平面向量中的三角形中“四心问题”.doc

专题分析
平面向量中的三角形“四心”

江苏省启东中学 张 杰

在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在近年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，而且培养了学生分析问题、解决问题的能力。现就“四心”作如下介绍：
一．“四心”的概念与性质
1．重心：三角形三条中线的交点叫重心。它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为2：1；在向量表达形式中，设点是所在平面内的一点,则当点是的重心时，有或(其中为平面内任意一点)；反之，若，则点是的重心；在向量的坐标表示中，若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G、A、B、C，则有，。
2．垂心：三角形三条高线的交点叫垂心。它与顶点的连线垂直于对边；在向量表达形式中，若是的垂心，则，或
，反之，若
，则是的垂心。
3．内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心。内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等；在向量表达形式中，若点是的内心，则有
或(其中为平面内任意一点)，反之，若，则点是的内心。
4．外心：三角形三条中垂线的交点叫外心。外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等；在向量表达形式中，若点是的外心，则
或，反之，若，则点是的外心。
二．“四心”的典型例题
例题1. 已知是平面上的一定点，、、是平面上不共线的三个动点,若动点满足，则点的轨迹一定通过的 心。
[分析]探求动点轨迹经过某点，只要确定其轨迹与三角形中的哪些特殊线段所在直线重合，这可从已知等式出发，利用向量的线性运算法则进行运算得之。
[解析]由原等式得： ，即，根据平行四边形法则知:是的中线所在向量的2倍，所以点的轨迹必过的重心。
改编之一: 若动点满足，，则点的轨迹一定通过的 心。
[解析]由条件得，即，而和分别表示平行于的单位向量，由这两向量组成的平行四边形是菱形，知+平分，即平分，所以点的轨迹必过的内心。
改编之二: 若动点满足，，则动点的轨迹一定通过△ABC的 心
[研析]由条件得：，
从而
==0，得，则动点的轨迹一定通过△ABC的垂心。
改编之三: 若动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心。
[解析] 由条件得，
即，所以
，
即，得，，所以动点的轨迹一定通过的外心。
C1
B1
C
B
A
O
例2．已知△ABC内一点O满足关系，试求
之值。
[分析]本题条件与三角形的重心性质十分类似，因此我们通过添作辅助线，构造一个三角形，使点O成为辅助三角形的重心，而三角形的重心与顶点的连线将三角形的面积三等分，从而可求三部分的面积比。
[解析]延长OB至B1，使BB1=OB，延长OC至C1，使CC1=2OC，
则，，由条件得，
所以点O是△AB1C1的重心，从而,其中表示△AB1C1的面积，所以，，
C1
B1
C
B
A
O
于是。
[推广引申]已知△ABC内一点O满足关系，试证明：
。
例3．求证的垂心H、重心G、外心O三点共线，且。
[分析]本题是著名的欧拉线，提示了三角形的“四心”之间的关系。我们选择恰当的基底向量来表示它们，当然最佳的向量是含顶点A、B、C的向量。
[研析] 对于的重心G，易知，
对于的垂心H，设，则
。
由得，
，因，
所以，，但与不一定垂直，所以只有当时，上式恒成立，所以，从而，得垂心H、重心G、外心O三点共线，且。
[引申推广]重心G与垂心H的关系： 。
链接高考:（2011上海文理17.）、设是空间中给定的5个不同的点，则使成立的点的个数为（ ）
A 0 B 1 C 5 D 10
分析: 根据三角形中的四心知识可知,在中满足的点只有重心一点, 利用类比的数学思想可知,满足本题条件的点也只有1个,故选B.
答案:B
点评:本题以向量为载体,考查了类比与化归,归纳与猜想等数学思想. 本题的详细解答过程如下: 对于空间两点A,B来说,满足的点是线段AB的中点; 对于空间三点A,B,C来说满足,可认为是先取AB中点G,再连CG,在CG上取点M,使,则M满足条件,且唯一; 对于空间四点A,B,C,D来说,满足
,可先取的重心G,再连GD,在GD上取点M,使
, 则M满足条件,且唯一,不妨也称为重心G;与此类似,对于空间五点A,B,C,D,E来说,满足,可先取空间四边形ABCD的重心G, 再连GE,在GE上取点M,使, 则M满足条件,且唯一.
说明:上述思维过程与物理中的相关知识类似.
三．“四心”练习题
1．是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点,动点满足
，则点的轨迹一定通过的
心。
2．是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，则的轨迹一定通过△AB C的 心。
3．在中，O为外心，为所在平面内一点，且，则点为的 心。
4．在中，为垂心，为所在平面内一点，且，则点是的 心。
5．在中，存在一点，使最小，则点是△ABC的重心。
参考答案：1.由正弦定理得：, 所以原等式即为
，所以点的轨迹一定通过的重心。
2．原等式化为，即，可证，所以，点的轨迹一定通过的重心。
3．因，所以，
所以，同理，，则点为的垂心。
4．参照第3题，逆推即得点是的外心。
5．因，，，所以
，
因，所以当时，有最小值，
，即点P与G重合。
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