导数研究应用函数性质.doc

1导数与导函数概念(1)设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若x无限趋近于0时，比值无限趋近于一种常数A，则称f(x)在xx0处可导，并称该常数A为函数f(x)在xx0处导数(derivative)，记作f(x0)(2)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点导数也随着自变量x变化而变化，因而也是自变量x函数，该函数称为f(x)导函数，记作f(x)2导数几何意义函数yf(x)在点x0处导数几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线斜率k，即kf(x0)3基本初等函数导数公式基本初等函数导函数f(x)C(C为常数)f(x)0f(x)x(为常数)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0，a1)f(x)axln_af(x)ln xf(x)f(x)logax(a0，a1)f(x)4.导数运算法则若f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)5复合函数导数若yf(u)，uaxb，则yxyuux，即yxyua.【思考辨析】判断下面结论与否对的(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0)与(f(x0)表达意义相似()(2)求f(x0)时，可先求f(x0)再求f(x0)()(3)曲线切线不一定与曲线只有一种公共点()(4)与曲线只有一种公共点直线一定是曲线切线()(5)函数f(x)sin(x)导数是f(x)cos x()1(教材改编)f(x)是函数f(x)x32x1导函数，则f(1)值为_2如图所示为函数yf(x)，yg(x)导函数图象，那么yf(x)，yg(x)图象也许是_ 3设函数f(x)导数为f(x)，且f(x)f()sin xcos x，则f()_.4已知点P在曲线y上，为曲线在点P处切线倾斜角，则取值范畴是_5(陕西)设曲线yex在点(0,1)处切线与曲线y(x0)上点P处切线垂直，则P坐标为_题型一导数运算例1求下列函数导数：(1)y(3x24x)(2x1)；(2)yx2sin x；(3)y3xex2xe；(4)y；(5)yln(2x5)思维升华(1)求导之前，应运用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数商形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商求导法则，减少运算量(2)复合函数求导时，先拟定复合关系，由外向内逐级求导，必要时可换元(1)f(x)x(2 016ln x)，若f(x0)2 017，则x0_.(2)若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)_.题型二导数几何意义命题点1已知切点切线方程问题例2(1)函数f(x)图象在点(1，2)处切线方程为_(2)曲线ye2x1在点(0,2)处切线与直线y0和yx围成三角形面积为_命题点2未知切点切线方程问题例3(1)与直线2xy40平行抛物线yx2切线方程是_(2)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l方程为_命题点3和切线关于参数问题例4已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值3函数最值(1)在闭区间a，b上持续函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数最小值，f(b)为函数最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数最大值，f(b)为函数最小值【思考辨析】判断下面结论与否对的(请在括号中打“”或“”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0.( )(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性( )(3)函数极大值不一定比极小值大( )(4)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点充要条件( )(5)函数最大值不一定是极大值，函数最小值也不一定是极小值( )1函数f(x)x22ln x单调递减区间是_2已知定义在实数集R上函数f(x)满足f(1)3，且f(x)导数f(x)在R上恒有f(x)2(xR)，则不等式f(x)2x1解集为_3函数f(x)x33x21在x_处获得极小值4(教材改编)如图是f(x)导函数f(x)图象，则f(x)极小值点个数为_5设1x2，则，()2，大小关系是_(用“0，解集在定义域内某些为单调递增区间；(4)解不等式f(x)0)(1)若函数yf(x)导函数是奇函数，求a值；(2)求函数yf(x)单调区间思维升华(1)研究含参数函数单调性，要根据参数对不等式解集影响进行分类讨论(2)划分函数单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要拟定导数为0点和函数间断点(3)个别导数为0点不影响所在区间单调性，如f(x)x3，f(x)3x20(f(x)0在x0时取到)，f(x)在R上是增函数讨论函数f(x)(a1)ln xax21单调性题型三运用函数单调性求参数例3设函数f(x)x3x2bxc，曲线yf(x)在点(0，f(0)处切线方程为y1.(1)求b，c值；(2)若a0，求函数f(x)单调区间；(3)设函数g(x)f(x)2x，且g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求实数a取值范畴引申探究：在本例3(3)中，1若g(x)在(2，1)内为减函数，如何求解？2若g(x)单调减区间为(2，1)，求a值3若g(x)在(2，1)上不单调，求a取值范畴思维升华已知函数单调性，求参数范畴两个办法(1)运用集合间包括关系解决：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间子集(2)转化为不等式恒成立问题：即“若函数单调递增，则f(x)0；若函数单调递减，则f(x)0”来求解已知函数f(x)exln xaex(aR)(1)若f(x)在点(1，f(1)处切线与直线yx1垂直，求a值；(2)若f(x)在(0，)上是单调函数，求实数a取值范畴5分类讨论思想研究函数单调性典例(14分)已知函数f(x)ln x，g(x)f(x)ax2bx，其中函数g(x)图象在点(1，g(1)处切线平行于x轴(1)拟定a与b关系；(2)若a0，试讨论函数g(x)单调性温馨提示(1)含参数函数单调性问题普通要分类讨论，常用分类讨论原则有如下几种也许：方程f(x)0与否有根；若f(x)0有根，求出根后与否在定义域内；若根在定义域内且有两个，比较根大小是常用分类办法(2)本题求解先分a0或a0两种状况，再比较和1大小办法与技巧1已知函数解析式求单调区间，实质上是求f(x)0，f(x)，当x(2,0)时，f(x)最小值为1，则a值等于_题型三函数极值和最值综合问题例5已知函数f(x)(a0)导函数yf(x)两个零点为3和0.(1)求f(x)单调区间；(2)若f(x)极小值为e3，求f(x)在区间5，)上最大值思维升华求函数在无穷区间(或开区间)上最值，不但要研究其极值状况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值状况，画出函数大体图象，然后借助图象观测得到函数最值已知函数f(x)x3ax24在x2处获得极值，若m，n1,1，则f(m)f(n)最小值是_3运用导数求函数最值问题典例(14分)已知函数f(x)ln xax (aR)(1)求函数f(x)单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在1,2上最小值用导数法求给定区间上函数最值问题普通可用如下几步答题第一步：(求导数)求函数f(x)导数f(x)；第二步：(求极值)求f(x)在给定区间上单调性和极值；第三步：(求端点值)求f(x)在给定区间上端点值；第四步：(求最值)将f(x)各极值与f(x)端点值进行比较，拟定f(x)最大值与最小值；第五步：(反思)反思回顾，查看核心点，易错点和解题规范温馨提示(1)本题考查求函数单调区间，求函数在给定区间1,2上最值，属常规题型(2)本题难点是分类讨论考生在分类时易浮现不全面，不精确状况(3)思维不流畅，答题不规范，是解答中突出问题办法与技巧1如果在区间a，b上函数yf(x)图象是一条持续不断曲线，那么它必有最大值和最小值2求闭区间上可导函数最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不作判断，直接与端点函数值比较即可3当持续函数极值点只有一种时，相应极值必为函数最值4求极值、最值时，规定环节规范、表格齐全，含参数时，要讨论参数大小失误与防范1求函数单调区间与函数极值时要养成列表习惯，可使问题直观且有条理，减少失分也许2求函数最值时，不可想固然地以为极值点就是最值点，要通过认真比较才干下结论3函数在给定闭区间上存在极值，普通要将极值与端点值进行比较才干拟定最值3导数与函数综合问题题型一用导数解决与不等式关于问题命题点1解不等式例1设f(x)是定义在R上奇函数，且f(2)0，当x0时，有0解集是_命题点2证明不等式例2证明：当x0,1时，xsin xx.命题点3不等式恒成立问题例3已知定义在正实数集上函数f(x)x22ax，g(x)3a2ln xb，其中a0.设两曲线yf(x)，yg(x)有公共点，且在该点处切线相似(1)用a表达b，并求b最大值；(2)求证：f(x)g(x)(x0)思维升华(1)运用导数解不等式，普通可构造函数，运用已知条件拟定函数单调性解不等式；(2)证明不等式f(x)g(x)，可构造函数F(x)f(x)g(x)，运用导数求F(x)值域，得到F(x)0即可；(3)运用导数研究不等式恒成立问题，一方面要构造函数，运用导数研究函数单调性，求出最值，进而得出相应含参不等式，从而求出参数取值范畴；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数最值问题已知函数f(x)ln x.若f(x)x2在(1，)上恒成立，求a取值范畴题型二运用导数解决函数零点问题例4(课标全国)已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0,2)处切线与x轴交点横坐标为2.(1)求a；(2)证明：当k1时，曲线yf(x)与直线ykx2只有一种交点思维升华研究方程根状况，可以通过导数研究函数单调性、最大值、最小值、变化趋势等，依照题目规定，画出函数图象走势规律，标明函数极(最)值位置，通过数形结合思想去分析问题，可以使问题求解有一种清晰、直观整体呈现已知函数f(x)x2xsin xcos x图象与直线yb有两个不同交点，求b取值范畴题型三运用导数解决生活中优化问题例5某商场销售某种商品经验表白，该商品每日销售量y(单位：公斤)与销售价格x(单位：元/公斤)满足关系式y10(x6)2，其中3x0)，为使耗电量最小，则速度应定为_典例(14分)设f(x)xln x，g(x)x3x23.(1)如果存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，求满足上述条件最大整数M；(2)如果对于任意s，t，2，均有f(s)g(t)成立，求实数a取值范畴办法与技巧1用导数办法证明不等式f(x)g(x)时，找到函数h(x)f(x)g(x)零点是解题突破口2在讨论方程根个数、研究函数图象与x轴(或某直线)交点个数、不等式恒成立等问题时，经常需规定出其中参数取值范畴，此类问题实质就是函数单调性与函数极(最)值应用3在实际问题中，如果函数在区间内只有一种极值点，那么只要依照实际意义鉴定是最大值还是最小值即可，不必再与端点函数值比较失误与防范1运用导数解决恒成立问题时，若分离参数后得到“af(x)恒成立”，要依照f(x)值拟定a范畴中端点能否取到2运用导数解决实际生活中优化问题，要注意问题实际意义