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平面向量题型三-三角形“四心”与向量结合.doc

上传人:可**** 文档编号:839046 上传时间:2024-03-27 格式:DOC 页数:7 大小:189KB
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______________________________________________________________________________________________________________ 题型三 三角形“四心”与向量结合 (一)平面向量与三角形内心 1、O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足,则P点的轨迹一定通过的( ) (A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心 2、已知△ABC,P为三角形所在平面上的一点,且点P满足:,则P是三角形的(   ) A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 3、在三角形ABC中,动点P满足:,则P点轨迹一定通过△ABC的: ( ) A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 (二)平面向量与三角形垂心 “垂心定理” H是△ABC所在平面内任一点,点H是△ABC的垂心. 证明:由, 同理,.故H是△ABC的垂心. (反之亦然(证略)) 4、已知△ABC,P为三角形所在平面上的动点,且动点P满足: ,则P点为三角形的 (   ) A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 5、点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足,则点O是的 ( ) (A)三个内角的角平分线的交点 (B)三条边的垂直平分线的交点 (C)三条中线的交点 (D)三条高的交点 6、在同一个平面上有及一点O满足关系式: +=+=+,则O为的 (   ) A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 (三)平面向量与三角形重心 “重心定理” G是△ABC所在平面内一点,=0点G是△ABC的重心. 证明 图中 连结BE和CE,则CE=GB,BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点,AD为BC边上的中线.将代入=0,得=0,故G是△ABC的重心.(反之亦然(证略)) P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心. 证明 ∵G是△ABC的重心 ∴=0=0,即 由此可得.(反之亦然(证略)) 7、已知O是平面上一 定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P 满足: ,则P的轨迹一定通过△ABC的 (    ) A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 8、已知A、B、C是平面上不共线的三点,O是三角形ABC的重心,动点P满足 = (++2),则点P一定为三角形ABC的 ( ) A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点(非重心) C.重心 D.AB边的中点 (四)平面向量与三角形外心 9、若 为内一点,,则 是 的(     ) A.内心   B.外心     C.垂心       D.重心 10、的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,,则实数m = (五)平面向量与三角形四心 11、已知向量,,满足条件++=0,||=||=||=1, 求证 △P1P2P3是正三角形.(《数学》第一册(下),复习参考题五B组第6题) 12、在△ABC中,已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证:Q、G、H三点共线,且QG:GH=1:2。 13、若O、H分别是△ABC的外心和垂心.求证 . 14、 设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心. 求证 15已知点、、在三角形所在平面内,且==,,则==则点、、依次是三角形的 (A)重心、外心、垂心 (B)重心、外心、内心 (C)外心、重心、垂心 (D)外心、重心、内心 题型三 三角形“四心”与向量结合答案 1、解析:因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为, 又,则原式可化为,由菱形的基本性质知AP平分,那么在中,AP平分,则知选B. 4、解析:由.即 则 所以P为的垂心. 故选D. 8、取AB边的中点M,则,由= (++2)可得3,∴,即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点,且点P不过重心,故选B. 9、解析:由向量模的定义知到的三顶点距离相等。故 是 的外心 ,选B。 10、1 11证明 由已知+=-,两边平方得·=, 同理 ·=·=, ∴||=||=||=,从而△P1P2P3是正三角形. 反之,若点O是正三角形△P1P2P3的中心,则显然有++=0且||=||=||. 即O是△ABC所在平面内一点, ++=0且||=||=||点O是正△P1P2P3的中心. 12【证明】:以A为原点,AB所在的直线为x轴,建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B(x1,0)、C(x2,y2),D、E、F分别为AB、BC、AC的中点,则有: 由题设可设, A B(x1,0) C(x2,y2) y x H Q G D E F 即,故Q、G、H三点共线,且QG:GH=1:2 13证明 若△ABC的垂心为H,外心为O,如图. 连BO并延长交外接圆于D,连结AD,CD. ∴,.又垂心为H,,, ∴AH∥CD,CH∥AD, ∴四边形AHCD为平行四边形, ∴,故. 著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系: (1)三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”; (2)三角形的重心在“欧拉线”上,且为外——垂连线的第一个三分点,即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。 “欧拉定理”的向量形式显得特别简单,可简化成如下的向量问题. 14证明 按重心定理 G是△ABC的重心 按垂心定理 由此可得 . 三角形“四心”与向量结合总结 1.O是的重心; 若O是的重心,则故; 为的重心. 2.O是的垂心; 若O是(非直角三角形)的垂心,则 故 3.O是的外心(或) 若O是的外心则 故 4.O是内心的充要条件是 引进单位向量,使条件变得更简洁。如果记的单位向量为,则刚才O是内心的充要条件可以写成  ,O是内心的充要条件也可以是 。若O是的内心,则  故 ; 是的内心; 向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线); Welcome To Download !!! 欢迎您的下载,资料仅供参考! 精品资料
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