
P75 73 74 76 86
教学反思

4