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习题11
11-1．直角三角形的点上，有电荷，点上有电荷，试求点的电场强度(设，)。
解：在C点产生的场强：，
在C点产生的场强：，
∴点的电场强度：；
点的合场强：，
方向如图：。
11-2．用细的塑料棒弯成半径为的圆环，两端间空隙为，电量为的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处电场强度的大小和方向。
解：∵棒长为，
∴电荷线密度：
可利用补偿法，若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为0，有一段空隙，则圆心处场强等于闭合线圈产生电场再减去长的带电棒在该点产生的场强，即所求问题转化为求缺口处带负电荷的塑料棒在点产生的场强。
解法1：利用微元积分：
，
∴；
解法2：直接利用点电荷场强公式：
由于，该小段可看成点电荷：，
则圆心处场强：。
方向由圆心指向缝隙处。
11-3．将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为，四分之一圆弧的半径为，试求圆心点的场强。
解：以为坐标原点建立坐标，如图所示。
①对于半无限长导线在点的场强：
有：
②对于半无限长导线在点的场强：
有：
③对于圆弧在点的场强：有：
∴总场强：，，得：。
或写成场强：，方向。
11-4．一个半径为的均匀带电半圆形环，均匀地带有电荷，电荷的线密度为，求环心处点的场强E。
解：电荷元dq产生的场为：；
根据对称性有：，则：
，
方向沿轴正向。即：。
11-5．带电细线弯成半径为的半圆形，电荷线密度
为，式中为一常数，为半径与轴
所成的夹角，如图所示．试求环心处的电场强度。
解：如图，，
考虑到对称性，有：；
∴，
方向沿轴负向。
11-6．一半径为的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为，求球心处的电场强度。
解：如图，把球面分割成许多球面环带，环带宽为，所带电荷：。
利用例11-3结论，有：
∴，
化简计算得：，∴。
11-7．图示一厚度为的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为。求板内、外的场强分布，并画出场强随坐标变化的图线，即图线(设原点在带电平板的中央平面上，轴垂直于平板)。
解：在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面为高斯面，
当时，由和，
有：；
当时，由和，
有：。图像见右。
11-8．在点电荷的电场中，取一半径为的圆形平面(如图所示)，
平面到的距离为，试计算通过该平面的的通量.
解：通过圆平面的电通量与通过与为圆心、为半径、圆的平面
为周界的球冠面的电通量相同。
【先推导球冠的面积：如图，令球面的半径为，有，
球冠面一条微元同心圆带面积为：
∴球冠面的面积：
】
∵球面面积为：，通过闭合球面的电通量为：，
由：，∴。
11-9．在半径为R的“无限长”直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为ρ，求圆柱体内、外的场强分布，并作E~r关系曲线。
解：由高斯定律，考虑以圆柱体轴为中轴，半径为，长为的高斯面。
（1）当时，，有；
（2）当时，，则：；
即：；
图见右。
11-10．半径为和（）的两无限长同轴圆柱面，单位长度分别带有电量和，试求：（1）；（2）；（3）处各点的场强。
解：利用高斯定律：。
（1）时，高斯面内不包括电荷，所以：；
（2）时，利用高斯定律及对称性，有：，则：；
（3）时，利用高斯定律及对称性，有：，则：；
即：。
11-11．一球体内均匀分布着电荷体密度为的正电荷，若保持电荷分布不变,在该球体中挖去半径为的一个小球体，球心为，两球心间距离，如图所示。求：
（1）在球形空腔内，球心处的电场强度；
（2）在球体内P点处的电场强度，设、、三点在同一直径上，且。
解：利用补偿法，可将其看成是带有电荷体密度为的大球和带有电荷体密度为的小球的合成。
（1）以为圆心，过点作一个半径为的高斯面，根据高斯定理有：
，方向从指向；
（2）过点以为圆心，作一个半径为的高斯面。根据高斯定理有：
，方向从指向，
过点以为圆心，作一个半径为的高斯面。根据高斯定理有：
，
∴，方向从指向。
11-12．设真空中静电场的分布为，式中为常量，求空间电荷的分布。
解：如图，考虑空间一封闭矩形外表面为高斯面，
有：
由高斯定理：，
设空间电荷的密度为，有：
∴，可见为常数。
11-13．如图所示，一锥顶角为的圆台，上下底面半径分别为和，在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为，求顶点的电势．(以无穷远处为电势零点)
解：以顶点为原点，沿轴线方向竖直向下为轴，在侧面上取环面元，如图示，易知，环面圆半径为：，环面圆宽：
，
利用带电量为的圆环在垂直环轴线上处电势的表达式：
，
有：，
考虑到圆台上底的坐标为：，，
∴。
11-14．电荷量Q均匀分布在半径为R的球体内，试求：离球心处（）P点的电势。
解：利用高斯定律：可求电场的分布。
（1）时，；有：；
（2）时，；有：；
离球心处（）的电势：，即：
。
11-15．图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为，球壳内表面半径为，外表面半径为．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势。
解：当时，因高斯面内不包围电荷，有：，
当时，有：，
当时，有：，
以无穷远处为电势零点，有：
。
11-16．电荷以相同的面密度s 分布在半径为和的两个同心球面上，设无限远处电势为零，球心处的电势为。
（1）求电荷面密度；
（2）若要使球心处的电势也为零，外球面上电荷面密度为多少？
（）
解：（1）当时，因高斯面内不包围电荷，有：，
当时，利用高斯定理可求得：，
当时，可求得：，
∴
那么：
（2）设外球面上放电后电荷密度，则有：
，∴
则应放掉电荷为：
。
11-17．如图所示，半径为的均匀带电球面，带有电荷，沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为，长度为，细线左端离球心距离为。设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能（设无穷远处的电势为零）。
解：（1）以点为坐标原点，有一均匀带电细线的方向为轴，
均匀带电球面在球面外的场强分布为：（）。
取细线上的微元：，有：，
∴（为方向上的单位矢量）
（2）∵均匀带电球面在球面外的电势分布为：（，为电势零点）。
对细线上的微元，所具有的电势能为：，
∴。
11-18. 一电偶极子的电矩为，放在场强为的匀强电场中，与之间夹角为，如图所示．若将此偶极子绕通过其中心且垂直于、平面的轴转，外力需作功多少？
解：由功的表示式：
考虑到：，有：。
11-19．如图所示，一个半径为的均匀带电圆板，其电荷面密度为(＞0)今有一质量为，电荷为的粒子(＞0)沿圆板轴线(轴)方向向圆板运动，已知在距圆心（也是轴原点）为的位置上时，粒子的速度为，求粒子击中圆板时的速度(设圆板带电的均匀性始终不变)。
解：均匀带电圆板在其垂直于面的轴线上处产生的电势为：
，那么，
，
由能量守恒定律，，
有：
思考题11
11-1．两个点电荷分别带电和，相距，试问将第三个点电荷放在何处它所受合力为零?
答：由，解得：，即离点电荷的距离为。
11-2．下列几个说法中哪一个是正确的？
（A）电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向；
（B）在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同；
（C）场强方向可由定出，其中为试验电荷的电量，可正、可负，为试验电荷所受的电场力；
（D）以上说法都不正确。
答：（C）
11-3．真空中一半径为的的均匀带电球面,总电量为(＜0)，今在球面面上挖去非常小的一块面积(连同电荷)，且假设不影响原来的电荷分布，则挖去后球心处的电场强度大小和方向.
答：题意可知：，利用补偿法，将挖去部分看成点电荷，
有：，方向指向小面积元。
11-4．三个点电荷、和在一直线上，相距均为，以与的中心作一半径为的球面，为球面与直线的一个交点，如图。求：
(1)通过该球面的电通量；
(2)点的场强。
解：(1)；(2)。
11-5．有一边长为的正方形平面，在其中垂线上距中心点处，
有一电荷为的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量
为多少？
解：设想一下再加5个相同的正方形平面将围在正方体的中心，
通过此正方体闭合外表面的通量为：，那么，
通过该平面的电场强度通量为：。
11-6．对静电场高斯定理的理解，下列四种说法中哪一个是正确的？
(A)如果通过高斯面的电通量不为零，则高斯面内必有净电荷；
(B)如果通过高斯面的电通量为零，则高斯面内必无电荷；
(C)如果高斯面内无电荷，则高斯面上电场强度必处处为零；
(D)如果高斯面上电场强度处处不为零，则高斯面内必有电荷。
答：(A)
11-7．由真空中静电场的高斯定理可知
(A)闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为零；
(B)闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强一定都不为零；
(C)闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定都为零；
(D)闭合面内无电荷时，闭合面上各点场强一定为零。
答：(C)
11-8．图示为一具有球对称性分布的静电场的关系曲线．请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的。
(A)半径为的均匀带电球面；
(B)半径为的均匀带电球体；
(C)半径为、电荷体密度(为常数）的非均匀带电球体；
(D)半径为、电荷体密度(为常数)的非均匀带电球体。
答：(D)
11-9．如图，在点电荷q的电场中，选取以q为中心、R为半径的球面上一点P处作电势零点，则与点电荷q距离为r的P'点的电势为
(A) (B)
(C) (D)
答：(B)
11-10．密立根油滴实验，是利用作用在油滴上的电场力和重力平衡而测量电荷的，其电场由两块带电平行板产生．实验中，半径为、带有两个电子电荷的油滴保持静止时，其所在电场的两块极板的电势差为．当电势差增加到4时，半径为2的油滴保持静止，则该油滴所带的电荷为多少？
解：┄①，┄②
∴①②联立有：。
11-11．设无穷远处电势为零，则半径为的均匀带电球体产生的电场的电势分布规律为(图中的和皆为常量)：
答：(C)
11-12．无限长均匀带电直线的电势零点能取在无穷远吗？
答：不能。见书中例11-12。
大学物理第12章课后习题
12-1．一半径为米的孤立导体球，已知其电势为(以无穷远为零电势)，计算球表面的面电荷密度。
解：由于导体球是一个等势体，导体电荷分布在球表面，∴电势为：，
则：。
12-2．两个相距很远的导体球，半径分别为，，都带有的电量，如果用一导线将两球连接起来，求最终每个球上的电量。
解：半径分别为的电量为，电量为，
由题意，有：┄①，┄②，
①②联立，有：，。
12-3．有一外半径为，内半径的金属球壳，在壳内有一半径为的金属球，球壳和内球均带电量，求球心的电势．
解：由高斯定理，可求出场强分布：
∴
。
12-4．一电量为的点电荷位于导体球壳中心，壳的内外半径分别为、．求球壳内外和球壳上场强和电势的分布，并画出和曲线.
解：由高斯定理，可求出场强分布：
∴电势的分布为：
当时，
；
当时，；
当时，。
12-5．半径，带电量的金属球，被一同心导体球壳包围，球壳内半径，外半径，带电量。试求距球心r处的P点的场强与电势。（1）（2）（3）。
解：由高斯定理，可求出场强分布：
∴电势的分布为：
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴（1），适用于情况，有：
，；
（2），适用于情况，有：
，；
（3），适用于情况，有：
，。
12-6．两块带有异号电荷的金属板和，相距，两板面积都是，电量分别为，板接地，略去边缘效应，求：（1）板的电势；（2）间离板处的电势。
解：（1）由有：，
则：，而，
∴，
离板处的电势：
12-7．平板电容器极板间的距离为d，保持极板上的电荷不变，忽略边缘效应。若插入厚度为t(t<d)的金属板，求无金属板时和插入金属板后极板间电势差的比；如果保持两极板的电压不变，求无金属板时和插入金属板后极板上的电荷的比。
解：（1）设极板带电量为，面电荷密度为。
无金属板时电势差为：，
有金属板时电势差为：，
电势差比为：；
（2）设无金属板时极板带电量为，面电荷密度为，
有金属板时极板带电量为，面电荷密度为。
由于，有，即
∴。
解法二：
无金属板时的电容为：，有金属板时的电容为：。那么：
（1）当极板电荷保持不变时，利用知：；
（2）当极板电压保持不变时，利用知：。
12-8．实验表明，在靠近地面处有相当强的电场垂直于地面向下，大小约为.在离地面的高空的场强也是垂直向下，大小约为.
（1）试估算地面上的面电荷密度(设地面为无限大导体平面)；
（2）计算从地面到高空的空气中的平均电荷密度．
解：（1）因为地面可看成无穷大导体平面，地面上方的面电荷密度可用考察，选竖直向上为正向，考虑到靠近地面处场强为，所以：
；
（2）如图，由高斯定理，有：
，则：，
得：。
12-9．同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱(内)和圆筒(外)构成，设内圆柱半径为，电势为，外圆筒的内半径为，电势为.求其离轴为处(<<)的电势。
解：∵<<处电场强度为：，
∴内外圆柱间电势差为：
则：
同理，处的电势为：（*）
∴。
【注：上式也可以变形为：，与书后答案相同，或将（*）式用：计算，结果如上】
12-10．半径分别为a和b的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多，今用一细导线将两者相连接，并给系统带上电荷Q，求：
（1）每个求上分配到的电荷是多少？（2）按电容定义式，计算此系统的电容。
解：（1）首先考虑a和b的两个金属球为孤立导体，由于有细导线相连，两球电势相等：┄①，再由系统电荷为Q，有：┄②
两式联立得：，；
（2）根据电容的定义：（或），将（1）结论代入，
有：。
12-11．图示一球形电容器，在外球壳的半径及内外导体间的电势差维持恒定的条件下，内球半径为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的大小。
解：由高斯定理可得球形电容器空间内的场强为：，
而电势差：，
∴，那么，场强表达式可写为：。
因为要考察内球表面附近的场强，可令，有：，
将看成自变量，若有时，出现极值，那么：
得：，此时：。
12-12．一空气平板电容器，极板的面积都是，极板间距离为．接上电源后，板电势，板电势．现将一带有电荷、面积也是而厚度可忽略的导体片平行插在两极板的中间位置，如图所示，试求导体片的电势。
解：由题意，，而：，
且，∴，则：。
导体片的电势：，
∴。
12-13．两金属球的半径之比为1∶4，带等量的同号电荷，当两者的距离远大于两球半径时，有一定的电势能；若将两球接触一下再移回原处，则电势能变为原来的多少倍？
解：（1）设小球，大球，两球各自带有电量为，有：
接触之前的电势能：；
（2）接触之后两球电势相等电荷重新分布，设小球带电为，大金属球带电为，
有：┄①和┄②，①②联立解得：，。
那么，电势能为：。
思考题12
12-1．一平行板电容器，两导体板不平行，今使两板分别带有和的电荷，有人将两板的电场线画成如图所示，试指出这种画法的错误，你认为电场线应如何分布。
答：导体板是等势体，电场强度与等势面正交，
两板的电场线接近板面时应该垂直板面。
12-2．在“无限大”均匀带电平面附近放一与它平行，且有一定厚度的“无限大”平面导体板，如图所示．已知上的电荷面密度为，则在导体板的两个表面1和2上的感生电荷面密度为多少？
答：，。
12-3．充了电的平行板电容器两极板(看作很大的平板)间的静电作用力与两极板间的电压之间的关系是怎样的？
答：对静电能的求导可以求得电场作用于导体上的力。
12-4．一个未带电的空腔导体球壳，内半径为，在腔内离球心的
距离为处(<)，固定一点电荷，如图所示，用导线把球壳
接地后，再把地线撤去．选无穷远处为电势零点，则球心处的电
势为多少？
答：
12-5．在一个原来不带电的外表面为球形的空腔导体内，放一
带有电荷为的带电导体，如图所示，则比较空腔导体的
电势和导体的电势时，可得什么结论？
答：和都是等势体，；
习题13
13-1．如图为半径为的介质球，试分别计算下列两种情况下球表面上的极化面电荷密度和极化电荷的总和，已知极化强度为P(沿轴)。
（1）；（2）。
解：可利用公式算出极化电荷。
首先考虑一个球的环形面元，有：，
（1）时，由知，
；
（2）时，，
。
13-2．平行板电容器，板面积为，带电量，在两板间充满电介质后，其场强为，试求：（1）介质的相对介电常数；(2)介质表面上的极化电荷密度。
解：（1）由，有：
（2）
13-3．面积为的平行板电容器，两板间距为，求：（1）插入厚度为，相对介电常数为的电介质，其电容量变为原来的多少倍？（2）插入厚度为的导电板，其电容量又变为原来的多少倍？
解：（1）电介质外的场强为：，
而电介质内的场强为：，
所以，两板间电势差为：，
那么，，而，∴；
（2）插入厚度为的导电板，可看成是两个电容的串联，
有：，
∴。
13-4．在两个带等量异号电荷的平行金属板间充满均匀介质后，若已知自由电荷与极化电荷的面电荷密度分别为与(绝对值)，试求：（1）电介质内的场强；（2）相对介电常数。
解：（1）由：，有：
（∵给出的是绝对值）
（2）又由，有：。
13-5．在导体和电介质的分界面上分别存在着自由电荷和极化电荷。若导体内表面的自由电荷面密度为，则电介质表面的极化电荷面密度为多少？(已知电介质的相对介电常数为)
解：由，考虑到，
有：，
与联立，有：，
得：，∴。
13-6．如图所示，半径为的导体球带有电荷Q，球外有一层均匀介质同心球壳，其内、外半径分别为和，相对电容率为，求：介质内、外的电场强度大小和电位移矢量大小。
解：利用介质中的高斯定理。
（1）导体内外的电位移为：，；，。
（2）由于，所以介质内外的电场强度为：
时，；时，；
时，；时，。
13-7．一圆柱形电容器，外柱的直径为，内柱的直径可以适当
选择，若其间充满各向同性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度
大小为，试求该电容器可能承受的最高电压。
解：由介质中的高斯定理，有：，
∴，
∵击穿场强为，∴，则，
令，有：，∴，
∴。
13-8．一平行板电容器，中间有两层厚度分别为和的电介质，它们的相对介电常数为和，极板面积为，求电容量。
解：∵，∴，，
而：，
有：。
13-9．利用电场能量密度计算均匀带电球体的静电能，设球体半径为，带电量为。
解：首先求出场强分布：
∴
。
13-10．半径为的导体外套有一个与它同心的导体球壳，球壳的内外半径分别为和，当内球带电量为时，求：（1）系统储存了多少电能?（2）用导线把壳与球连在一起后电能变化了多少？
解：（1）先求场强分布：
考虑到电场能量密度，有：球与球壳之间的电能：
球壳外部空间的电能：
，
∴系统储存的电能：；
（2）如用导线把壳与球连在一起，球与球壳内表面所带电荷为0，所以
而外表面所带电荷不变，那么：。
13-11．球形电容器内外半径分别为和，充有电量。（1）求电容器内电场的总能量；（2）证明此结果与按算得的电容器所储电能值相等。
解：（1）由高斯定理可知，球内空间的场强为：，（）
利用电场能量密度，有电容器内电场的能量：
；
（2）由，
则球形电容器的电容为：，
那么，。（与前面结果一样）
13-12．一平行板电容器的板面积为，两板间距离为，板间充满相对介电常数为的均匀介质，分别求出下述两种情况下外力所做的功：（1）维持两板上面电荷密度不变而把介质取出；（2）维持两板上电压不变而把介质取出。
解：（1）维持两板上面电荷密度不变，有介质时：，
（，）
取出介质后：，
外力所做的功等于静电场能量的增加：；
（2）维持两板上电压不变，有介质时：，
取出介质后：，
∴。
思考题13
13-1．介质的极化强度与介质表面的极化面电荷是什么关系？
答：。
13-2．不同介质交界面处的极化电荷分布如何？
答：，
即在两种介质的交界面上，极化电荷的面密度等于两种介质的极化强度的法向分量之差。
13-3．介质边界两侧的静电场中及的关系如何？
答：在两种介质的交界面上，若无自由电荷电位移矢量在垂直界面的分量是连续的，平行于界面的分量发生突变。电场强度在垂直界面的分量是不连续的，有突变。
13-4．真空中两点电荷、在空间产生的合场强为.系统的电场能为
.
（1）说明等式后面三项能量的意义；
（2）两电荷之间的相互作用能是指哪些项？
（3）将两电荷从给定位置移至无穷远，电场力做功又是哪些项？
答：第一项表示点电荷所形成的电场的能量，第二项是点电荷所形成的电场的能量，第三项是两个点电荷的相互作用能。
大学物理第14章课后习题
14-1．如图所示的弓形线框中通有电流，求圆心处的磁感应强度。
解：圆弧在O点的磁感应强度：，方向：；
直导线在O点的磁感应强度：，方向：；
∴总场强：，方向。
14-2．如图所示，两个半径均为R的线圈平行共轴放置，其圆心O1、O2相距为a，在两线圈中通以电流强度均为I的同方向电流。
（1）以O1O2连线的中点O为原点，求轴线上坐标为x的任意点的磁感应强度大小；
（2）试证明：当时，O点处的磁场最为均匀。
解：见书中载流圆线圈轴线上的磁场，有公式：。
（1）左线圈在x处点产生的磁感应强度：，
右线圈在x处点产生的磁感应强度：，
和方向一致，均沿轴线水平向右，
∴点磁感应强度：；
（2）因为随变化，变化率为，若此变化率在处的变化最缓慢，则O点处的磁场最为均匀，下面讨论O点附近磁感应强度随变化情况，即对的各阶导数进行讨论。
对求一阶导数：
当时，，可见在O点，磁感应强度有极值。
对求二阶导数：
当时，，
可见，当时，，O点的磁感应强度有极小值，
当时，，O点的磁感应强度有极大值，
当时，，说明磁感应强度在O点附近的磁场是相当均匀的，可看成匀强磁场。
【利用此结论，一般在实验室中，用两个同轴、平行放置的匝线圈，相对距离等于线圈半径，通电后会在两线圈之间产生一个近似均匀的磁场，比长直螺线管产生的磁场方便实验，这样的线圈叫亥姆霍兹线圈】
14-3．无限长细导线弯成如图所示的形状，其中部分是在
平面内半径为的半圆，试求通以电流时点的磁感应强度。
解：∵a段对O点的磁感应强度可用求得，
有：，∴
b段的延长线过点，，
c段产生的磁感应强度为：，∴
则：O点的总场强：，方向如图。
14-4．如图所示，半径为R的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单层线圈均匀覆盖住半个球面。设线圈的总匝数为N，通过线圈的电流为I，求球心O的磁感强度。
解：从O点引出一根半径线，与水平方向呈角，则有水平投影：
，圆环半径：，取微元，
有环形电流：，
利用：，有：
，
∴。
14-5．无限长直圆柱形导体内有一无限长直圆柱形空腔（如图所示），空腔与导体的两轴线平行，间距为，若导体内的电流密度均匀为，的方向平行于轴线。求腔内任意点的磁感应强度。
解：采用补偿法，将空腔部分看成填满了的电流，那么，
以导体的轴线为圆心，过空腔中任一点作闭合回路，利用
，有：，
∴，
同理，还是过这一点以空腔导体的轴线为圆心作闭合回路：
，有：，
由图示可知：
那么，。
14-6．在半径的无限长半圆柱形金属片中，有电流自下而上通过，如图所示。试求圆柱轴线上一点处的磁感应强度的大小。
解：将半圆柱形无限长载流薄板细分成宽为的长直电流，
有：，利用。
在P点处的磁感应强度为：，
∴，而因为对称性，
那么，。
14-7．如图所示，长直电缆由半径为R1的导体圆柱与同轴的内外半径分别为R2、R3的导体圆筒构成，电流沿轴线方向由一导体流入，从另一导体流出，设电流强度I都均匀地分布在横截面上。求距轴线为r处的磁感应强度大小（）。
解：利用安培环路定理分段讨论。
（1）当时，有：
∴；
（2）当时，有：，∴；
（3）当时，有：，
∴；
（4）当时，有：，∴。
则：
14-8．一橡皮传输带以速度匀速向右运动，如图所示，橡皮带上均匀带有电荷，电荷面密度为。
（1）求像皮带中部上方靠近表面一点处的磁感应强度的大小；
（2）证明对非相对论情形，运动电荷的速度及它所产生的磁场和电场之间满足下述关系：（式中）。
解：（1）如图，垂直于电荷运动方向作一个闭合回路，考虑到橡皮带上等效电流密度为：，橡皮带上方的磁场方向水平向外，橡皮带下方的磁场方向水平向里，根据安培环路定理有：
，
∴磁感应强度的大小：；
（2）非相对论情形下：
匀速运动的点电荷产生的磁场为：，
点电荷产生的电场为：，
∴，
即为结论：（式中）。
14-9．一均匀带电长直圆柱体，电荷体密度为，
半径为。若圆柱绕其轴线匀速旋转，角速度为，
求：（1）圆柱体内距轴线处的磁感应强度的大小；
（2）两端面中心的磁感应强度的大小。
解：（1）考察圆柱体内距轴线处到半径的圆环等效电流。
∵，∴，
选环路如图所示，
由安培环路定理：，
有：
∴
（2）由上述结论，带电长直圆柱体旋转相当于螺线管，端面的磁感应强度是中间磁感应强度的一半，所以端面中心处的磁感应强度：。
14-10．如图所示，两无限长平行放置的柱形导体内通过等值、反向电流，电流在两个阴影所示的横截面的面积皆为，两圆柱轴线间的距离，试求两导体中部真空部分的磁感应强度。
解：因为一个阴影的横截面积为，那么面电流密度为：
，利用补偿法，将真空部分看成通有电流，设
其中一个阴影在真空部分某点处产生的磁场为，距离
为，另一个为、，有：。
利用安培环路定理可得：
，，
则：，，
∴。
即空腔处磁感应强度大小为，方向向上。
14-11．无限长直线电流与直线电流共面，几何位置如图所示，
试求直线电流受到电流磁场的作用力。
解：在直线电流上任意取一个小电流元，
此电流元到长直线的距离为，无限长直线电流
在小电流元处产生的磁感应强度为：
，
再利用，考虑到，有：，
∴。
14-12．在电视显象管的电子束中，电子能量为，这个显像管的取向使电子沿水平方向由南向北运动。该处地球磁场的垂直分量向下，大小为，问：（1）电子束将偏向什么方向？（2）电子的加速度是多少？（3）电子束在显象管内在南北方向上通过时将偏转多远？
解：（1）根据可判断出电子束将偏向东。
（2）利用，有：，
而，∴
（3）。
14-13．一半径为的无限长半圆柱面导体，载有与轴线上的
长直导线的电流等值反向的电流，如图所示，试求轴线上长
直导线单位长度所受的磁力。
解：设半圆柱面导体的线电流分布为，
如图，由安培环路定理，电流在点处产生的磁感应强度为：
，
可求得：；
又∵，
故，
有：，而，
所以：。
14-14．如图14-55所示，一个带有电荷()的粒子，
以速度平行于均匀带电的长直导线运动，该导线的线电荷
密度为（），并载有传导电流。试问粒子要以多大
的速度运动，才能使其保持在一条与导线距离为的平行线上？
解：由安培环路定律知：
电流在处产生的磁感应强度为：，方向；
运动电荷受到的洛仑兹力方向向左，大小：，
同时由于导线带有线电荷密度为，在处产生的电场强度可用高斯定律求得为：
，受到的静电场力方向向右，大小：；
欲使粒子保持在一条与导线距离为的平行线，需，
即：，可得。
14-15．截面积为、密度为的铜导线被弯成正方形的三边，
可以绕水平轴转动，如图14-53所示。导线放在方向竖
直向上的匀强磁场中，当导线中的电流为时，导线离开原来
的竖直位置偏转一个角度而平衡，求磁感应强度。
解：设正方形的边长为，质量为，。
平衡时重力矩等于磁力矩：
由，磁力矩的大小：；
重力矩为：
平衡时：，∴。
14-16．有一个形导线，质量为，两端浸没在水银槽中，
导线水平部分的长度为，处在磁感应强度大小为的均匀
磁场中，如图所示。当接通电源时，导线就会从水银槽中
跳起来。假定电流脉冲的时间与导线上升时间相比可忽略，
试由导线跳起所达到的高度计算电流脉冲的电荷量。
解：接通电流时有，而，
则：，积分有：；
又由机械能守恒：，有：，∴。
14-17．半径为的半圆形闭合线圈，载有电流，放在均匀磁场中，磁场方向与线圈平面平行，如图所示。求：
（1）线圈所受力矩的大小和方向（以直径为转轴）；
（2）若线圈受上述磁场作用转到线圈平面与磁场垂直的位置，则力矩做功为多少？
解：（1）线圈的磁矩为：，
由，此时线圈所受力矩的大小为：
；
磁力矩的方向由确定，为垂直于B的方向向上，如图；
（2）线圈旋转时，磁力矩作功为：
。
【或：】
思考题
14-1．在图（）和（）中各有一半径相同的圆形回路、，圆周内有电流、，其分布相同，且均在真空中，但在（）图中回路外有电流，、为两圆形回路上的对应点，则：
；；
；。
答：的环流只与回路中所包围的电流有关，与外面的电流无关，但是回路上的磁感应强度却是所有电流在那一点产生磁场的叠加。所以（C）对。
14-2．哪一幅图线能确切描述载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的随的变化关系？（坐标轴垂直于圆线圈平面，原点在圆线圈中心）
答：载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的磁感应强度
∴时，（），。
根据上述两式可判断（C）图对。
14-3．取一闭合积分回路，使三根载流导线穿过它所围成的面．现改变三根导线之间的相互间隔，但不越出积分回路，则：
(A)回路内的不变，上各点的不变；
(B)回路内的不变，上各点的改变；
(C)回路内的改变，上各点的不变；
(D)回路内的 改变，上各点的改变.
答：（B）对。
14-4．一载有电流的细导线分别均匀密绕在半径为和的长直圆筒上形成两个螺线管()，两螺线管单位长度上的匝数相等．两螺线管中的磁感应强度大小和应满足：
；；；.
答：对于长直螺线管：，由于两螺线管单位长度上的匝数相等，所以两螺线管磁感应强度相等。（B）对。
14-5．均匀磁场的磁感应强度垂直于半径为的圆面。今以该圆周为边线，作一半球面，则通过面的磁通量的大小为多少？
答：。
14-6．如图，匀强磁场中有一矩形通电线圈，它的平面与磁场平行，在磁场作用下，线圈向什么方向转动？
答：受力方向垂直纸面向里，受力外，在力偶矩的作用下，垂直纸面向里运动，垂直纸面向外运动，从上往下看，顺时针旋转。
14-7．一均匀磁场，其磁感应强度方向垂直于纸面，两带电粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，则
（A） 两粒子的电荷必然同号；
（B） 粒子的电荷可以同号也可以异号；
（C） 两粒子的动量大小必然不同；
（D） 两粒子的运动周期必然不同。
答：选（B）
大学物理第15章课后习题
15-1．一圆柱形无限长导体，磁导率为，半径为，通有沿轴线方向的均匀电流，求：
（1）导体内任一点的和；（2）导体外任一点的。
解：如图，面电流密度为：。
（1）当时，利用：，
有：，
∴导体内任一点的磁场强度，
再由，有导体内任一点的磁感应强度：，
利用公式，有磁化强度：；
（2）当时，利用：有：
导体外任一点的磁场强度：，磁感应强度：。
15-2．螺绕环平均周长，环上绕有线圈匝，通有电流。试求：（1）管内为空气时和的大小；
（2）若管内充满相对磁导率的磁介质，和的大小。
解：（1），
；
（2），。
15-3．螺绕环内通有电流，环上所绕线圈共匝，环的平均周长为，环内磁感应强度为，计算：
（1）磁场强度；（2）磁化强度；（3）磁化率；（4）磁化面电流和相对磁导率。
解：（1）磁场强度：；
（2）磁化强度：；
（3）磁化率：，而，∴；
（4）磁化面电流密度：，
则磁化面电流：，
相对磁导率：【或】
15-4．如图所示，一半径为R1的无限长圆柱形直导线外包裹着一层外径为R2的圆筒形均匀介质，其相对磁导率为，导线内通有电流强度为I的恒定电流，且电流在导线横截面均匀分布。求：
（1）磁感应强度和磁场强度的径向分布，并画出B~r、H~r曲线；
（2）介质内、外表面的磁化面电流密度。（设金属导线的）
解：利用介质磁场的安培环路定理：，考虑到导线内电流密度为：，可求出磁场分布。
（1）当时，有：，得：，；
当时，有：，得：，；
当时，有：，得：，；
（2）当时，有：，
，
根据，有：，
同理，当时，，
有：。
15-5．图为铁氧体材料的磁滞曲线，图为此材料制成的计算机存贮元件的环形磁芯。磁芯的内、外半径分别为和，矫顽力为。设磁芯的磁化方向如图所示，欲使磁芯的磁化方向翻转，试问：
（1）轴向电流如何加？至少加至多大时，磁芯中磁化方向开始翻转？
（2）若加脉冲电流，则脉冲峰值至少多大时，磁芯中从内而外的磁化方向全部翻转？
解：（1）利用介质磁场的安培环路定理：，有，
∴；
（2）同理：。
思考题15
15-1．何谓顺磁质、抗磁质和铁磁质，它们的区别是什么？
答：顺磁质：磁介质在磁场中磁化后，产生的附加磁场的方向与原来的磁场方向相同。
抗磁质：磁介质在磁场中磁化后，产生的附加磁场的方向与原来的磁场方向相反。
铁磁质：磁介质在磁场中磁化后，产生的附加磁场的方向与原来的磁场方向相同，并且附加磁场远远大于原来磁场。
15-2．将电介质与磁介质加以比较。
答：
电介质
磁介质
在电场中能与电场发生作用的物质
在磁场中能与磁场发生作用的物质
产生极化电场
激发附加磁场
有无极分子位移极化和有极分子取向极化
有顺磁质、抗磁质和铁磁质
引入电极化强度和极化电荷
引入磁化强度和磁化电流
引入的电位移矢量与电介质无关
引入的磁场强度矢量与磁介质无关
有相对介电常数
有相对磁导率
电介质的存在减弱了原电场
磁介质的存在改变了原磁场
15-3．何谓磁滞回线？
答：对于铁磁质来说，磁感应强度随磁场强度的变化而变化所形成的闭合曲线就叫磁滞回线。见教材P107页图15-11。
15-4．磁化电流与传导电流有何不同之处，又有何相同之处？
答：磁化电流激发附加磁场，产生与传导电流产生外磁场；磁化电流对磁场强度无贡献，
传导电流决定磁场强度；磁化电流与传导电流都能影响磁场分布。
大学物理第16章课后习题
16-1．如图所示，金属圆环半径为R，位于磁感应强度为的均匀磁场中，圆环平面与磁场方向垂直。当圆环以恒定速度在环所在平面内运动时，求环中的感应电动势及环上位于与运动方向垂直的直径两端a、b间的电势差。
解：（1）由法拉第电磁感应定律，考虑到圆环内的磁通量不变，所以，环中的感应电动势；
（2）利用：，有：。
【注：相同电动势的两个电源并联，并联后等效电源电动势不变】
16-2．如图所示，长直导线中通有电
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