平面向量题型三-三角形“四心”与向量结合.doc

题型三 三角形“四心”与向量结合
(一)平面向量与三角形内心
1、O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过的（ ）
（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心
2、已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：，则P是三角形的（   ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

3、在三角形ABC中，动点P满足：，则P点轨迹一定通过△ABC的： （ ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

(二)平面向量与三角形垂心 “垂心定理”
H是△ABC所在平面内任一点，点H是△ABC的垂心.
证明：由,
同理，.故H是△ABC的垂心. （反之亦然（证略））

4、已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：
，则P点为三角形的 （   ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

5、点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的 （ ）
（A）三个内角的角平分线的交点 （B）三条边的垂直平分线的交点
（C）三条中线的交点 （D）三条高的交点

6、在同一个平面上有及一点Ｏ满足关系式： ＋＝＋＝＋，则Ｏ为的 （   ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

(三)平面向量与三角形重心 “重心定理”
G是△ABC所在平面内一点，=0点G是△ABC的重心.
证明 图中
连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将代入=0，得=0，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略））
P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心.
证明
∵G是△ABC的重心 ∴=0=0，即
由此可得.（反之亦然（证略））
7、已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：
，则P的轨迹一定通过△ABC的 （    ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

8、已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足
= (++2),则点P一定为三角形ABC的 （ ）
A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点（非重心）
C.重心 D.AB边的中点

(四)平面向量与三角形外心
9、若 为内一点，，则 是 的（     ）
A．内心   B．外心     C．垂心       D．重心
10、的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m =

(五)平面向量与三角形四心
11、已知向量，，满足条件++=0，||=||=||=1，
求证 △P1P2P3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B组第6题）

12、在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。

13、若O、H分别是△ABC的外心和垂心.求证 .

14、 设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心. 求证

15已知点、、在三角形所在平面内，且==,,则==则点、、依次是三角形的
（A）重心、外心、垂心 （B）重心、外心、内心
（C）外心、重心、垂心 （D）外心、重心、内心

题型三 三角形“四心”与向量结合答案

1、解析：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为， 又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B.
4、解析:由.即
则 所以P为的垂心. 故选D.
8、取AB边的中点M，则，由= (++2)可得3，∴，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B.
9、解析：由向量模的定义知到的三顶点距离相等。故 是 的外心 ，选B。
10、1
11证明 由已知+=-，两边平方得·=，
同理 ·=·=，
∴||=||=||=，从而△P1P2P3是正三角形.
反之，若点O是正三角形△P1P2P3的中心，则显然有++=0且||=||=||.
即O是△ABC所在平面内一点，
++=0且||=||=||点O是正△P1P2P3的中心.
12【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：
由题设可设,
A
B(x1,0)
C(x2,y2)
y
x
H
Q
G
D
E
F

即，故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：2
13证明 若△ABC的垂心为H，外心为O，如图.
连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.
∴，.又垂心为H，，，
∴AH∥CD，CH∥AD，
∴四边形AHCD为平行四边形，
∴，故.
著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：
（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；
（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。
“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.
14证明 按重心定理 G是△ABC的重心
按垂心定理 由此可得 .

三角形“四心”与向量结合总结
1．O是的重心;
若O是的重心，则故;
为的重心.
2．O是的垂心;
若O是(非直角三角形)的垂心，则
故
3．O是的外心(或)
若O是的外心则
故
4．O是内心的充要条件是
引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记的单位向量为，则刚才O是内心的充要条件可以写成　 ，O是内心的充要条件也可以是 。若O是的内心，则　
故　;
是的内心;
向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；

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