三角形的四心与平面向量.doc

三角形的“四心”与平面向量
湖北省 李祖红 万振平

向量本身是一个几何概念，具有代数形式和几何形式两种表示方法，易于数形结合，而且向量问题在进行数形结合时具有新形式、新特点，因此可称为高中数学的一个交汇点。三角形的“四心”（外心、内心、重心、垂心）是与三角形有关的一些特殊点，各自有一些特殊的性质。在高考中，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查。这就需要我们在熟悉向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义。
与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有：
① 设，则向量必平分∠BAC，该向量必通过△ABC的内心;
② 设，则向量必平分∠BAC的邻补角
③ 设，则向量必垂直于边BC，该向量必通过△ABC的垂心
④ △ABC中一定过的中点，通过△ABC的重心
⑤ 点是△ABC的外心
⑥ 点是△ABC的重心
⑦ 点是△ABC的垂心
⑧ 点是△ABC的内心 (其中a、b、c为△ABC三边)
⑨ △ABC的外心、重心、垂心共线，即∥
⑩ 设为△ABC所在平面内任意一点，G为△ABC的重心，，I为△ABC的内心，
则有
并且重心G（，） 内心I（，）

A F
E C
T

B

例1：（2003年全国高考题）是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
（A）外心 （B）内心
（C）重心 （D）垂心
事实上如图设都是单位向量
易知四边形AETF是菱形 故选答案B

例2：（2005年北京市东城区高三模拟题）为△ABC所在平面内一点，如果，则O必为△ABC的（ ）
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
事实上OB⊥CA 故选答案D

例3：已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足
，则点O是三角形ABC的（ ）
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
事实上由条件可推出 故选答案D

例4：设是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，
动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
事实上 故选答案D