吉林省长春市普通高中高三质量监测二数学理试题Word版含答案.doc

长春市普通高中2016届高三质量监测（二）
数学理科（试卷类型C）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）
1. 复数，在复平面内对应的点关于直线对称，且，则
A. B. C. D.
2. 设集合，，则
A. 　　 B. C. D.
3. 运行如图所示的程序框图，则输出的值为
是
否
开始

输出
结束

A. 　　B. C. 　D.
4. 若实数且，则下列不等式恒成立的是
A. 　B. C. D.
5. 几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为

A. 　　B. C. 　D.
6. 已知变量服从正态分布，下列概率与相等的是
A.　 B. C.　 D.
7. 已知为圆的直径，点为直线上任意一点，则的最小值为
A.　　 B. C. 　 D.
8. 设等差数列的前项和为，且，当取最大值时，的值为
A. 　　 B. C. D.
9. 小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有 种.
A. B. C. D.
10. 函数与的图象关于直线对称，则可能是
A. 　　 B. C. 　 D.
11. 已知函数满足，当时，，当时，，若定义在上的函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是
A. 　 B. C. D.
12.过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆
作切线，切点分别为,则的最小值为
A. 　　 B. C. 　 D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
　　本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—24题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).
13. 已知实数满足，则的最小值为___________.
14. 已知向量，，则当时，的取值范围是___________.
15. 已知， 展开式的常数项为15，则___________.
16. 已知数列中，对任意的若满足（为常数），则称该数列为阶等和数列，其中为阶公和；若满足（为常数），则称该数列为阶等积数列，其中为阶公积.已知数列为首项为的阶等和数列，且满足；数列为公积为的阶等积数列，且，设为数列的前项和，则 ___________.
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17.（本小题满分12分）
已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调减区间；
(2) 已知的三个内角的对边分别为，其中，若锐角满足，且，求的面积.
18. （本小题满分12分）
近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.
(1)是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
(2)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量：
①求对商品和服务全好评的次数的分布列（概率用组合数算式表示）；
②求的数学期望和方差.

（，其中）

19. （本小题满分12分）
在四棱锥中，底面是菱形，⊥平面，点为棱的中点，过作与平面平行的平面与棱，，相交于，，，.

（1）证明：为的中点；
（2）若，且二面角的大小为，、的交点为，连接.求三棱锥外接球的体积.
20. （本小题满分12分）
椭圆的左右焦点分别为，,且离心率为,点为椭圆上一动点，内切圆面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程;
(2) 设椭圆的左顶点为,过右焦点的直线与椭圆相交于,两点，连结, 并延长交直线分别于，两点，以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是,请说明理由.
21. （本小题满分12分）
已知函数在点处的切线与直线平行.
（1）求实数的值及的极值；
（2）若对任意，，有，求实数的取值范围；
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲.
如图，过圆外一点的作圆的切线，为切点，过的中点的直线交圆于、两点，连接并延长交圆于点，连接交圆于点，若.

（1）求证：∽；
(2) 求证：四边形是平行四边形.
23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程.
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（2）若曲线与曲线交于,两点，求的最大值和最小值.
24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.
设函数.
(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2) 若不等式恒成立，求实数的取值范围.
长春市普通高中2016届高三质量监测（二）
数学(理科)参考答案及评分参考
A、B卷客观题答案
一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)
1. C 2. D 3. C 4. A 5. B 6. C
7. B 8. A 9. A 10. C 11. B 12. D
简答与提示：
1. 【命题意图】本题主要考查集合的化简与交运算，属于基础题.
【试题解析】C 由题意可知，则，所以. 故选C.
2. 【命题意图】本题考查复数的乘法运算，以及复平面上的点与复数的关系，属于基础题.
【试题解析】D 复数在复平面内关于直线对称的点表示的复数，所以. 故选D.
3. 【命题意图】本题主要考查不等式的运算性质，是书中的原题改编，考查学生对函数图像的认识.
【试题解析】C 根据函数的图像与不等式的性质可知：当时，为正确选项，故选C.
4. 【命题意图】本题考查程序流程图中循环结构的认识，是一道基础题.
【试题解析】A 由算法流程图可知，输出结果是首项为，公比也为的等比数列的前9项和，即为. 故选A.
5. 【命题意图】本题考查正态分布的概念，属于基础题，要求学生对正态分布的对称性有充分的认识.
【试题解析】B 由变量服从正态分布可知，为其密度曲线的对称轴，因此. 故选B.
6. 【命题意图】本题通过几何体的三视图来考查体积的求法，对学生运算求解能力有一定要求.
【试题解析】C　该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，所以其体积为. 故选C.
7. 【命题意图】本题主要等差数列的性质，借助前项的取值来确定项数，属于基础题.
【试题解析】B　由题意，不妨设，，则公差，其中，因此，，即当时，取得最大值. 故选B.
8. 【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系以及向量的运算.
【试题解析】A　由题可知，从圆外一点指向圆直径的两个端点的向量数量积为定值，即为，其中为圆外点到圆心的距离，为半径，因此当取最小值时，的取值最小，由方程的图像可知的最小值为，故的最小值为1. 故选A.
9. 【命题意图】本题主要考查三角函数图像，学生对三角函数图像的对称，诱导公式的运用是解决本题的关键.
【试题解析】A 由题意，设两个函数关于对称，则函数关于的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式为，
令，则. 故选A.
10. 【命题意图】本题是一道排列组合问题，考查学生处理问题的方法，对学生的逻辑思维和抽象能力提出很高要求，属于中档题.
【试题解析】C 由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式；第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法为，为35种；共计37种取法. 故选C.
11. 【命题意图】本题主要考查双曲线的定义与圆切线的性质，是一道中档题.
【试题解析】B 由题可知，，因此
. 故选B.
12. 【命题意图】本题是最近热点的函数图像辨析问题，是一道较为复杂的难题.
【试题解析】D 由题可知函数在上的解析式为，又由可知的图像关于点对称，可将函数在上的大致图像呈现如图：
根据的几何意义，轴位置和图中直线位置为表示直线的临界位置，其中时，，联立，并令，可求得. 因此直线的斜率的取值范围是. 故选D.
C、D卷客观题答案
一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)
1. D 2. C 3. A 4. C 5. C 6. B
7. A 8. B 9. C 10. A 11. D 12. B
简答与提示：
1. 【命题意图】本题考查复数的乘法运算，以及复平面上的点与复数的关系，属于基础题.
【试题解析】D 复数在复平面内关于直线对称的点表示的复数，所以. 故选D.
2. 【命题意图】本题主要考查集合的化简与交运算，属于基础题.
【试题解析】C 由题意可知，则，所以. 故选C.
3. 【命题意图】本题考查程序流程图中循环结构的认识，是一道基础题.
【试题解析】A 由算法流程图可知，输出结果是首项为，公比也为的等比数列的前9项和，即为. 故选A.
4. 【命题意图】本题主要考查不等式的运算性质，是书中的原题改编，考查学生对函数图像的认识.
【试题解析】C 根据函数的图像与不等式的性质可知：当时，为正确选项，故选C.
5. 【命题意图】本题通过几何体的三视图来考查体积的求法，对学生运算求解能力有一定要求.
【试题解析】C　该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，所以其体积为. 故选C.
6. 【命题意图】本题考查正态分布的概念，属于基础题，要求学生对正态分布的对称性有充分的认识.
【试题解析】B 由变量服从正态分布可知，为其密度曲线的对称轴，因此. 故选B.
7. 【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系以及向量的运算.
【试题解析】A　由题可知，从圆外一点指向圆直径的两个端点的向量数量积为定值，即为，其中为圆外点到圆心的距离，为半径，因此当取最小值时，的取值最小，由方程的图像可知的最小值为，故的最小值为1. 故选A.
8. 【命题意图】本题主要等差数列的性质，借助前项的取值来确定项数，属于基础题.
【试题解析】B　由题意，不妨设，，则公差，其中，因此，，即当时，取得最大值. 故选B.
9. 【命题意图】本题是一道排列组合问题，考查学生处理问题的方法，对学生的逻辑思维和抽象能力提出很高要求，属于中档题.
【试题解析】C 由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式；第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法为，为35种；共计37种取法. 故选C.
10. 【命题意图】本题主要考查三角函数图像，学生对三角函数图像的对称，诱导公式的运用是解决本题的关键.
【试题解析】A 由题意，设两个函数关于对称，则函数关于的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式为，
令，则. 故选A.
11. 【命题意图】本题是最近热点的函数图像辨析问题，是一道较为复杂的难题.
【试题解析】D 由题可知函数在上的解析式为，又由可知的图像关于点对称，可将函数在上的大致图像呈现如图：
根据的几何意义，轴位置和图中直线位置为表示直线的临界位置，其中时，，联立，并令，可求得. 因此直线的斜率的取值范围是. 故选D.
12. 【命题意图】本题主要考查双曲线的定义与圆切线的性质，是一道中档题.
【试题解析】B 由题可知，，因此
. 故选B.

E、F卷客观题答案
一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)
1.D【命题意图】本题考查复数的乘法运算，以及复平面上的点与复数的关系，属于基础题.
【试题解析】D 复数在复平面内关于直线对称的点表示的复数，所以. 故选D.
2.C【命题意图】本题主要考查不等式的运算性质，是书中的原题改编，考查学生对函数图像的认识.
【试题解析】C 根据函数的图像与不等式的性质可知：当时，为正确选项，故选C.
3. C【命题意图】本题主要考查集合的化简与交运算，属于基础题.
【试题解析】C 由题意可知，则，所以. 故选C.
4. A【命题意图】本题考查程序流程图中循环结构的认识，是一道基础题.
【试题解析】A 由算法流程图可知，输出结果是首项为，公比也为的等比数列的前9项和，即为. 故选A.
5. B【命题意图】本题主要等差数列的性质，借助前项的取值来确定项数，属于基础题.
【试题解析】B　由题意，不妨设，，则公差，其中，因此，，即当时，取得最大值. 故选B.
6. C【命题意图】本题通过几何体的三视图来考查体积的求法，对学生运算求解能力有一定要求.
【试题解析】C　该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，所以其体积为. 故选C.
7. B 【命题意图】本题考查正态分布的概念，属于基础题，要求学生对正态分布的对称性有充分的认识.
【试题解析】B 由变量服从正态分布可知，为其密度曲线的对称轴，因此. 故选B.
8. A【命题意图】本题主要考查三角函数图像，学生对三角函数图像的对称，诱导公式的运用是解决本题的关键.
【试题解析】A 由题意，设两个函数关于对称，则函数关于的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式为，
令，则. 故选A.
9. A【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系以及向量的运算.
【试题解析】A　由题可知，从圆外一点指向圆直径的两个端点的向量数量积为定值，即为，其中为圆外点到圆心的距离，为半径，因此当取最小值时，的取值最小，由方程的图像可知的最小值为，故的最小值为1. 故选A.
10. D【命题意图】本题是最近热点的函数图像辨析问题，是一道较为复杂的难题.
【试题解析】D 由题可知函数在上的解析式为，又由可知的图像关于点对称，可将函数在上的大致图像呈现如图：
根据的几何意义，轴位置和图中直线位置为表示直线的临界位置，其中时，，联立，并令，可求得. 因此直线的斜率的取值范围是. 故选D.
11. C【命题意图】本题是一道排列组合问题，考查学生处理问题的方法，对学生的逻辑思维和抽象能力提出很高要求，属于中档题.
【试题解析】C 由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式；第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法为，为35种；共计37种取法. 故选C.
12. B【命题意图】本题主要考查双曲线的定义与圆切线的性质，是一道中档题.
【试题解析】B 由题可知，，因此
. 故选B.

主观题答案
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)

13. 1【命题意图】本题主要考查线性规划问题，是一道常规题. 从二元一次方程组到可行域，再结合目标函数的几何意义，全面地进行考查.
【试题解析】根据方程组获得可行域如下图，令，可化为，因此，当直线过点时，取得最小值为1.

14. 【命题意图】平面向量的几何意义是热点问题，本题结合数形结合思想，考查平面向量的几何意义，同时也对余弦定理的考查，对学生的计算求解能力提出很高要求.
【试题解析】由题意，为，根据向量的差的几何意义，表示向量终点到终点的距离，当时，该距离取得最小值为1，当时，根据余弦定理，可算得该距离取得最大值为，即的取值范围是.
15. 【命题意图】本题考查积分的运算，是一道中档的常规问题.
【试题解析】由的常数项为，可得，因此原式为
.
16. 【命题意图】本题主要考查非常规数列求和问题，对学生的逻辑思维能力提出很高要求，属于一道难题.
【试题解析】由题意可知，，，，，，，，，，，，，，……，又是4阶等和数列，因此该数列将会照此规律循环下去，同理，，，，，，，，，，，，，，……，又是3阶等积数列，因此该数列将会照此规律循环下去，由此可知对于数列，每12项的和循环一次，易求出，因此中有168组循环结构，故.
三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)
17.(本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查三角函数的化简运算，以及三角函数的性质，并借助正弦定理考查边角关系的运算，对考生的化归与转化能力有较高要求.
【试题解析】解：(1) (3分)
因此的最小正周期为.
的单调递减区间为，
即. (6分)
(2) 由，又为锐角，则. 由正弦定理可得，，
则，
由余弦定理可知，，
可求得，故. (12分)
18．(本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，包括独立性检验、离散型随机变量的分布列以及数学期望和方差的求法. 本题主要考查学生对数据处理的能力.
【试题解析】(1) 由题意可得关于商品和服务评价的列联表：

对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评
80
40
120
对商品不满意
70
10
80
合计
150
50
200
，
可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关. (6分)
(2) 每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且的取值可以是0,1,2,3,4,5.
其中；；；；；.
的分布列为：

0
1
2
3
4
5

由于，则；
. (12分)

19． (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到面面的平行关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.
【试题解析】解：(1)连结.
，即为△的中位线，
即为中点. (4分)
(2) 以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，
从而，，则，又
，则.
由题可知，，，，
即三棱锥外接球为以、、为长、宽、高的长方体外接球，
则该长方体的体对角线长为，即外接球半径为.
则三棱锥外接球的体积为. (12分)

20.(本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆方程的求法，直线与圆锥曲线的相关知识，以及恒过定点问题. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.
【试题解析】解：(1) 已知椭圆的离心率为，不妨设，，即，其中，又△内切圆面积取最大值时，半径取最大值为，由，由为定值，因此也取得最大值，即点为短轴端点，因此，，解得，
则椭圆的方程为. (4分)
(2) 设直线的方程为，， 联立可得
，则，
直线的方程为，
直线的方程为，
则，，假设为直径的圆是否恒过定点，
则，，

即
即
，即
若为直径的圆是否恒过定点，即不论为何值时，恒成立，
因此，，或. 即恒过定点和. (12分)
21.(本小题满分12分)
【命题意图】本题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值等情况. 本题对考生的逻辑推理与运算求解能力有较高要求.
【试题解析】解(1) 由题意得，又，解得.
令，
解得，即有极小值为. (6分)
(2) 由，可得
令，则，其中，
，又，则，
即，因此实数的取值范围是. (12分)
22. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到切割线定理以及三角形 相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.
【试题解析】解(1) 由题意可知，，则为的中点，
则，即，因此△∽△，则，
由可得，即，则∽.
(5分)
(2) 由(1)，又，则，
可得，由，，则，可得，因此四边形是平行四边形. (10分)
23.(本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距离等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.
【试题解析】解(1) 对于曲线有，即，因此曲线的直角坐标方程为，其表示一个圆. (5分)
(2) 联立曲线与曲线的方程可得：，
，
因此的最小值为，最大值为8. (10分)
24.(本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及 不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.
【试题解析】(1) 当时，恒成立，
当时，要保证恒成立，即的最小值，解得.
(5分)
(2) 根据函数图像的性质可知，当时，恒成立，即，
所以的取值范围是时恒成立. (10分)