福建省漳州市八校高三第四次联考数学文解析版.doc

2014届漳州八校第四次联考数学（文科）试卷
第Ⅰ卷（选择题 共60分） 2014.5.4
【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，使用时间是5月初，可作为高考前的模拟考试，也是一次摸底考试，故命题模式与高考一致，考查了高考考纲上的诸多热点问题，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生基本数学素养的考查。知识考查注重基础、注重常规，也有综合性较强的问题，试题重点考查：函数、三角函数、数列、立体几何、概率与统计、解析几何等，涉及到的基本数学思想有数形结合、函数与方程、转化与化归、分类讨论等，试题难度适中，兼达到高考关于区分度的要求，适合即将参加高考的高三学生使用。
一、 选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. ，，则
（A） （B） （C） （D）
【知识点】集合的运算
【答案解析】D 解析：，所以，
故答案为：D
【思路点拨】解出集合，借助数轴求出即可。
2. 设i为虚数单位，则复数的虚部为
(A)1 (B)i (C)-1 (D)-i
【知识点】复数的运算；复数的代数形式

开始

否
是

输入
结束
输出

第3题图
【答案解析】A 解析：：，
其虚部为1，
故选：A
【思路点拨】根据复数代数形式的除法运算进行化简，然后利用
复数虚部的定义可得答案。
3. 根据给出的算法框图，计算
（A） （B） （C） （D）
【知识点】含判断结构的程序框图
【答案解析】A 解析：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出
分段函数的函数值，所以，
故选：A
【思路点拨】根据框图写出其中的分段函数解析式，代入求解即可。
4. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列四个命题正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【知识点】直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系
【答案解析】B 解析：对于A，根据面面平行的判定定理可知少条件“m与n相交”，故不正确；
对于B，若，则无交点，又，所以无交点，即，故正确；
对于C，若，，则，又，所以，故C不正确；
对于D，时，也可能平行，故D不正确，
故选：B
【思路点拨】可以在正方体模型中寻找需要的直线和平面，根据线线、线面、面面的位置关系的定义判定即可。
5. 某几何体的三视图如右图,(其中侧视图中的圆弧是半圆),则该几何体的表面积为
(A) (B)
(C) (D)
【知识点】由三视图求几何体的表面积、体积
【答案解析】A 解析：由三视图可知，此几何体上半部分是半个圆柱，圆柱的底面半径为2，高为5，下半部分是一个长方体，长、宽、高分别为4,4,5，故此几何体的表面积为：，
故选为：A
【思路点拨】由三视图判断几何体的结构特征，可知几何体是半个圆柱和一个长方体拼接而成，故表面积是半个圆柱的表面积与（不包括与长方体连接的面）和长方体的侧面积以及一个底面积的和，由三视图的相关数据分别计算即可。

6. 若变量x，y满足约束条件则的取值范围是
(A) (，7) (B)[，5 ] c[，7] D [，7]
【知识点】线性规划；直线的斜率公式
【答案解析】D 解析：画出可行域如图中阴影部分所示：

可看做可行域内的点与点的连线的斜率，由图可知，当直线经过点A时，，当直线经过点B时，，
故选：D
【思路点拨】根据约束条件画出可行域，把转化成可行域内的点与点的连线的斜率，结合图像，可得直线经过点A、B时，斜率分别取得最大值和最小值，即得Z的取值范围。
7. 已知函数向左平移个单位后，得到函数，下列关于
的说法正确的是
（A）图象关于点中心对称 （B）图象关于轴对称
（C）在区间单调递增 （D）在单调递减
【知识点】图像的平移与转化；三角函数的性质
【答案解析】C 解析：，令，得其对称中心为：，无论Z取何整数，，故A错误，
当时，，所以图象不关于轴对称，故B不正确，
当时，，所以函数在区间单调递增，故C正确，
当时，，函数在此区间先增后减，故D不正确，
故选：C
【思路点拨】根据函数图象的平移变换法则“左加右减，上加下减”，易得到函数y=sin2x的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式，然后利用函数的对称性，单调性判断选项即可．
8. 函数与(且)在同一直角坐标系下的图象可能是

【知识点】指数函数和正弦函数的图像；图像的变换
【答案解析】D 解析：y=a|x|是偶函数，y轴右侧的图像为y=ax的图像一致，y=sinax的周期为，时，，时，
当a＞1时，函数y=a|x|在y轴右侧的图像与y=sinax（a＞0且a≠1）在同一直角坐标系下的图象为：

当0＜a＜1时，函数y=a|x|与y=sinax（a＞0且a≠1）在同一直角坐标系下的图象为：

比照后，发现D满足第一种情况，
故选：D
【思路点拨】结合函数图象的对折变换法则和正弦型函数的伸缩变换，分a＞1时和
0＜a＜1两种情况，分析两个函数的图象，比照后，可得答案．
9. 若正实数，满足，则的最大值是( )
A．3 B．4 　 C．5 　 D．6
【知识点】基本不等式的应用
【答案解析】B 解析：

故选：B
【思路点拨】将通分，两次运用基本不等式即可得出答案。
10. 在中，角A，B，C对应边分别是a，b，c，，，，
则等于( )
(A) (B) (C) (D)
【知识点】向量的运算；数量积
【答案解析】A 解析：=

故选：A
【思路点拨】由已知中角A，B，C对应边分别是a，b，c，a=5，b=8，C=60°，结合平面向量数量积的运算公式，将已知中的数据代入即可得到答案．
11. 已知双曲线的焦距为，抛物线与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为
A． B． C． D．
【知识点】圆锥曲线的定义、性质、方程
【答案解析】C 解析：由双曲线的焦距为可排除掉A、B,
而双曲线的渐进性方程为：，把代入抛物线方程中，得，，抛物线与双曲线C的渐近线不相切，排除掉D，
故选：C
【思路点拨】由已知条件，根据双曲线的焦距不等于，排除A，B，再由抛物线与渐进线不相切排除掉D。

12. 已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间[0，2]上是增函数，则
(A) (B)
(C) (D)
【知识点】函数的奇偶性、周期性、单调性
【答案解析】D 解析：满足
，即是周期为8的奇函数，
则，，
，
又在区间[0，2]上是增函数，根据奇函数在关于原点对
称区间上单调性相同，知函数在上单调递增，
所以，即，
故选：D

【思路点拨】可变形为，得到函数是以8为周期的周期函数，结合在R上是奇函数，则，，再由在区间[0，2]上是增函数，以及奇函数的性质，推出函数在[-2，2]上的单调性，即可得到结论．

第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.
13. 已知圆C的圆心是直线与y轴的交点，且圆C与直线相切，则圆的标准方程为 ．
【知识点】直线和圆的位置关系；圆的方程
【答案解析】 解析：直线与y轴的交点为，所以圆C的圆心为：
因为圆C与直线相切，所以，
所以圆的标准方程为：，
故答案为：
【思路点拨】对于直线x-y+1=0，令x=0求出y的值，确定出圆心C坐标，利用点到直线的距离公式求出圆C的半径，写出圆的标准方程即可．
14\已知函数，则 ．
【知识点】分段函数的函数值
【答案解析】 解析：，所以，
故答案为：
【思路点拨】根据自变量的范围代入对应的解析式中求函数值即可。

15. 在区间[-2，3]上任取一个数a，则函数有极值的概率为 .
【知识点】函数的极值；几何概型
【答案解析】 解析：在区间[-2，3]上任取一个数a，则-2≤a≤3，对应的区间长度为3-（-2）=5，
若有极值，则有两个不等的实根，即判别式，解得，则对应的区间长度为-1-（-2）+3-2=1+1=2，
∴由几何概型的概率公式可得对应的概率，
故答案为：
【思路点拨】根据f（x）有极值，得到f'（x）=0有两个不同的根，求出a的范围，利用几何概型的概率公式即可的得到结论．
16. 函数的定义域为，其图象上任一点满足，则下列说法中
①函数一定是偶函数； ②函数可能是奇函数；
③函数在单调递增；④若是偶函数，其值域为
正确的序号为_______________.（把所有正确的序号都填上）
【知识点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明
【答案解析】② 解析：
的图象为双曲线，如图1：
图1
①若函数对应的图象为2，4象限部分的图象，如图2，
图2
则此时为奇函数，∴①错误；
②由①知函数可能是奇函数，∴②正确；
③如图2：函数y=f（x）在（1，+∞）单调递减，∴③错误；
④若y=f（x）是偶函数，其图像有可能如图3，
图3
此时其值域为，故④错误，
故答案为：②
【思路点拨】根据条件作出满足条件的函数图象，利用函数奇偶性的性质和单调性的性质即可得到结论．
三、解答题:本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分12分） 已知向量，.
（Ⅰ）若，，且，求；
（Ⅱ）若，求的取值范围.
【知识点】向量的垂直关系；三角恒等变换；向量的数量积
【答案解析】
解：（Ⅰ）∵ ，∴
∵ ， ∴
整理得
∴过
∵ ，∴
（Ⅱ）
令
∴当时，，当时，
∴的取值范围为.
【思路点拨】（Ⅰ）由，得，再解出三角函数方程即可；
（II）利用数量积运算可得的值，再通过换元法利用二次函数的单调性即可得出答案。
18. (本小题满分12分）某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表：

喜欢
不喜欢
合计
大于40岁
20
5
25
20岁至40岁
10
20
30
合计
30
25
55
(Ⅰ)判断是否有99.5％的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？
(Ⅱ)用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取6人作进一步调查，将这6位市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位“大于40岁”的市民和1位“20岁至40岁”的市民的概率．
下面的临界值表供参考：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：，其中）
【知识点】独立性检验的应用
【答案解析】
解：（1）由公式
所以有的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关。
（2）设所抽样本中有个“大于40岁”市民，则，得人
所以样本中有4个“大于40岁”的市民，2个“20岁至40岁”的市民，分别记作，从中任选2人的基本事件有
共15个 ，
其中恰有1名“大于40岁”和1名“20岁至40岁”之间的市民的事件有共8个，
所以恰有1名“大于40岁”和1名“20岁至40岁”之间的市民的概率为
【思路点拨】（Ⅰ）计算K2的值，与临界值比较，即可得到结论；
（II）确定样本中有4个“大于40岁”的市民，2个“20岁至40岁”的市民，利用列举法确定基本事件，即可求得结论．
19. (本小题满分12分）已知正项数列中，，前n项和为，当时，有.（1）求数列的通项公式；
（2）记是数列的前项和，若的等比中项，求 .
【知识点】求通项公式；数列的前n项和
【答案解析】
解： （1）

，

（2）

【思路点拨】（1）由题知数列是等差数列，所以可求出的通项，进而求出的通项，再根据和的关系求出；
（2）根据等比中项的定义求出，再将的每一项裂成两项，用裂项相消法即可求出。
20. (本小题满分12分)如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，AD//BC，底面，∠ADC=90°，BC=AD=1， PD=CD=2，Q为AD的中点．
P
A
B
C
D
Q
M
（Ⅰ）若点M在棱PC上，设PM=tMC，是否存在实数t，使得PA//平面BMQ，若存在，给出证明并求t的值，若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥的体积.

【知识点】直线和平面平行；几何体的体积
【答案解析】
解：（1）存在t=1使得PA//平面BMQ，理由如下：
连接交于，连接,
因为∠ADC=90°，Q为AD的中点
所以为的中点
当M为棱PC的中点，即PM=MC时，为的中位线
P
A
B
C
D
Q
M
故//，又平面BMQ
所以PA//平面BMQ
（2）由（1）可知，PA//平面BMQ
所以，到平面BMQ的距离等于A到平面BMQ的距离
所以
取CD中点，连接MK，所以MK//PD且MK=PD=1
又底面，所以MK底面
又BC=AD=1， PD=CD=2，所以
所以==
【思路点拨】（1）假设存在实数t，使得PA//平面BMQ，依据线面平行的性质定理，则过PA的平面与平面BMQ的交线必与PA平行，连接交于，连接，则就是平面PAC与平面BMQ的交线，故PA//MN，因为为的中点，所以是的中点，故；
（2）三棱锥的底面积和高比较难求，因为到平面BMQ的距离等于A到平面BMQ的距离，所以可将的体积转化为的体积，进而转化为的体积，求出三棱锥高和底面积，代入计算即可。
21. (本小题满分12分）定义在实数集上的函数。
⑴求函数的图象在处的切线方程;
⑵若对任意的恒成立，求实数m的取值范围。
【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【答案解析】
解: ：⑴∵,当时，
∵
∴所求切线方程为。
⑵令
∴当时，；
当时，；
当时，；
要使恒成立，即.
由上知的最大值在或取得.
而
∴实数m的取值范围。
【思路点拨】（1）求切线方程，就是求和，然后利用点斜式求直线方程，问题得以解决；
（2）令，要使恒成立，即，转化为求最值问题，利用导数求即可。
22.（本小题满分14分）如图；.已知椭圆C: 的离心率为，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T:设圆T与椭圆C交于点M、N.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求的最小值，并求此时圆T的方程;
（Ⅲ）设点P是椭圆C 上异于M,N的任意一点，且直线MP,NP分别与轴交于点R，S，
O为坐标原点。求证：为定值.
【知识点】圆锥曲线的综合问题
【答案解析】
解：（I）由题意知解之得；，由得b=1，
故椭圆C方程为;
（II）点M与点N关于轴对称，
设 不妨 设.
由于点M在椭圆C上，,
由已知,
,
阶段;
由于故当时，取得最小值为-,
当时，故又点M在圆T上，代入圆的方程得,故圆T的方程为：；
（III）设，则直线MP的方程为
令，得，同理, 故，
又点M与点P在椭圆上，故 ，
得，
为定值．
【思路点拨】（Ⅰ）根据椭圆的离心率和圆T:的圆心是椭圆的左顶点，可列出的方程组，解出，再结合解出即可得到椭圆的方程；
（II）设，表示出，利用配方法求出最小值，可得点的坐标，从而可得圆的半径，即可求此时圆T的方程；
（Ⅲ）设，分别由两点式写出直线MP,NP的方程，令，解出点R，S的坐标，代入中，结合都在椭圆上，化简即可得结论。