导数研究应用函数性质.doc

1．导数与导函数概念
(1)设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一种常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处导数(derivative)，记作f′(x0)．
(2)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点导数也随着自变量x变化而变化，因而也是自变量x函数，该函数称为f(x)导函数，记作f′(x)．
2．导数几何意义
函数y＝f(x)在点x0处导数几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线斜率k，即k＝f′(x0)．
3．基本初等函数导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝C(C为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α为常数)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ln x
f′(x)＝
f(x)＝logax(a>0，a≠1)
f′(x)＝
4.导数运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)[]′＝(g(x)≠0)．
5．复合函数导数
若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a.
【思考辨析】
判断下面结论与否对的(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)与(f(x0))′表达意义相似．(　　)
(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．(　　)
(3)曲线切线不一定与曲线只有一种公共点．(　　)
(4)与曲线只有一种公共点直线一定是曲线切线．(　　)
(5)函数f(x)＝sin(－x)导数是f′(x)＝cos x．(　　)
1．(教材改编)f′(x)是函数f(x)＝x3＋2x＋1导函数，则f′(－1)值为________．
2．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)导函数图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)图象也许是________．

3．设函数f(x)导数为f′(x)，且f(x)＝f′()sin x＋cos x，则f′()＝________.
4．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处切线倾斜角，则α取值范畴是__________．
5．(·陕西)设曲线y＝ex在点(0,1)处切线与曲线y＝(x＞0)上点P处切线垂直，则P坐标为________．

题型一　导数运算
例1　求下列函数导数：
(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；
(2)y＝x2sin x；
(3)y＝3xex－2x＋e；
(4)y＝；
(5)y＝ln(2x－5)．
思维升华　(1)求导之前，应运用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数商形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商求导法则，减少运算量．(2)复合函数求导时，先拟定复合关系，由外向内逐级求导，必要时可换元．
(1)f(x)＝x(2 016＋ln x)，若f′(x0)＝2 017，则x0＝________.
(2)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝________.
题型二　导数几何意义
命题点1　已知切点切线方程问题
例2　(1)函数f(x)＝图象在点(1，－2)处切线方程为__________．
(2)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处切线与直线y＝0和y＝x围成三角形面积为________．
命题点2　未知切点切线方程问题
例3　(1)与直线2x－y＋4＝0平行抛物线y＝x2切线方程是__________．
(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l方程为____________．
命题点3　和切线关于参数问题
例4　已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)图象都相切，且与f(x)图象切点为(1，f(1))，则m＝________.
命题点4　导数与函数图象关系
例5　如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB垂线l.记△AOB在直线l左侧某些面积为S，则函数S＝f(x)图象为下图中________(填序号)．

思维升华　导数几何意义是切点处切线斜率，应用时重要体当前如下几种方面：
(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处导数值：k＝f′(x0)．
(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
(3)若求过点P(x0，y0)切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可．
(4)函数图象在每一点处切线斜率变化状况反映函数图象在相应点处变化状况，由切线倾斜限度可以判断出函数图象升降快慢．
　(1)已知函数f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，a＝f′()，f′(x)是f(x)导函数，则过曲线y＝x3上一点P(a，b)切线方程为__________________．
(2)若直线y＝2x＋m是曲线y＝xln x切线，则实数m值为________．
4．求曲线切线方程条件审视不准致误
典例　(14分)若存在过点O(0,0)直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，求a值．
[办法与技巧]
1．f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)导数，而函数值f(x0)是一种常数，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.
2．对于函数求导，普通要遵循先化简再求导基本原则．在实行化简时，一方面必要注意变换等价性，避免不必要运算失误．
3．未知切点曲线切线问题，一定要先设切点，运用导数几何意义表达切线斜率建立方程．
[失误与防范]
1．运用公式求导时要特别注意除法公式中分子符号，防止与乘法公式混淆．复合函数导数要对的分解函数构造，由外向内逐级求导．
2．求曲线切线时，要分清在点P处切线与过P点切线区别，前者只有一条，而后者涉及了前者．
3．曲线切线与曲线交点个数不一定只有一种，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．
1．函数单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
2．函数极值
普通地，当函数f(x)在点x0处持续时，
(1)如果在x0附近左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
3．函数最值
(1)在闭区间[a，b]上持续函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数最小值，f(b)为函数最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数最大值，f(b)为函数最小值．
【思考辨析】
判断下面结论与否对的(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(　 　)
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　 　)
(3)函数极大值不一定比极小值大．(　 　)
(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点充要条件．(　 　)
(5)函数最大值不一定是极大值，函数最小值也不一定是极小值．(　 　)
1．函数f(x)＝x2－2ln x单调递减区间是__________．
2．已知定义在实数集R上函数f(x)满足f(1)＝3，且f(x)导数f′(x)在R上恒有f′(x)<2(x∈R)，则不等式f(x)<2x＋1解集为____________．
3．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处获得极小值．
4．(教材改编)如图是f(x)导函数f′(x)图象，则f(x)极小值点个数为________．

5．设1<x<2，则，()2，大小关系是__________________．(用“<”连接)
题型一　不含参数函数单调性
例1　求函数f(x)＝单调区间．
思维升华　拟定函数单调区间环节：
(1)拟定函数f(x)定义域；
(2)求f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内某些为单调递增区间；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内某些为单调递减区间．
　函数y＝x2－ln x单调递减区间为____________．
题型二　含参数函数单调性
例2 已知函数f(x)＝ln(ex＋1)－ax(a>0)．
(1)若函数y＝f(x)导函数是奇函数，求a值；
(2)求函数y＝f(x)单调区间．
思维升华　(1)研究含参数函数单调性，要根据参数对不等式解集影响进行分类讨论．
(2)划分函数单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要拟定导数为0点和函数间断点．
(3)个别导数为0点不影响所在区间单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数．
　讨论函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1单调性．
题型三　运用函数单调性求参数
例3　设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处切线方程为y＝1.
(1)求b，c值；
(2)若a>0，求函数f(x)单调区间；
(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a取值范畴．
引申探究：在本例3(3)中，
1．若g(x)在(－2，－1)内为减函数，如何求解？
2．若g(x)单调减区间为(－2，－1)，求a值．
3．若g(x)在(－2，－1)上不单调，求a取值范畴．
思维升华　已知函数单调性，求参数范畴两个办法
(1)运用集合间包括关系解决：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间子集．
(2)转化为不等式恒成立问题：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解．
　已知函数f(x)＝exln x－aex(a∈R)．
(1)若f(x)在点(1，f(1))处切线与直线y＝x＋1垂直，求a值；
(2)若f(x)在(0，＋∞)上是单调函数，求实数a取值范畴．
5．分类讨论思想研究函数单调性
典例　(14分)已知函数f(x)＝ln x，
g(x)＝f(x)＋ax2＋bx，其中函数g(x)图象在点(1，g(1))处切线平行于x轴．
(1)拟定a与b关系；
(2)若a≥0，试讨论函数g(x)单调性．
温馨提示　(1)含参数函数单调性问题普通要分类讨论，常用分类讨论原则有如下几种也许：①方程f′(x)＝0与否有根；②若f′(x)＝0有根，求出根后与否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根大小是常用分类办法．
(2)本题求解先分a＝0或a>0两种状况，再比较和1大小．
[办法与技巧]
1．已知函数解析式求单调区间，实质上是求f′(x)>0，f′(x)<0解区间，并注意定义域．
2．含参函数单调性要分类讨论，通过拟定导数符号判断函数单调性．
3．已知函数单调性可以运用已知区间和函数单调区间包括关系或转化为恒成立问题两种思路解决．
[失误与防范]
1．f(x)为增函数充要条件是对任意x∈(a，b)均有f′(x)≥0且在(a，b)内任一非空子区间上f′(x)不恒为零，应注意此时式子中档号不能省略，否则漏解．
2．注意两种表述“函数f(x)在(a，b)上为减函数”与“函数f(x)减区间为(a，b)”区别．
3．讨论函数单调性要在定义域内进行，不要忽视函数间断点.
1 导数与函数极值、最值
题型一　用导数解决函数极值问题
命题点1　依照函数图象判断极值
例1　设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)图象如图所示，则函数f(x)极大值、极小值分别是________．

命题点2　求函数极值
例2 已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－(a∈R且a≠0)，求函数f(x)极大值与极小值．
命题点3　已知极值求参数
例3　(1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.
(2)若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间(，3)上有极值点，则实数a取值范畴是____________．
思维升华　(1)求函数f(x)极值环节：
①拟定函数定义域；
②求导数f′(x)；
③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内所有根；
④列表检查f′(x)在f′(x)＝0根x0左右两侧值符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．
(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．
　(1)函数y＝2x－极大值是________．
(2)设f(x)＝ln(1＋x)－x－ax2，若f(x)在x＝1处获得极值，则a值为________．
题型二　用导数求函数最值
例4　已知a∈R，函数f(x)＝＋ln x－1.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处切线方程；
(2)求f(x)在区间(0，e]上最小值．
思维升华　求函数f(x)在[a，b]上最大值和最小值环节
(1)求函数在(a，b)内极值；
(2)求函数在区间端点函数值f(a)，f(b)；
(3)将函数f(x)极值与f(a)，f(b)比较，其中最大一种为最大值，最小一种为最小值．
　已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax (a>)，当x∈(－2,0)时，f(x)最小值为1，则a值等于________．
题型三　函数极值和最值综合问题
例5　已知函数f(x)＝(a>0)导函数y＝f′(x)两个零点为－3和0.
(1)求f(x)单调区间；
(2)若f(x)极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上最大值．
思维升华　求函数在无穷区间(或开区间)上最值，不但要研究其极值状况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值状况，画出函数大体图象，然后借助图象观测得到函数最值．
　已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处获得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)最小值是________．
3．运用导数求函数最值问题
典例　(14分)已知函数f(x)＝ln x－ax (a∈R)．
(1)求函数f(x)单调区间；
(2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上最小值．

用导数法求给定区间上函数最值问题普通可用
如下几步答题
第一步：(求导数)求函数f(x)导数f′(x)；
第二步：(求极值)求f(x)在给定区间上单调性和极值；
第三步：(求端点值)求f(x)在给定区间上端点值；
第四步：(求最值)将f(x)各极值与f(x)端点值进行比较，拟定f(x)最大值与最小值；
第五步：(反思)反思回顾，查看核心点，易错点和解题规范．
温馨提示　(1)本题考查求函数单调区间，求函数在给定区间[1,2]上最值，属常规题型．
(2)本题难点是分类讨论．考生在分类时易浮现不全面，不精确状况．
(3)思维不流畅，答题不规范，是解答中突出问题．
[办法与技巧]
1．如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)图象是一条持续不断曲线，那么它必有最大值和最小值．
2．求闭区间上可导函数最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不作判断，直接与端点函数值比较即可．
3．当持续函数极值点只有一种时，相应极值必为函数最值．
4．求极值、最值时，规定环节规范、表格齐全，含参数时，要讨论参数大小．
[失误与防范]
1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表习惯，可使问题直观且有条理，减少失分也许．
2．求函数最值时，不可想固然地以为极值点就是最值点，要通过认真比较才干下结论．
3．函数在给定闭区间上存在极值，普通要将极值与端点值进行比较才干拟定最值．
3　导数与函数综合问题
题型一　用导数解决与不等式关于问题
命题点1　解不等式
例1　设f(x)是定义在R上奇函数，且f(2)＝0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式x2f(x)>0解集是______________．
命题点2　证明不等式
例2　证明：当x∈[0,1]时，x≤sin x≤x.
命题点3　不等式恒成立问题
例3　已知定义在正实数集上函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2ln x＋b，其中a>0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处切线相似．
(1)用a表达b，并求b最大值；
(2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．
思维升华　(1)运用导数解不等式，普通可构造函数，运用已知条件拟定函数单调性解不等式；
(2)证明不等式f(x)<g(x)，可构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，运用导数求F(x)值域，得到F(x)<0即可；
(3)运用导数研究不等式恒成立问题，一方面要构造函数，运用导数研究函数单调性，求出最值，进而得出相应含参不等式，从而求出参数取值范畴；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数最值问题．
　已知函数f(x)＝ln x－.
若f(x)<x2在(1，＋∞)上恒成立，求a取值范畴．
题型二　运用导数解决函数零点问题
例4　(·课标全国Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0,2)处切线与x轴交点横坐标为－2.
(1)求a；
(2)证明：当k<1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一种交点．
思维升华　研究方程根状况，可以通过导数研究函数单调性、最大值、最小值、变化趋势等，依照题目规定，画出函数图象走势规律，标明函数极(最)值位置，通过数形结合思想去分析问题，可以使问题求解有一种清晰、直观整体呈现．
　已知函数f(x)＝x2＋xsin x＋cos x图象与直线y＝b有两个不同交点，求b取值范畴．
题型三　运用导数解决生活中优化问题
例5　某商场销售某种商品经验表白，该商品每日销售量y(单位：公斤)与销售价格x(单位：元/公斤)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/公斤时，每日可售出该商品11公斤．
(1)求a值；
(2)若该商品成本为3元/公斤，试拟定销售价格x值，使商场每日销售该商品所获得利润最大．
思维升华　在求实际问题中最大值或最小值时，普通先设自变量、因变量、建立函数关系式，并拟定其定义域，运用求函数最值办法求解，注意成果应与实际状况相符合．用导数求实际问题中最大(小)值，如果函数在区间内只有一种极值点，那么依照实际意义可知该极值点就是最值点．
　某品牌电动汽车耗电量y与速度x之间关于系y＝x3－x2－40x(x>0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．

典例　(14分)设f(x)＝＋xln x，g(x)＝x3－x2－3.
(1)如果存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件最大整数M；
(2)如果对于任意s，t∈[，2]，均有f(s)≥g(t)成立，求实数a取值范畴．

[办法与技巧]
1．用导数办法证明不等式f(x)>g(x)时，找到函数h(x)＝f(x)－g(x)零点是解题突破口．
2．在讨论方程根个数、研究函数图象与x轴(或某直线)交点个数、不等式恒成立等问题时，经常需规定出其中参数取值范畴，此类问题实质就是函数单调性与函数极(最)值应用．
3．在实际问题中，如果函数在区间内只有一种极值点，那么只要依照实际意义鉴定是最大值还是最小值即可，不必再与端点函数值比较．
[失误与防范]
1．运用导数解决恒成立问题时，若分离参数后得到“a<f(x)恒成立”，要依照f(x)值拟定a范畴中端点能否取到．
2．运用导数解决实际生活中优化问题，要注意问题实际意义．