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讲义---平面向量与三角形四心的交汇
一、四心的概念介绍
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合
（1）是的重心.
证法1：设
是的重心.
证法2：如图

三点共线，且分
为2：1
是的重心
（2）为的垂心.
证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.

同理，
为的垂心
（3）设,,是三角形的三条边长，O是ABC的内心
为的内心.
证明：分别为方向上的单位向量，
平分,
)，令
（)
化简得

（4）为的外心。
三、典型例题：
例1：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
例2：（03全国理4）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
例3：1)是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

2)已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足,, 则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心

3)已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, , 则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心

例4、已知向量满足条件，，求证：是正三角形．

例5、的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m = 　．
例6、点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的（　 ）．
A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
例7　在内求一点，使最小．

例8已知为所在平面内一点，满足，则为的　　　心．
例9．.已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则O点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
例10 已知O为△ABC所在平面内一点，满足=，则O点是△ABC的( )
A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心
例11已知O是△ABC所在平面上的一点，若=== 0，则O点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
例12：已知O是△ABC所在平面上的一点，若= 0，则O点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
例13：已知O是△ABC所在平面上的一点，若(其中P是△ABC所在平面内任意一点)，则O点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
四、配套练习：
1．已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：，则的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．6
2．若的外接圆的圆心为O，半径为1，，则( )
A． B．0 C．1 D．
3．点在内部且满足，则面积与凹四边形面积之比是（ ）
A．0 B． C． D．
4．的外接圆的圆心为O，若，则是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
5．是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若
，则是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
6．的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，
则实数m =
7．（06陕西）已知非零向量与满足(+)·=0且·= , 则△ABC为( )
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
8．已知三个顶点，若，则为（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形
9.已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, . 则P点的轨迹一定通过△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
10.已知O是△ABC所在平面上的一点，若= 0, 则O点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
11.已知O是△ABC所在平面上的一点，若(其中P为平面上任意一点), 则O点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
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