平面向量与三角形四心问题.doc

(完整版)平面向量与三角形四心问题
平面向量基本定理与三角形四心
已知是内的一点,的面积分别为，，,求证:

如图2延长与边相交于点则

图1

图2

推论是内的一点，且,则

有此定理可得三角形四心向量式

是的重心

是的内心

是的外心

是的垂心

证明:如图为三角形的垂心,

同理得，

奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一
4。2三角形“四心"的相关向量问题
一．知识梳理：
四心的概念介绍：
（1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1；
(2） 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；
（3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
(4） 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。
l 与“重心”有关的向量问题
1 已知是所在平面上的一点，若，则是的（ )．
A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心

如图⑴。
M

图⑵
图⑴

2已知是平面上一定点,是平面上不共线的三个点，动点满足,,则的轨迹一定通过的（ ）。
A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心
【解析】由题意,当时，由于表示边上的中线所在直线的向量，所以动点的轨迹一定通过的重心，如图⑵。
3 。O是△ABC所在平面内一点,动点P满足（λ∈（0,+∞））,则动点P的轨迹一定通过△ABC的（　　）
A．内心 B．重心 C．外心 D．垂心
解：作出如图的图形AD⊥BC，由于sinB=sinC=AD,
∴=
由加法法则知，P在三角形的中线上
故动点P的轨迹一定通过△ABC的重心
故选:B．

l 与“垂心”有关的向量问题
3 是所在平面上一点，若，则是的( )
A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心

【解析】由，得,即，所以．同理可证，．∴是的垂心．如图⑶。

图⑷
图⑶

4已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点,动点满足,，则动点的轨迹一定通过的( ）．
A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心

【解析】由题意，
由于，
即,所以表示垂直于的向量，即点在过点且垂直于的直线上，所以动点的轨迹一定通过的垂心，如图⑷.

5若为所在平面内一点，且
则点是的( ）
A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心

B
C
H
A
图6
证明：

得
即
同理,
故H是△ABC的垂心
l 与“内心”有关的向量问题
6已知为所在平面上的一点,且,， ．若，则是的（ )
．A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心

图⑹
图⑸

【解析】∵，,则由题意得,
∵,
∴．∵与分别为和方向上的单位向量，∴与平分线共线，即平分．
同理可证:平分，平分．从而是的内心,如图⑸。

7已知是平面上一定点,是平面上不共线的三个点，动点满足
，，则动点的轨迹一定通过的（ )．
A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心

【解析】由题意得，∴当时，表示的平分线所在直线方向的向量,故动点的轨迹一定通过的内心，如图⑹。
8若O在△ABC所在的平面内：=，则O是△ABC的（　　）
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心
解:∵向量的模等于1，因而向量是单位向量
∴向量、和等都是单位向量
∴由向量、为邻边构成的四边形是菱形，
∵
可得AO在∠BAC的平分线上
同理可得OB平分∠ABC，OA平分∠ACB，
∴O是△ABC的内心．
故选：C．

l 与“外心”有关的向量问题
8已知是所在平面上一点，若，则是的（ )．
A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心

图⑺
图⑻

【解析】若,则，∴,则是的外心，如图⑺.

9 已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足,，则动点的轨迹一定通过的（ )。
A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心

【解析】由于过的中点，当时，表示垂直于的向量（注意：理由见二、4条解释.），所以在垂直平分线上，动点的轨迹一定通过的外心，如图⑻

l 四心的相互关系
1.三角形外心与垂心的向量关系及应用
设的外心为，则点为的垂心的充要条件是。
2。三角形外心与重心的向量关系及应用
设的外心为，则点为的重心的充要条件是

3。三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用
设的外心、重心、垂心分别为、、，则、、三点共线(、、三点连线称为欧拉线），且。
相关题目
10．设△ABC外心为O，重心为G．取点H，使．
求证:（1)H是△ABC的垂心；
（2)O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2．
【解答】证明：(1)∵△ABC外心为O，
∴
又∵
∴
则=•==0
即AH⊥BC
同理BH⊥AC,CH⊥AB
即H是△ABC的垂心；
（2）∵G为△ABC的重心
∴=3=3+=
即=3
即O,G，H三点共线,且OH=3OG
即O，G，H三点共线,且OG：GH=1:2