高等数学习题集-第二版-第三章.doc

第三章 中值定理与导数的应用
学习测试题答案
1. 填空题
(1),
.
(2) 函数在处连续，
。
(3)极值点处，或不存在或，由于为可导函数，所以只能有一种情况，即。
(4)在上可导，为的极值点，则。
。
(5) 为五阶多项式，为四阶多项式，至多有四个不同的实数根。由Rolle定理知，在，，，之间都至少有一个零点，即至少有四个不同的实根，所以有四个不同的实根。
(6)边际成本，，
，所以成本函数在处有最小值。
(7)由题，，
，

所以在处有最小值。
(8)为多项式函数，在有无穷阶导数，所以拐点处；拐点在曲线上，则；由题在拐点处的斜率为，则，所以

(9)由题，则无实根，所以由Rolle定理至多有一个实根，由题则由连续函数零值定理在之间至少有一个实根。所以只有一个实根。
(10)需求弹性为，所以，注意，所以得。

2. 选择题
(1) A: 在点不连续，因此不满足Rolle定理条件。
B：在点不可导，因此不满足Rolle定理条件。
C：在上连续，在内可导，且，因此满足Rolle定理条件。
D：在上连续，在内可导，但，因此不满足Rolle定理条件。
(2) 由题，由P100推论3.2得，是确定常数。
(3) 注意使用洛必达法则要求必须满足三个条件。
A：，由于不存在，所以不满足条件三，不能使用洛必达法则。
B：，由于不存在，所以不满足条件三，不能使用洛必达法则。
C：，不满足条件一，不能使用洛必达法则。
D：满足三个条件，可以使用洛必达法则。
(4)在点取得最小值，则或者可能在不可导，或者在可导且。
A项，B项既不是充分条件也不是必要条件，C项为充分条件但非必要条件。
(5)由题，所以在内严格单调递增的。
(6) 取为
A：，，但为极小值，即A不成立。
B：，，但为极大值，即B成立。
C：，，但不是的拐点，即C不成立。
D：，则不是的极值点，由A，B知可能为极值，也可能不是极值。
(7)由题，则可得在的某去心领域内，则在的某左领域内单调递减，在的某右领域内单调递减，所以一定不是的极值。
(8)由题若，则，所以当时，
若，则，所以当时。
则在内，单调递减，下凹。
(9)，所以为其水平渐近线，，所以为其垂直渐近线。
(10)由Lagrange定理的知，使得，由题，则在上为连续可导单调递增函数，
，即。
(11)由题，属于和之间，，
。
(12)A项，B项，D项需要在上连续，反例为，则在上满足题目条件，但不存在，使得或
或。
C项由在内连续的定义，明显可得。
(13) 不一定存在：如，，，
且，但不存在。
由洛比达法则，知存在，则。
(14)由题，所以为单调递减函数，所以，所以，。
(15)由题在上连续，，为的零点。 在点不可导，但在单调减，在单调增。
为的极小值点。在下凹，在上凹。 为的拐点。
(16)由题对一切满足，
，所以在点取最小值。
(17)由题为偶函数，，为奇函数。，又，所以当，在点取最小值，当，在点取最大值。
(18)由题，且
，
所以在点处取得最大值。
(19)，且
，
则有两条渐近线。
(20)极值点可能在闭区间端点处取得，如，函数图像为

所以极大值不一定是最大值，极小值不一定是最小值。（由最值求法知，最值可以在可能的极值点（导数为零的点，导数不存在的点）和端点处之中取得）

3. 计算题
(1)①

②

③

④

⑤

(2),因为不存在，则可能的极值点为或，又因为当时，，当时，，当时，，根据极值第一充分条件的在处取得极大值，在处取得极小值。在上单调递增，在上单调递减。
(3)，，而当时，，当时，，当时，，当时，。所以在 下凹，在上凹，为其拐点。
(4)对等式两边同时求导可得，所以当时，。
带入等式得，或（舍去） ，
，所以在点处取得极小值。
(5)由题，。所以当时，，当时，，当时，，当时，，可得在处取得极大值，极值为。当时，，当时，，所以拐点为。
，所以为函数的垂直渐近线。
，。
为函数的斜渐近线。
(6)，所以，
由此可得，当时，，当时， ，所以在上单调递减，在上单调递增。在处取得极小值，在处取得极大值
(7)由题，
所以且不存在。当时，，当时，，当时，，所以在 上凹，在下凹， 和为其拐点。
(8) 由题

。且
。
(9) 由题在上有定义，在处取得最小值，所以，由题。
(10)①当时，，为自然数时， 在有定义。，而
，所以在点处取得极大值。比较，得最大值。
②。

4. 证明题
(1)令，由题在上连续，在内可导，且，由Rolle定理知，至少存在一点，使得，即。
(2)由题在上连续，在内可导，且，由Rolle定理知，至少存在一点，使得，又因为在上连续，在内可导，且，由Rolle定理知，至少存在一点，使得。
(3)令，由题，则为严格单调递增函数，，当时，，即，当时，，即。
(4)令，由题在上连续，在内可导，由Lagrange 定理知，至少存在一点，使得，即
。
(5)题目有误应为求证：存在，使得。
由题在上连续，在内可导，由Lagrange定理知，至少存在一点，使得，在上连续，在内可导，由Lagrange定理知，至少存在一点，使得，由题在上连续，在内可导，由Lagrange定理知，至少存在一点，使得。得证。
(6)由题，在上连续，在内可导，由Lagrange定理知，至少存在一点，，因为单调递增且，则。所以，所以在上单调增加。
(7)①令，在上连续，可导，则在上连续，在内可导，由Lagrange定理知，至少存在一点，使得，即
。
②令，在上连续，可导，则对，在上连续，在内可导，由Lagrange定理知，至少存在一点，使得。
③令，则，当时，，即为上的严格单调递增函数，即。当时，，即为上的严格单调递减函数，即。综上当时，，即。
④令，则，所以为单调递减函数。又因为，所以当时，，即。
(8)令，则在上连续，在内可导，且，由Rolle定理知，至少存在一点，使得，即。
(9)令，由题在上连续，在内可导，且，则由Rolle定理知，至少存在一点，使得，即。
(10)原题目中需要加一个条件即在上连续可导。
对，令，若，则，由题在上连续，在内可导，且，则由Rolle定理知，至少存在一点，使得，即。若，不妨设，即，由题在，上连续，在，内可导，则由Lagrange定理知，存在，，使得，，由导数连续及闭区间上连续函数零值定理可知，存在，使得。综上总存在，使得，即。
(11)由题，在上连续，在内可导，且，则由Rolle定理知，至少存在一点，使得，则在和上连续，在和内可导，由Lagrange定理知，存在，，使得，，由二阶导数连续及闭区间上连续函数零值定理可知，存在，使得。
(12)令，由题，在上连续，在内可导，，所以由Cauchy定理知，至少存在一点，使得，即
(13)由Taylor公式知，存在，使得
，
，
，由在上有连续的三阶导数，得在上连续，则由连续函数介值定理性质（或如书上P50 例8）知，存在，使得。

5. 应用题
(1)由题边际收益为，边际利润为，则时，且，所以当利润最大为（最后的计算结果需要使用定积分的内容，将在第六章涉及）。
(2)①由题，总成本函数。
总收益函数。
②总利润函数。边际利润为，当时，，并且，所以当时，总利润最大。
③
(3)由题，总成本函数为，总收益函数为，总利润函数。边际利润为，当时，，并且，所以当时，总利润最大为。
(4)①当时，总成本函数为，平均成本，边际成本。
②平均成本函数为，则，则当时，，且，所以当，平均成本最小。
(5) ①总收益函数为，边际收益函数为，当时，，且，所以当时，总收益最大为。
②需求弹性为。
③收益弹性为
。
(6)设每次的批量为，则进货的手续费为，库存所需费用为，总费用为，则，则当时，，且，所以当时总费用最少，进货次数为次。
(7)总成本函数为，
总收益函数为
利润函数为，所以，则当时，且，则当时利润最大为。
(8) ①需求函数为
②当时，。
(9)总成本函数为，
总收益函数，
所以利润函数为
，
则，所以当时，且，则当时利润最大，即当产量为475台时企业年利润最大。
(10) ①总平均成本为，则，当时，且，当时，平均成本有极小值。
②总成本为，则，，当（舍去）或时，，且当时，，当时，，所以总成本曲线的拐点为。