1、
高等数学测试（第三章）
一. 选择题（每小题3分，共30分）
1．下列函数在上满足罗尔定理条件的是（ ）
A． B． C． D．
2．曲线的拐点是（ ） A． B． C． D．
3．已知函数，则有（ ）实根
A．一个 B．两个 C．三个 D．四个
4．设函数在内可导，则在内是函数在内单调增的（ ）
A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．无关条件
5．如果，则（ ）
A．是函数的极大值 B．是函数的极小值
C．不是
2、函数的极值 D．不能判定是否为函数的极值
6．下列说法正确的是（ ）
A. 函数的极值点一定是函数的驻点 B. 函数的驻点一定是函数的极值点
C. 二阶导数非零的驻点一定是极值点 D. 以上说法都不对
7．若在上有，则曲线在区间内是（ ）
A．单调减少且下凹 B．单调减少且上凹 C．单调增加且上凹 D．单调增加且下凹
8．曲线的垂直渐近线共有（ ）A．一条 B．两条 C．三条 D．四条
9．设在点的某个邻域内存在，且为的极大值，则（ ）A．０ B．１ C．２ D．-２
10．设在点的某个邻域内有定义，若，则在处（
3、 ）
A. 的导数存在且 B. 的导数不存在
C. 取得极小值 D. 取得极大值
二. 填空题（每小题3分，共15分）
11．函数在上满足拉格朗日定理的=________．
12．函数的单调减少区间是________．
13．函数的凹区间为_______________.
14．曲线上的拐点为_______________.
15．函数的垂直渐近线方程为_______________.
三. 计算题（25分）
16．（5分）计算. 17．（5分）计算.
4、
18．（5分）计算. 19．（10分）已知函数，讨论其单调性及极值.
四. 应用题（每题10分，共20分）
20.（10分）某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20米长的墙壁，问应围成咋样的长方形才能使这间小屋的面积最大？
21.（10分）某厂生产某产品，其固定成本为100元，每多生产一件产品成本增加6元，又知该产品的需求函数为.问产量为多少时，可使利润最大？最大利润是多少？
五. 证明题（10分）
22.（10分）当时，试证：.
5、
答案：
一．选择题1—5 CBCBB 6－10 DDAAD
二. 填空题11． ．12． ．13．.14． .15． ．
三. 计算题
16．（5分）计算
【解析】原式=
17．（5分）计算
【解析】原式=.
18．（5分）计算
【解析】令
所以 原式=．
19．（10分）已知函数，讨论其单调性及极值.
【解析】函数的定义域为，且在定义域内都有意义.
0
3
符号
+
0
+
-
0
+
0
令得驻点，,它们把定义域分成四个区间，列表如下：
所以 函数单调减区间为，单
6、调增区间为，.
在时取得极小值，无极大值.
四.应用题（每题10分，共20分）
20.（10分）某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20米长的墙壁，问应围成咋样的长方形才能使这间小屋的面积最大？
【解析】设长方形小屋的长为米，宽为米，面积为平方米，如图所示
则， 即有，
令得唯一驻点，且,即是极大值点，即为最大值点，此时，
故长方形小屋的长为10米，宽为5米，所围成小屋的面积最大.
21.（10分）某厂生产某产品，其固定成本为100元，每多生产一件产品成本增加6元，又知该产品的需求函数为.问产量为多少时，可使利润最大？最大利润是多少？
【解析】设产量为时，利润函数,则目标函数：
,即,则，令，得，且此时.故是唯一的极值点，且为极大值点，即为最大值点，最大值.所以，该产品产量为200时，最大利润为300元.
五.证明题（10分）
22.（10分）当时，试证：.
【证明】构造函数，它在区间内连续且可导，由拉格朗日中值定理知，至少存在，使得，即有
，
而有 ，
所以 .
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