七下3三角形全章导学案.doc

3.1认识三角形(1)【学习目标】1认识三角形，能用符号语言表示三角形，并把三角形分类2知道三角形三边不等的关系3懂得判断三条线段能否构成一个三角形的方法，并能用于解决有关的问题【学习重点】知道三角形三边不等关系【学习过程】一、探索思考知识点一：三角形概念及分类（1） 三角形概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形。如图，线段AB、_、_ 是三角形的边；点A、_、_是三角形的顶点; ABC、_、_ 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。图中三角形记作 ABC。（2）三角形按角分类可分为_、_、_。练习一： 1、如图2下列图形中是三角形的有_？ 图22、图3中有几个三角形？用符号表示这些三角形教师备课札记知识点二：知道三角形三边的不等关系，并判断三条线段能否构成三角形1、 画一个ABC，分别量出AB，BC，AC的长，并比较下列各式的大小：AB=_cm, BC=_cm, CA=_cm;AB+BC_AC AB+ AC _ BC AC +BC _ AB 从中你可以得出结论： 三角形任意两边之和_第三边问题：三角形任意两边之差与第三边长度比较大小？AB-AC_BC, AC-BC_AB, AB-BC_AC由上面得到结论：三角形任意两边之差_第三边练习二：1、下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1）3，4，8； （2）5，6，11； （3）5，6，102、有四根木条，长度分别是12cm、10cm、8cm、4cm，选其中三根组成三角形， 能组成三角形的个数是_个。3如果三角形的两边长分别是3和5，那么第三边长可能是（ ）A、1 B、9 C、3 D、104、 一个三角形有两条边相等，周长为20cm，三角形的一边长6cm，求其他两边长。二、当堂反馈 1、 一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长是（ ）A、7 B、9 C、12 D、9或122、若三角形的周长是60cm，且三条边的比为3：4：5，则三边长分别为_.3、（选做）若ABC的三边长都是整数，周长为11，且有一边长为4，则这个三角形可能的最大边长是_.4、（选做）已知线段3cm,5cm,xcm,x为偶数，以3，5，x为边能组成_个三角形。三、课堂小结：本节课你学到了那些知识？ 3.1 认识三角形（二）导学案 【学习目标】：1、 理解三角形三个内角的和等于180o。 【导学部分】：活动一： 用量角器测量三角形ABC的三个内角， A=_，B=_，C= ， A+B+C= 活动二：做一个三角形纸片，它的三个内角分别为1，2和3AAB22A132 D BC BC图1 图2（如图2）将1撕下摆放，1的顶点与2的顶点重合。观察：AB与CD的位置关系 思考：A+B+C= 。在撕纸的过程中，发现三角形内角和定理的证明方法已知：ABC注意：原图中没有的线，因为解题的需要而添加，这样的线我们叫做辅助线。我们规定辅助线画为虚线。过C作CEAB就是本题辅助线的作法，在证明中，它可以作理论依据。求证：A+B+ACB=180证明：过C作AB的平行线CE CEAB（辅助线的作法） A ACE（两直线平行，内错角相等）又 ABCE B+BCE= （两直线平行，同旁内角互补） A+B+ACB=180你还有其它的证明方法吗？证明： 过A作BC的平行线AE，如右图，AEBC2= （两直线平行 角相等） 1= （两直线平行 角相等）又1+BAC+2= （平角的定义） + BAC+ = 定理：三角形的内角和为 几何表示：在ABC中，A+B+C= 。活动三：如右图，已知ABBC直角三角形ABC记作_,读作“RT三角形ABC”。它的斜边是_，直角边是_。思考A+B=_.证明： 在RTABC中， A+B+C=180又B=90 A+B=_.定理：直角三角形两个锐角 【达标检测】如图：已知CDAB，DFAC1.图中有_个直角三角形,它们是RtCDB、_ 2.在RtACD，两锐角是_，它们俩互_， 斜边是_,直角边是_,【课堂探究】：1、在ABC中 (1)若A=45，B=30，则C= .变式1：在 ABC中，A=45，B= 2C，求B、 C的度数。变式2：在 ABC中，A=B= 2C，求B、 C的度数。变式3：在 ABC中，A+ B = C ，求C的度数。 3.1 认识三角形（三）导学案 【学习目标】：1.三角形的角平分线、中线的定义。【导学部分】： （二）探索新知活动一:1、已知如图，AD是ABC的平分线，思考： = = ，若BAC=800，则BAD= ，CAD= 。2已知如图，AD是ABC中BC是的中线，则思考：BD DC BC，若BC=8cm，则BD= ，CD= 。SABD SADC SABC，活动二:1、请在EFG中画出三个角的平分线，在IHJ中画出三条中线。猜测：三条角平分线之间有怎样的位置关系？三条中线之间有怎样的位置关系？2、每人准备锐角三角形、钝角三角形、直角三角形纸片个两个，、用折纸的方法得到三角形三条角平分线、用折纸的方法得到三角形三条中线观察：三角形三条角平分线、三条中线有怎样位置关系？结论：三角形的三条角平分线交于 点，三条中线交于 点。【课堂探究】例1：如图1，RtABC中，A=90，C=40，BD是角平分线，求ADB，CBA的度数。 解 CBA=50 BD是 线ABD=25 ADB=90-ABD=90- = 变式训练：如图，ABC中，ABC=C，BD是ABC的平分线，BDC=87，求A的度数。例2，如图4，若BC是RtADB中DA边上的中线，D=90，AB=2BD，且BDC的周长是7， 比ABC的周长少2，求BD，BA的长。 解： BC是RtADB中DA边上的中线， DC= BDC的周长比ABC的周长少2 （AB+BC+CA）-（BD+BC+DC）=2 即AB-BD=2 又AB=2BD 2BD-BD=2 BD= BA=2BD= 变式训练：在ABC中，AB=AC，中线BD把这个三角形的周长分成15 和16两部分，求BC边的长。【课后练习】1、 如图，在ABC中，AD是BAC的平分线，已知 B=300，C=400，则BAD= 度。2、 已知ABC中，AC=5cm。中线AD把ABC分成两个小三角形，且ABD的周长比ADC的周长大2cm。你能求出AB的吗？ 若将条件变为：“这两个小三角形的周长的差 是2cm”，你能求出AB的长吗？已知ABC中，AD是ABC的中线，AC=8cm，AB= 5cm，求ADC与ABD的周长差？3、如图，在ABC中，BD、CD分别是ABC、ACB的平线。（1）若ABC=600，ACB=500，求BDC的度数。（2）若A=600，求BDC的度数。3.1 认识三角形（四）导学案【学习目标】： 1、经历折纸和画图等实践过程，认识三角形的高； 2、会画任意三角形的高； 【导学部分】：（一）、知识链接1、垂线：如果两直线相交成90(直角),则两直线互相 ，其中一条直线是另一条直线的 。2、分别过A、B、两点作直线a的垂线 A a B （二）、探索新知 1、高线的叙述 ： AD是ABC的 边上的高。 AD BC垂足为D = =90 三角形BC边上的高AD是 (线段 射线 直线) 2、三角形高线的定义：_3、识别三角形的高: 如图 ABC中:BC边上的高_;AB边上的高_; AC边上的高 4、画高线:用三角尺分别画出图中锐角ABC，直角DEF，钝角PQR的各边上的高。 问题：一个三角形有几条高？（1）锐角三角形的三条高都在三角形的 ，垂足在相应顶点的对边上且三条高相交于 点；（2）直角三角形的斜边上的高在三角形的 ，一条直角边上的高是另一条直角边，三条高相交于 ；（3）钝角三角形的钝角所对的边上的高在三角形的 ，另两条边上的高均在三角形的 ，三条高的延长线也相交于 点。 结论：三角形的三条高所在的直线交于 点。【课堂探究】例1：如图，在ABC中，AE，AD分别是高线和角平分线，已知BAC=800，C=380，求DAE的度数【课后练习】1、下列各组图形中，哪一组图形中AD是ABC 的高( ) 2、下列说法正确的是（ ） A、三角形的三条高线都在三角形内部 B、三角形的高线、中线、角平分线都是线段 C、三角形高线是垂线D、三角形角平分线是射线3已知：ACB=90，CD是ABC的高线A=30求：ACD、 BCD 4、已知：ACB=90 CDAB AB=13 BC=12AC=5 求：（1）SABC （2）CD长 3.2图形的全等学习目标 : 1知道什么是全等形、全等三角形；2会用符号正确地表示两个三角形全等；3掌握全等三角形的性质.自主学习: 阅读课本P73-74内容，回答课本思考问题，并完成下面填空：一、全等形、全等三角形的概念1 能够完全重合的两个图形叫做 .全等图形的特征：全等图形的 和 都相同.2能够完全重合的两个三角形叫做 .二、全等三角形的对应元素及表示完成下面填空：1 平移 (平行移动) 翻折 旋转 启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后， 变化了，但 、 都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形 ，这也是我们通过运动的方法寻全等的一种策略2全等三角形的对应元素（1）对应顶点（三个）-重合的顶点 （2）对应边（三条）- 重合的边 （3）对应角（三个）- 重合的角请同学们写出上图甲、乙、丙的对应顶点、对应边、对应角图甲： 对应边是： 对应顶点是： 对应角是： 图乙：对应边是： 对应顶点是： 对应角是： 图丙：对应顶点是： 对应边是： 对应角是： 3“全等”用“”表示，读作“全等于”(1)如图甲记作:ABCDEF 读作:ABC全等于DEF(2)如图乙记作: 读作: (3)如图丙记作: 读作: 注意：两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.三、全等三角形的性质全等三角形的性质:全等三角形的 相等， 相等.练习1.如图1，OCAOBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角 图1 图22.如图2，已知ABEACD，ADE=AED，B=C，指出其他的对应边和对应角课堂小结 本节课你有哪些收获？巩固练习1.下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角. （1） （2） （3）2.如图，ABEACD，AB与AC，AD与AE是对应边，已知：A=43，B=30，求ADC的大小. 3.3探索三角形全等的条件(一):sss学习目标1理解三边对应相等的两个三角形全等的内容2会运用“边边边”条件证明两个三角形全等3. 会作一个角等于已知角.自主学习一、课前准备1. 叫做全等三角形2.全等三角形的 和 相等3.将ABC沿直线BC平移，得到DEF， 说出你得到的结论，说明理由？ 如果AB=5, A=55, B=45,那么DE= ，F= .二、自主探究自主探究三角形全等的条件：阅读课本P78,回答下面问题：（1） 只给一个条件对应相等的两个三角形一定全等吗？只给一条边时；333cm只给一个角时；454545（2）如果给出两个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？给出两个角时；给出两条边时；给出一条边和一个角时；（3）由上面的几种情景，两个三角形满足一个或两个条件时，它们一定全等吗？（4）如果两个三角形有三个条件对应相等，这两个三角形全等吗？我们也可以分情况讨论，有哪几种情况？我们先来探究两个三角形三个角相等的情况：300700800300800700我们再来探索两个三角形三条边相等的情况:画出一个三角形，使它的三边长分别为4cm、 5cm、7cm ,把你画的三角形与小组内画的进行比较，它们一定全等吗？上面的探究反映了什么规律？阅读课本P79,回答下面问题： 的两个三角形全等，简写为“ ”或“ ”巩固练习(注意:学习“边边边”证明两个三角形全等的格式)1. 如图，AB=AD，BC=CD，求证： （1）ABCADC （2）B=D ABCD 证明： （1）在ABC和ADC中 ( ) ( ) （公共边）ABCADC（ ） （2）ABCADC B=D（ ）2.完成下面的证明过程： 如图，OAOB，ACBC.求证：AOCBOC. 证明：在_和_中， （SSS）.AOCBOC（ ）.3.右图已知：AE=DE,EB=EC,AB=CD, ACB=30.求：DBC 的度数.解：AE=DE, = （已知）AE+EC= + （等式的性质）即 =BD在ABC和DBC中：AB = （ ） = BD （已证）BC = （ ） （ ）ACB = （全等三角形 相等）ACB =30 DBC = 4已知：如图，A、B、E、F在一条直线上，且AC=BD，CE=DF，AF=BE。 求证：ACEBDF5、已知：如图，B、E、C、F在一条直线上，且BE=CF，AB=DE，AC=DF。求证：ABCDEF。 6、已知：如图，AB=DC，AD=BC，求证：A=C。7、已知：如图 , AB=AC , AD=AE , BD=CE求证：BAC=DAE3.2探索三角形全等的条件(二)（SAS）学习目标：1.会运用“边角边”公理证明三角形全等 .自学过程：知识回顾：一、判别三角形相似的方法之二：1、如果两个三角形有_边对应，并且_相等，那么这两个三角形全等新课讲解：做一做以图24.2.5中的两条线段和一个角画一个三角形，使该角恰为这两条线段的夹角.步骤：1、 画一线段AB使它的长度等于4cm.2、 以点A为顶点，作BAP=45,在射线AP上截取AC3cm,3、 连结BC.ABC即为所求.把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形都全等吗？换两条线段和一个角，用同样的方法试试，是否有同样的结论ACABA这样我们就得到识别三角形全等的另一种简便的方法如果两个三角形有_边及其_分别对应， 那么这两个三角形全等简记为（S.A.S.）例2如图11-1，ABC中，ABAC，AD平分BAC，试说明ABDACD. 做一做如图24.2.7，已知两条线段和一个角，以这两条线段为边，以这个角为其中一条边的对角，画一个三角形. 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形一定都全等吗？练习1. 根据题目条件，判断下面的三角形是否全等？(3) (4)2. 点M是等腰梯形ABCD底边AB的中点，AMD和BMC全等吗？说明你的理由？综合练习：一、 填空： 1、 如图11-2，AB=AD,AC=AE,则可得ABC其理由是 2、如图（1）：OA=OD,OB=OC, 求证：ABODCO 证明：在ABO和DCO中， OA=OD（ ） OB=OC（） （） ABODCO（ ）3、如图（2）：已知AB=DC，ABC=DCB, 求证：AC=BD 证明：BCD和CBA中，在 AB=DC （ ） ABC=DCB（ ） BC=_( ) BCD_，( )AC=_( )证明：1、 如图，已知12，AOBO，求证：AOPBOP2、已知：ADBC，ADCBCD求证： BDCACD3、如图，AEDB，BCEF，BCEF，说明ABC和DEF全等的理由4.如图：点M是等腰梯形ABCD底边AB上的中点，求证：MD=MC 5、已知点A、B、C、D在同一条直线上，AB=CD, D=ECA,试问：AE与BF的大小关系，并说明理由。6、如图：在ABC中，AB=AC, BAC=90,在AB上取点P，边CA的延长线上取点Q，使AP=AQ，边CP与BQ交于点S，求证：CAPBAQ 7、如图，ABAD，ACAE，BAEDAC， ABC与ADE全等吗？并说明理由。3.3探索三角形全等的条件（三）（ASA及AAS）学习目标：会运用“角边角”公理及其推论证明三角形全等的简单问题自学过程：做一做下图，已知两个角和一条线段，以这两个角为内角， 以这条线段为两个角的夹边，画一个三角形.步骤：1、 一线段AB使它的长度等于4cm.2、 分别以点A、B为顶点，作BAP=40ABQ=60,AP、BQ相交于点C,3、 ABC即为所求.把你画的三角形与其他同学画的进行比较，所有的三角形都全等吗？换两个角和一条线段，用同样的方法试试看，是否有同样的结论ABA B由此得到另一个识别全等三角形的简便方法：如果两个三角形的及其分别对应，那么这两个三角形全等简记为(A.S.A.).例3如图所示，ABCDCB，ACBDBC， 试说明ABCDCB.解: 在 _中， ABCDCB， ACBDBC， BC= _ （） 思 考:如图24.2.11，如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形是否一定全等？你的结论是_证明： AD，CF， B180，E180， 又，AB ABCDEF.（）由此得到另一个识别全等三角形的简便方法：如果两个三角形的及其分别对应，那么这两个三角形全等简记为(A.A.S.).小结： 如果知道两个三角形的两个角及一条边分别对应相等，这时应该有两种不同的情况： 一种情况是两个角及两角的（ASA）； 另一种情况是两个角及其中一角的（AAS），两种情况都可以证明三角形全等。如图24.2.8所示 练习一填空： 1、 如图：D是ABC的边AB上一点，DE交AC于点E，交CF于点 F，DE=FE,FCAB, 求证：AE=CE 证明：FCAB（）_= _,_=_, DE=FE（）AED_（）AE=CE（） 2、 如图：点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE,ABED,ACFD， 求证：AB=DE证明： FB=CE（） FB=CE（）即： ABED,ACFD ABC=_,ACB=_ABD_,（）AB=DE，（）3、如图：AB=CD,AD=BC,EF过BD的中点O，求证：OBFODE 证明：AB=CD,AD=BC( )_=_( ) ABD_,( )CBD=_ EF过BD的中点O( )_=_ 又FOB=_( )OBF_( )三、证明与计算：1. 根据题目条件，判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由. 2. ABC是等腰三角形，AD、BE分别是A、B的角平分线，ABD和BAE全等吗？试说明理由.3、如图，ABDE，ACDF，BCEF，ABC与DEF全等吗？试说明理由.4如图，12，BD，ABC和ADC全等吗？试说明理由。5已知： 如图，CD，CEDE求证： DABABC6、已知： 如图，BDACEA，AEAD求证： ABAC7、已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC, B=C,求证：BD=CE 3.4利用尺规作三角形学习目标: 1、在分别给出的两角夹边、两边夹角和三边的条件下，能够利用尺规作出三角形。 学习过程: 读句作图，体会作法 1、已知三角形的两边及其夹角,求作这个三角形.已知：线段a，c，。在此作图求作：ABC，使得BC= a，AB=c，ABC=。作法与过程：（1）作DBE=;（2）分别在BD，BE上截取BA=c,BC=a;（3）连接AC. ABC就是所求作的三角形。小结： 在作图之前可先在练习本上画出所求作三角形的草图，在图上标出已知条件再作图。 把自己作的三角形和小组内其他同学所作的三角形重叠比较，看是否一样大。 用_ _证明两个三角形全等。2、已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形.已知：线段，线段c 。 求作：ABC，使得A=，B=，AB=c。作法：(1) 作_=;(2) 在射线_上截取线段_=c; (3) 以_为顶点,以_为一边,作_=,_交_于点_. ABC就是所求作的三角形.小结： 把自己作的三角形和其他同学所作的三角形重叠比较，看是否一样大。用_ _证明两个三角形全等。3、已知三角形的三边,求作这个三角形.已知：线段a，b，c。求作：ABC，使得AB= c，AC= b，BC= a。作法：（尝试自己写出作法） 4、已知三角形两边及其中一边的对角能作出不同的三角形已知：线段a、b和，如图，求作ABC，使AB=a, AC=b, B=.作法： a b 作DBE=; 在BD上截取BA=a; 以A点为圆心，以b长为半径作弧交BE于点C、C; 连接AC、AC/所以ABC和ABC/都为所求作的三角形【归纳小结】1、作图要保留痕迹 ；2、根据条件画出草图，明确已知条件和求作三角形之间的关系。3、书写作法时语言要规范。达标检测1、利用尺规不能唯一作出的三角形是（ ）A、已知三边 B、已知两边及夹角 C、已知两角及夹边 D、已知两边及其中一边的对角蜂采百花酿甜蜜，人读群书明真理。2、以下列线段为边能作三角形的是 （ ）A、2厘米、3厘米、 5厘米 B、4厘米、4厘米、9厘米C、1厘米、2厘米、 3厘米 D、2厘米、3厘米、4厘米3、已知线段a、b a b求作：ABC，使得AB= BC= a，AC=b4、已知线段a、b，且ab。求作ABC，使C=90，AB=a，AC=b。 a b5、你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？你能说明其中的道理吗？小明回顾了作图的过程，并进行了如下的思考，：你能说明每一步的理由吗？解：OC=OC ，OD=OD，CD=CD（由作法可知）OCDOCD( )COD=COD ( ) 3.5利用三角形全等测量距离学习目标 :1、能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学于实际生活的联系； 2、能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。:学习过程:探索练习：1.如图：A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长。他叔叔帮他出了一个这样的主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到E，使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE并测量出它的长度；（1） DE=AB吗？请说明理由解: AC=CD（ 已知 ）