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几何证明 东城区 19. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D. BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F. 求证：AE=AF.
19.证明： ∵∠BAC=90°， ∴∠FBA+∠AFB=90°. -------------------1分 ∵AD⊥BC， ∴∠DBE+∠DEB=90°．---------------- 2分 ∵BE平分∠ABC, ∴∠DBE=∠FBA. -------------------3分 ∴∠AFB=∠DEB. -------------------4分 ∵∠DEB=∠FEA， ∴∠AFB=∠FEA. ∴AE=AF. -------------------5分 西城区 19．如图， 平分 ， 于点 ， 的中点为 ， ． （1）求证： ． （2）点 在线段 上运动，当 时，图中与 全等的三角形是__________．
【解析】（1）证明：∵ 平分 ， ∴ ， ∵ 于点 ， ∴ ， ∴ 为直角三角形． ∵ 的中点为 ， （2） ． 海淀区 19．如图，△ 中， ， 为 的中点，连接 ，过点 作 的平行线 ，求证： 平分 ．
19. 证明：∵ ， 为 的中点， ∴ . ∴ 平分 . 丰台区 19．如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F． 求证：DE = DF． 19．证明：连接AD. ∵AB＝BC，D是BC边上的中点， ∴∠BAD=∠CAD. ………………………3分 ∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， ∴DE＝DF． ………………………5分 （其他证法相应给分）
石景山区 19．问题:将菱形的面积五等分． 小红发现只要将菱形周长五等分，再将各分点与菱形的对角线交点连接即可解决问题．如图，点 是菱形 的对角线交点， ，下面是小红将菱形 面积五等分的操作与证明思路，请补充完整.
（1）在 边上取点 ，使 ，连接 ， ； （2）在 边上取点 ，使 ，连接 ； （3）在 边上取点 ，使 ，连接 ； （4）在 边上取点 ，使 ，连接 ． 由于 ＋ ＋ ＋ . 可证S△AOE S△HOA. 19．解：3，2，1； ………………2分 EB、BF；FC、CG；GD、DH；HA. ………………4分 朝阳区 19. 如图，在△ACB中，AC=BC，AD为△ACB的高线，CE为△ACB的中线. 求证：∠DAB=∠ACE.
19. 证明：∵AC＝BC，CE为△ACB的中线， ∴∠CAB＝∠B，CE⊥AB. ……………………………………………2分 ∴∠CAB＋∠ACE＝90°. ………………………………………………3分 ∵AD为△ACB的高线， ∴∠D＝90°. ∴∠DAB＋∠B＝90°. ……………………………………………………4分 ∴∠DAB＝∠ACE. ………………………………………………………5分
燕山区 19．文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题。已知正方形的边长是2，就能求出图中阴影部分的面积． 证明： =2 , = , = , + , = = . 19. = , = + = = 2 ……………………….5′
门头沟区
19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°. 求∠DAC的度数.
19.解 （本小题满分5分）∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC=2∠ABE=2×25°=50°， ………2分 ∵AD是BC边上的高， ∴∠BAD=90°�∠ABC=90°�50°=40°， …………4分 ∴∠DAC=∠BAC�∠BAD=60°�40°=20° ………………5分 大兴区 19．如图，在△ABC中，AB=AC，点D，点E 分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD. 若∠BAD=55°， ∠B=50°，求∠DEC的度数． 19．解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C． ∵∠B=50°， ∴∠C =50°．…………………… 1分 ∴∠BAC=180°-50°-50°=80°．………………………………………………… 2分 ∵∠BAD=55°， ∴∠DAE=25°．………………………………………………………………… 3分 ∵DE⊥AD， ∴∠ADE=90°．………………………………………………………………… 4分 ∴∠DEC=∠DAE+∠ADE=115°．………………………………………………5分
平谷区 19．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上一点，EF垂直平分CD，交AC于点E，交BC于点F，连结DE，求证：DE∥AB． 19．证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C． 1 ∵EF垂直平分CD， ∴ED=EC． 2 ∴∠EDC=∠C． 3 ∴∠EDC=∠B． 4 ∴DF∥AB． 5 怀柔区 19.如图，在平面直角坐标系xOy中，每个小正方形的边长都为1，△DEF和△ABC的顶点都在格点上，回答下列问题： (1)△DEF可以看作是△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程： ； (2)画出△ABC绕点B逆时针旋转90º的图形△A′BC′； (3)在(2)中，点C所形成的路径的长度为 .
19.(1)答案不唯一.例如：先沿y轴翻折，再向右平移1个单位，向下平移3个单位；先向左平移1个单位，向下平移3个单位，再沿y轴翻折. ……………3分
(2)如图所示 ………………………………………4分 (3)π .………………………………………………5分
延庆区 19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D 作DE∥AB交AC于点E．求证：AE=DE．
19．证明：∵AD平分∠BAC ∴∠BAD =∠DAE， ∵DE∥AB ∴∠BAD =∠ADE ……3分 ∴∠DAE =∠ADE ……4分 ∴AE=DE ……5分 顺义区 19．如图，矩形ABCD中，点E是CD延长线上一点， 且DE=DC，求证：∠E=∠BAC.
19．证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴ ∠ADC= ，AB∥CD． …………………………………………………1分 ∵ DE=DC， ∴ AE=AC． …………………………………………………………………2分 ∴ ∠E=∠ACE． ………………………………………………………………3分 ∵ AB∥CD， ∴ ∠BAC=∠ACE． ……………………………………………………………4分 ∴ ∠E=∠BAC． ……………………………………………………………5分
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