平面向量与三角形三心.doc

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
一、四心的概念介绍
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合
（1）是的重心.
证法1：设
是的重心.
证法2：如图

三点共线，且分
为2：1
是的重心

（2）为的垂心.
证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.

同理，
为的垂心

（3）设,,是三角形的三条边长，O是ABC的内心
为的内心.
证明：分别为方向上的单位向量，
平分,
)，令
（)
化简得

（4）为的外心。

典型例题分析
[例题]已知点G是内任意一点,点 M是所在平面内一点.试根据下列条件判断G点可能通过的_______心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”).

[提出问题]
(1)若存在常数,满足,则点G可能通过的__________.
(2)若点D是的底边BC上的中点,满足,则点G可能通过的__________.
(3)若存在常数,满足,则点G可能通过的__________.
(4)若存在常数,满足,则点G可能通过的__________.
[思路分析]以上四个问题的解决要求不同,除了熟悉三角形的“四心”的性质,同时更要熟悉平面向量的性质,对于平面向量与三角函数的结合也要相当熟悉.
[解答过程](1)记,则.由平面向量的平行四边形或三角形法则知,点G是角平分线上的点,故应填内心.
(2)简单的变形后发现点G是BC边中垂线上的点,故应填外心.
(3)记,
则.由平面向量的平行四边形或三角形法则知,点G是BC边的中线上的点,故应填重心.
(4)分析后发现,本题学生难以找到解决问题的突破口,主要在于平面向量的数量积的充分利用.由,
得,
(关键点)
于是.
从而,点G是高线上的点,故应填垂心.
[点评]以上四个问题处理的方法各不相同,注意到平面向量及三角形的“四心”的性质在解答问题时的作用.特别注意第四问两边同乘以某个表达式的技巧.

总结：
（1）是的重心.
（2）为的垂心.
（3）设,,是三角形的三条边长，O是ABC的内心
为的内心.
（4） 为的外心。
或者
若点为内任意一点，若点满足:
1．;
2.两点分别是的边上的中点,且
;
3. ;
4. .

结合运用：
例1：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：如图所示，分别为边的中点.

//
点的轨迹一定通过的重心，即选.

例2：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ B ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：分别为方向上的单位向量，
平分,
点的轨迹一定通过的内心，即选.

例3：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足.

=
=
=+=0
点的轨迹一定通过的垂心，即选.

练习：
1．已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：，则的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．6
2．若的外接圆的圆心为O，半径为1，，则( )
A． B．0 C．1 D．
3．点在内部且满足，则面积与凹四边形面积之比是（ ）
A．0 B． C． D．
4．的外接圆的圆心为O，若，则是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
5．是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若
，则是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
6．的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，
则实数m =
7．已知非零向量与满足(+)·=0且·= , 则△ABC为( )
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
8．已知三个顶点，若，则为（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形

练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C