吉林省长春市普通高中高三质量监测二数学理试题Word版含答案.doc

长春市普通高中2016届高三质量监测（二）
数学理科（试卷类型C）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）
1. 复数，在复平面内对应的点关于直线对称，且，则
A. B. C. D.
2. 设集合，，则
A. 　　 B. C. D.
3. 运行如图所示的程序框图，则输出的值为
是
否
开始

输出
结束

A. 　　B. C. 　D.
4. 若实数且，则下列不等式恒成立的是
A 　B. C. D.
5. 几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为

A. 　　B. C. 　D.
6. 已知变量服从正态分布，下列概率与相等的是
A.　 B. C.　 D.
7. 已知为圆的直径，点为直线上任意一点，则的最小值为
A.　　 B. C. 　 D.
8. 设等差数列的前项和为，且，当取最大值时，的值为
A. 　　 B. C. D.
9. 小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有 种.
A. B. C D.
10. 函数与的图象关于直线对称，则可能是
A. 　　 B. C. 　 D.
11. 已知函数满足，当时，，当时，，若定义在上的函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是
A. 　 B. C. D.
12.过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆
作切线，切点分别为,则的最小值为
A. 　　 B. C. 　 D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
　　本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—24题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).
13. 已知实数满足，则的最小值为___________.
14. 已知向量，，则当时，的取值范围是___________.
15. 已知， 展开式的常数项为15，则___________.
16. 已知数列中，对任意的若满足（为常数），则称该数列为阶等和数列，其中为阶公和；若满足（为常数），则称该数列为阶等积数列，其中为阶公积.已知数列为首项为的阶等和数列，且满足；数列为公积为的阶等积数列，且，设为数列的前项和，则 ___________.
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17.（本小题满分12分）
已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调减区间；
(2) 已知的三个内角的对边分别为，其中，若锐角满足，且，求的面积.
18. （本小题满分12分）
近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.
(1)是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
2)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量：
①求对商品和服务全好评的次数的分布列（概率用组合数算式表示）；
②求的数学期望和方差.

（，其中）

19. （本小题满分12分）
在四棱锥中，底面是菱形，⊥平面，点为棱的中点，过作与平面平行的平面与棱，，相交于，，，.

（1）证明：为的中点；
（2）若，且二面角的大小为，、的交点为，连接.求三棱锥外接球的体积.
20. （本小题满分12分）
椭圆的左右焦点分别为，,且离心率为,点为椭圆上一动点，内切圆面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程;
(2) 设椭圆的左顶点为,过右焦点的直线与椭圆相交于,两点，连结, 并延长交直线分别于，两点，以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是,请说明理由.
21. （本小题满分12分）
已知函数在点处的切线与直线平行.
（1）求实数的值及的极值；
（2）若对任意，，有，求实数的取值范围；
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲.
如图，过圆外一点的作圆的切线，为切点，过的中点的直线交圆于、两点，连接并延长交圆于点，连接交圆于点，若.

（1）求证：∽；
(2) 求证：四边形是平行四边形.
23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程.
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（2）若曲线与曲线交于,两点，求的最大值和最小值.
24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.
设函数.
(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2) 若不等式恒成立，求实数的取值范围.
长春市普通高中2016届高三质量监测（二）
数学(理科)参考答案及评分参考
A、B卷客观题答案
一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)
1. C 2. D 3. C 4. A 5. B 6. C
7. B 8. A 9. A 10. C 11. B 12. D
简答与提示：
1. 【命题意图】本题主要考查集合的化简与交运算，属于基础题.
【试题解析】C 由题意可知，则，所以. 故选C.
2. 【命题意图】本题考查复数的乘法运算，以及复平面上的点与复数的关系，属于基础题.
【试题解析】D 复数在复平面内关于直线对称的点表示的复数，所以. 故选D.
3. 【命题意图】本题主要考查不等式的运算性质，是书中的原题改编，考查学生对函数图像的认识.
【试题解析】C 根据函数的图像与不等式的性质可知：当时，为正确选项，故选C.
4. 【命题意图】本题考查程序流程图中循环结构的认识，是一道基础题.
【试题解析】A 由算法流程图可知，输出结果是首项为，公比也为的等比数列的前9项和，即为. 故选A.
5. 【命题意图】本题考查正态分布的概念，属于基础题，要求学生对正态分布的对称性有充分的认识.
【试题解析】B 由变量服从正态分布可知，为其密度曲线的对称轴，因此. 故选B.
6. 【命题意图】本题通过几何体的三视图来考查体积的求法，对学生运算求解能力有一定要求.
【试题解析】C　该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，所以其体积为. 故选C.
7. 【命题意图】本题主要等差数列的性质，借助前项的取值来确定项数，属于基础题.
【试题解析】B　由题意，不妨设，，则公差，其中，因此，，即当时，取得最大值. 故选B.
8. 【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系以及向量的运算.
【试题解析】A　由题可知，从圆外一点指向圆直径的两个端点的向量数量积为定值，即为，其中为圆外点到圆心的距离，为半径，因此当取最小值时，的取值最小，由方程的图像可知的最小值为，故的最小值为1. 故选A.
9. 【命题意图】本题主要考查三角函数图像，学生对三角函数图像的对称，诱导公式的运用是解决本题的关键.
【试题解析】A 由题意，设两个函数关于对称，则函数关于的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式为，
令，则. 故选A.
10. 【命题意图】本题是一道排列组合问题，考查学生处理问题的方法，对学生的逻辑思维和抽象能力提出很高要求，属于中档题.
【试题解析】C 由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式；第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法为，为35种；共计37种取法. 故选C.
11. 【命题意图】本题主要考查双曲线的定义与圆切线的性质，是一道中档题.
【试题解析】B 由题可知，，因此
. 故选B.
12. 【命题意图】本题是最近热点的函数图像辨析问题，是一道较为复杂的难题.
【试题解析】D 由题可知函数在上的解析式为，又由可知的图像关于点对称，可将函数在上的大致图像呈现如图：
根据的几何意义，轴位置和图中直线位置为表示直线的临界位置，其中时，，联立，并令，可求得. 因此直线的斜率的取值范围是. 故选D.
C、D卷客观题答案
一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)
1. D 2. C 3. A 4. C 5. C 6. B
7. A 8. B 9. C 10. A 11. D 12. B
简答与提示：
1. 【命题意图】本题考查复数的乘法运算，以及复平面上的点与复数的关系，属于基础题.
【试题解析】D 复数在复平面内关于直线对称的点表示的复数，所以. 故选D.
2. 【命题意图】本题主要考查集合的化简与交运算，属于基础题.
【试题解析】C 由题意可知，则，所以. 故选C.
3. 【命题意图】本题考查程序流程图中循环结构的认识，是一道基础题.
【试题解析】A 由算法流程图可知，输出结果是首项为，公比也为的等比数列的前9项和，即为. 故选A.
4. 【命题意图】本题主要考查不等式的运算性质，是书中的原题改编，考查学生对函数图像的认识.
【试题解析】C 根据函数的图像与不等式的性质可知：当时，为正确选项，故选C.
5. 【命题意图】本题通过几何体的三视图来考查体积的求法，对学生运算求解能力有一定要求.
【试题解析】C　该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，所以其体积为. 故选C.
6. 【命题意图】本题考查正态分布的概念，属于基础题，要求学生对正态分布的对称性有充分的认识.
【试题解析】B 由变量服从正态分布可知，为其密度曲线的对称轴，因此. 故选B.
7. 【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系以及向量的运算.
【试题解析】A　由题可知，从圆外一点指向圆直径的两个端点的向量数量积为定值，即为，其中为圆外点到圆心的距离，为半径，因此当取最小值时，的取值最小，由方程的图像可知的最小值为，故的最小值为1. 故选A.
8. 【命题意图】本题主要等差数列的性质，借助前项的取值来确定项数，属于基础题.
【试题解析】B　由题意，不妨设，，则公差，其中，因此，，即当时，取得最大值. 故选B.
9. 【命题意图】本题是一道排列组合问题，考查学生处理问题的方法，对学生的逻辑思维和抽象能力提出很高要求，属于中档题.
【试题解析】C 由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式；第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法为，为35种；共计37种取法. 故选C.
10. 【命题意图】本题主要考查三角函数图像，学生对三角函数图像的对称，诱导公式的运用是解决本题的关键
【试题解析】A 由题意，设两个函数关于对称，则函数关于的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式为，
令，则. 故选A.
11. 【命题意图】本题是最近热点的函数图像辨析问题，是一道较为复杂的难题.
【试题解析】D 由题可知函数在上的解析式为，又由可知的图像关于点对称，可将函数在上的大致图像呈现如图：
根据的几何意义，轴位置和图中直线位置为表示直线的临界位置，其中时，，联立，并令，可求得. 因此直线的斜率的取值范围是. 故选D.
12. 【命题意图】本题主要考查双曲线的定义与圆切线的性质，是一道中档题.
【试题解析】B 由题可知，，因此
. 故选B.

E、F卷客观题答案
一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)
1.D【命题意图】本题考查复数的乘法运算，以及复平面上的点与复数的关系，属于基础题.
【试题解析】D 复数在复平面内关于直线对称的点表示的复数，所以. 故选D.
2.C【命题意图】本题主要考查不等式的运算性质，是书中的原题改编，考查学生对函数图像的认识.
【试题解析】C 根据函数的图像与不等式的性质可知：当时，为正确选项，故选C.
3. C【命题意图】本题主要考查集合的化简与交运算，属于基础题.
【试题解析】C 由题意可知，则，所以. 故选C.
4. A【命题意图本题考查程序流程图中循环结构的认识，是一道基础题.
【试题解析】A 由算法流程图可知，输出结果是首项为，公比也为的等比数列的前9项和，即为. 故选A.
5. B【命题意图】本题主要等差数列的性质，借助前项的取值来确定项数，属于基础题.
【试题解析】B　由题意，不妨设，，则公差，其中，因此，，即当时，取得最大值. 故选B.
6. C【命题意图】本题通过几何体的三视图来考查体积的求法，对学生运算求解能力有一定要求.
【试题解析】C　该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，所以其体积为. 故选C.
7. B 【命题意图】本题考查正态分布的概念，属于基础题，要求学生对正态分布的对称性有充分的认识.
【试题解析】B 由变量服从正态分布可知，为其密度曲线的对称轴，因此. 故选B.
8. A【命题意图】本题主要考查三角函数图像，学生对三角函数图像的对称，诱导公式的运用是解决本题的关键.
【试题解析】A 由题意，设两个函数关于对称，则函数关于的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式为，
令，则. 故选A.
9. A【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系以及向量的运算.
【试题解析】A　由题可知，从圆外一点指向圆直径的两个端点的向量数量积为定值，即为，其中为圆外点到圆心的距离，为半径，因此当取最小值时，的取值最小，由方程的图像可知的最小值为，故的最小值为1. 故选A.
10. D【命题意图】本题是最近热点的函数图像辨析问题，是一道较为复杂的难题.
【试题解析】D 由题可知函数在上的解析式为，又由可知的图像关于点对称，可将函数在上的大致图像呈现如图：
根据的几何意义，轴位置和图中直线位置为表示直线的临界位置，其中时，，联立，并令，可求得. 因此直线的斜率的取值范围是. 故选D.
11. C【命题意图】本题是一道排列组合问题，考查学生处理问题的方法，对学生的逻辑思维和抽象能力提出很高要求，属于中档题.
【试题解析】C 由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式；第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法为，为35种；共计37种取法. 故选C.
12. B【命题意图】本题主要考查双曲线的定义与圆切线的性质，是一道中档题.
【试题解析】B 由题可知，，因此
. 故选B.

主观题答案
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)

13. 1【命题意图】本题主要考查线性规划问题，是一道常规题. 从二元一次方程组到可行域，再结合目标函数的几何意义，全面地进行考查.
【试题解析】根据方程组获得可行域如下图，令，可化为，因此，当直线过点时，取得最小值为1.

14. 【命题意图】平面向量的几何意义是热点问题，本题结合数形结合思想，考查平面向量的几何意义，同时也对余弦定理的考查，对学生的计算求解能力提出很高要求.
【试题解析】由题意，为，根据向量的差的几何意义，表示向量终点到终点的距离，当时，该距离取得最小值为1，当时，根据余弦定理，可算得该距离取得最大值为，即的取值范围是.
15. 【命题意图】本题考查积分的运算，是一道中档的常规问题.
【试题解析】由的常数项为，可得，因此原式为
.
16. 【命题意图】本题主要考查非常规数列求和问题，对学生的逻辑思维能力提出很高要求，属于一道难题.
【试题解析】由题意可知，，，，，，，，，，，，，，……，又是4阶等和数列，因此该数列将会照此规律循环下去，同理，，，，，，，，，，，，，，……，又是3阶等积数列，因此该数列将会照此规律循环下去，由此可知对于数列，每12项的和循环一次，易求出，因此中有168组循环结构，故.
三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)
17.(本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查三角函数的化简运算，以及三角函数的性质，并借助正弦定理考查边角关系的运算，对考生的化归与转化能力有较高要求.
【试题解析】解：(1) (3分)
因此的最小正周期为.
的单调递减区间为，
即. (6分)
(2) 由，又为锐角，则. 由正弦定理可得，，
则，
由余弦定理可知，，
可求得，故. (12分)
18．(本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，包括独立性检验、离散型随机变量的分布列以及数学期望和方差的求法. 本题主要考查学生对数据处理的能力.
【试题解析】(1) 由题意可得关于商品和服务评价的列联表：

对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评
80
40
120
对商品不满意
70
10
80
合计
150
50
200
，
可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关. (6分)
(2) 每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且的取值可以是0,1,2,3,4,5.
其中；；；；；.
的分布列为：

0
1
2
3
4
5

由于，则；
. (12分)

19． (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到面面的平行关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.
【试题解析】解：(1)连结.
，即为△的中位线，
即为中点. (4分)
(2) 以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，
从而，，则，又
，则
由题可知，，，，
即三棱锥外接球为以、、为长、宽、高的长方体外接球，
则该长方体的体对角线长为，即外接球半径为.
则三棱锥外接球的体积为. (12分)

20.(本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆方程的求法，直线与圆锥曲线的相关知识，以及恒过定点问题. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.
【试题解析】解：(1) 已知椭圆的离心率为，不妨设，，即，其中，又△内切圆面积取最大值时，半径取最大值为，由，由为定值，因此也取得最大值，即点为短轴端点，因此，，解得，
则椭圆的方程为. 4分)
(2) 设直线的方程为，， 联立可得
，则，
直线的方程为，
直线的方程为，
则，，假设为直径的圆是否恒过定点，
则，，

即
即
，即
若为直径的圆是否恒过定点，即不论为何值时，恒成立，
因此，，或. 即恒过定点和. (12分)
21.(本小题满分12分)
【命题意图】本题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值等情况. 本题对考生的逻辑推理与运算求解能力有较高要求.
【试题解析】解(1) 由题意得，又，解得.
令，
解得，即有极小值为. (6分)
(2) 由，可得
令，则，其中，
，又，则，
即，因此实数的取值范围是. (12分)
22. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到切割线定理以及三角形 相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.
【试题解析】解(1) 由题意可知，，则为的中点，
则，即，因此△∽△，则，
由可得，即，则∽.
(5分)
(2) 由(1)，又，则，
可得，由，，则，可得，因此四边形是平行四边形. (10分)
23.(本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距离等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.
【试题解析】解(1) 对于曲线有，即，因此曲线的直角坐标方程为，其表示一个圆. (5分)
(2) 联立曲线与曲线的方程可得：，
，
因此的最小值为，最大值为8. (10分)
24.(本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及 不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.
【试题解析】(1) 当时，恒成立，
当时，要保证恒成立，即的最小值，解得.
(5分)
(2) 根据函数图像的性质可知，当时，恒成立，即，
所以的取值范围是时恒成立. (10分)