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题型三 三角形“四心”与向量结合
(一)平面向量与三角形内心
1、O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足,则P点的轨迹一定通过的( )
(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心
2、已知△ABC,P为三角形所在平面上的一点,且点P满足:,则P是三角形的( )
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
3、在三角形ABC中,动点P满足:,则P点轨迹一定通过△ABC的: ( )
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
(二)平面向量与三角形垂心 “垂心定理”
H是△ABC所在平面内任一点,点H是△ABC的垂心.
证明:由,
同理,.故H是△ABC的垂心. (反之亦然(证略))
4、已知△ABC,P为三角形所在平面上的动点,且动点P满足:
,则P点为三角形的 ( )
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
5、点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足,则点O是的 ( )
(A)三个内角的角平分线的交点 (B)三条边的垂直平分线的交点
(C)三条中线的交点 (D)三条高的交点
6、在同一个平面上有及一点O满足关系式: +=+=+,则O为的 ( )
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
(三)平面向量与三角形重心 “重心定理”
G是△ABC所在平面内一点,=0点G是△ABC的重心.
证明 图中
连结BE和CE,则CE=GB,BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点,AD为BC边上的中线.将代入=0,得=0,故G是△ABC的重心.(反之亦然(证略))
P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心.
证明
∵G是△ABC的重心 ∴=0=0,即
由此可得.(反之亦然(证略))
7、已知O是平面上一 定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P 满足:
,则P的轨迹一定通过△ABC的 ( )
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
8、已知A、B、C是平面上不共线的三点,O是三角形ABC的重心,动点P满足
= (++2),则点P一定为三角形ABC的 ( )
A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点(非重心)
C.重心 D.AB边的中点
(四)平面向量与三角形外心
9、若 为内一点,,则 是 的( )
A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心
10、的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,,则实数m =
(五)平面向量与三角形四心
11、已知向量,,满足条件++=0,||=||=||=1,
求证 △P1P2P3是正三角形.(《数学》第一册(下),复习参考题五B组第6题)
12、在△ABC中,已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证:Q、G、H三点共线,且QG:GH=1:2。
13、若O、H分别是△ABC的外心和垂心.求证 .
14、 设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心. 求证
15已知点、、在三角形所在平面内,且==,,则==则点、、依次是三角形的
(A)重心、外心、垂心 (B)重心、外心、内心
(C)外心、重心、垂心 (D)外心、重心、内心
题型三 三角形“四心”与向量结合答案
1、解析:因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为, 又,则原式可化为,由菱形的基本性质知AP平分,那么在中,AP平分,则知选B.
4、解析:由.即
则 所以P为的垂心. 故选D.
8、取AB边的中点M,则,由= (++2)可得3,∴,即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点,且点P不过重心,故选B.
9、解析:由向量模的定义知到的三顶点距离相等。故 是 的外心 ,选B。
10、1
11证明 由已知+=-,两边平方得·=,
同理 ·=·=,
∴||=||=||=,从而△P1P2P3是正三角形.
反之,若点O是正三角形△P1P2P3的中心,则显然有++=0且||=||=||.
即O是△ABC所在平面内一点,
++=0且||=||=||点O是正△P1P2P3的中心.
12【证明】:以A为原点,AB所在的直线为x轴,建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B(x1,0)、C(x2,y2),D、E、F分别为AB、BC、AC的中点,则有:
由题设可设,
A
B(x1,0)
C(x2,y2)
y
x
H
Q
G
D
E
F
即,故Q、G、H三点共线,且QG:GH=1:2
13证明 若△ABC的垂心为H,外心为O,如图.
连BO并延长交外接圆于D,连结AD,CD.
∴,.又垂心为H,,,
∴AH∥CD,CH∥AD,
∴四边形AHCD为平行四边形,
∴,故.
著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系:
(1)三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”;
(2)三角形的重心在“欧拉线”上,且为外——垂连线的第一个三分点,即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。
“欧拉定理”的向量形式显得特别简单,可简化成如下的向量问题.
14证明 按重心定理 G是△ABC的重心
按垂心定理 由此可得 .
三角形“四心”与向量结合总结
1.O是的重心;
若O是的重心,则故;
为的重心.
2.O是的垂心;
若O是(非直角三角形)的垂心,则
故
3.O是的外心(或)
若O是的外心则
故
4.O是内心的充要条件是
引进单位向量,使条件变得更简洁。如果记的单位向量为,则刚才O是内心的充要条件可以写成 ,O是内心的充要条件也可以是 。若O是的内心,则
故 ;
是的内心;
向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线);
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