高中数学函数模型及其应用一导学案苏教版必修1.doc

江苏省响水中学高中数学 第二章《函数模型及其应用（一）》导学案 苏教版必修1

1.了解和体会函数模型在实际中的广泛应用.
2.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义以及三种函数模型性质的比较.
3.会分析具体的实际问题,能够建模解决实际问题.

1859年,有人把几只兔子从欧洲带到澳大利亚,由于澳大利亚没有鹰、狐狸和狼这些天敌,而且气候宜人,牧草茂盛,于是,一场几乎不受任何限制的可怕扩张开始了,不到100年,兔子数量达到75亿只,每十只兔子就能吃掉相当于一只羊所吃的牧草,使得澳大利亚的农业和畜牧业蒙受了巨大损失,直到20世纪50年代,科学家采用黏液瘤病毒杀死了90%的野兔,才使澳大利亚人松了一口气.

问题1:情境中的生物入侵已成为世界性难题,如果建立一种函数模型来描述兔子的这种增长,那么应选用的函数模型是　　　　　　　　. 
问题2:截止到目前我们学习过的基本函数类型有6种,分别是一次函数、二次函数、反比例函数、　　　　、　　　　、　　　　. 
问题3:对比函数y=kx+b(k>0),y=x2,y=ax(a>1),y=logax(a>1)在(0,+∞)的单调性和图象,比较它们的增长差异.
(1)这几个函数的共同点都是在(0,+∞)上是　　　　. 
(2)通过它们的函数图象可以发现,增长速度由慢到快的函数模型依次是　　　　模型、　　　　模型、　　　　模型、　　　　模型. 
(3)一次函数、二次函数模型属于幂函数y=xn(n∈N*)模型,n越大,增长的速度就　　　　,但增长速度最终不会超过　　　　模型,而最终会比　　　　模型增长速度快. 
问题4:如何正确理解指数函数、幂函数、对数函数三种模型增长的差异性?
对于函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)在x∈(0,+∞)上都为增函数,我们常用它们来描述一些增长现象.但它们增长的快慢不同,y=ax(a>1)“先慢后快”“随着x的增大逐渐加快增大”;y=logax(a>1)“先快后慢”“随着x的增大逐渐减慢增大”;事实上,总存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax,即所谓的“对数增长”“直线上升”(当y=xn中n=1时)和“指数爆炸”.

1.某山区加强环境保护,绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%,那么,经过x年,绿色植被面积可增长为原来的y倍,则函数y=f(x)的大致图象为　　　　. 

2.一个矩形的周长是40,则矩形的长y关于宽x的函数解析式为下列选项中的　　　　. 
①y=20-x,0<x<10;②y=20-2x,0<x<20;③y=40-x,0<x<10;④y=40-2x,0<x<20.
3.用长度为24的材料围一矩形场地,中间用该材料加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为　　　　. 
4.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v m/s和燃料质量M kg、火箭(除燃料外)质量m kg的关系是v=2000 ln(1+),则当燃料质量是火箭质量的多少倍时,火箭的最大速度可达12 km/s?

一次函数、二次函数模型
某公司试销一种新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件,又不高于800元/件,经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x(元/件),可近似看作一次函数y=kx+b的关系(图象如图所示).

(1)根据图象,求一次函数y=kx+b的表达式;
(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S元.
①求S关于x的函数表达式;
②求该公司可获得的最大毛利润,并求出此时相应的销售单价.

指数函数、对数函数和幂函数模型
我国辽东半岛普兰店附近的泥炭层中,发掘出古莲子,至今大部分还能发芽开花.古莲子出土时14C(半衰期为5730年)的残余量约占原始含量的87.9%,试推算古莲子的生活年代(经过科学鉴定,若14C的原始含量为Q0,则经过t年后的残余量Q与Q0之间满足Q=Q0·e-kt).

对指数函数、幂函数不同增长速度的应用

函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.
(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)结合函数图象,判断f(8),g(8),f(2015),g(2015)的大小.

据市场分析,烟台某海鲜加工公司,当月产量在10吨至25吨时,其月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数;当月产量为10吨时,月总成本为20万元;当月产量为15吨时,月总成本最低为17.5万元,为二次函数的顶点.
(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系式.
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元,那么月产量为多少时,可获最大利润?

燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v=5log2,单位是m/s,其中Q表示燕子的耗氧量.
(1)计算:燕子静止时的耗氧量是多少个单位?
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多少?

函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图所示.
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x)、g(x)的大小进行比较).

1.对于函数f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,三个函数的增长速度的比较,下列选项中正确的是　　　　. 
①f(x)>g(x)>h(x);②g(x)>f(x)>h(x);③g(x)>h(x)>f(x);④f(x)>h(x)>g(x).
2.李老师骑自行车上班,最初以某一速度匀速行进,中途由于自行车发生故障,停下修车耽误了一段时间,为了按时到校,李老师加快了速度但仍保持匀速,结果准时到校,以下符合自行车进程s(km)与行驶时间t(h)的函数图象的示意图的是　　　　. 

3.三个变量y1、y2、y3随变量x的变化情况如下表:
x
1.00
3.00
5.00
7.00
9.00
11.00
y1
5
135
625
1715
3645
6633
y2
5
29
245
2189
19685
177149
y3
5.00
6.10
6.61
6.95
7.20
7.40

其中x呈对数型函数变化的变量是　　　　　,呈指数函数型变化的变量是　　　　　,呈幂函数型变化的变量是　　　　　. 
4.某种商品现在定价每件p元,每月卖出n件,因而现在每月售货总金额np元,设定价上涨x成,卖出数量减少y成,售货总金额变成现在的z倍.
(1)用x和y表示z;
(2)若y=x,求使售货总金额有所增加的x值的范围.

　　某家具的标价为132元,若降价以九折出售(即优惠10%),仍可获利10%(相对进货价),则该家具的进货价是　　　　元. 
　　考题变式(我来改编):

第12课时　函数模型及其应用(一)

知识体系梳理
问题1:指数函数模型
　　问题2:指数函数　对数函数　幂函数
　　问题3:(1)增函数　(2)对数函数　一次函数　二次函数
指数函数　(3)越快　指数函数　对数函数
基础学习交流
1.④　f(x)=(1+10.4%)x,故填④.
2.①　∵矩形的周长是40,∴2x+2y=40,
则y=20-x(0<x<10).
3.3　设隔墙的长为x(0<x<6),矩形面积为y,y=x×=2x(6-x),∴当x=3时,y最大.
4.解:依题意知2000ln(1+)=12000,
∴ln(1+)=6,∴1+=e6,故=e6-1.
故当燃料质量是火箭质量的e6-1倍时,火箭的最大速度可达12 km/s.
重点难点探究
探究一:【解析】(1)由图象可知,解得
所以y=-x+1000(500≤x≤800).
(2)①由(1),S=x×y-500y=(-x+1000)(x-500)
=-x2+1500x-500000,(500≤x≤800).
②由①可知,S=-(x-750)2+62500,其图象开口向下,对称轴为x=750,所以当x=750时,Smax=62500.即该公司可获得的最大毛利润为62500元,此时相应的销售单价为750元/件.
【小结】一次函数和二次函数是函数应用中比较常见的两种函数模型,此类问题常常与二次函数的最值相联系.
　　探究二:【解析】衰减函数可以写成Q=Q0·e-kt,其中Q0是初始量,t是时间.
已知当=时,t=5730,即e-5730k=,
解得k≈0.00012.
故有Q=Q0·e-0.00012t.
由题目条件得=87.9%,代入上式,解得t≈1075.
即古莲子约是1075年前的遗物.
【小结】用已知函数模型解决问题时,先将题中的数据代入函数模型,即可求得函数模型中的参数,再转化为求函数值或自变量的值.
　　探究三:【解析】(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)∵f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),∴1<x1<2,9<x2<10,∴x1<8<x2,2015>x2.
从图象上可以看出,当x1<x<x2时,f(x)<g(x),
∴f(8)<g(8);
当x>x2时,f(x)>g(x),∴f(2015)>g(2015).
又g(2015)>g(8),∴f(2015)>g(2015)>g(8)>f(8).
【小结】根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增大,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.
思维拓展应用
应用一:(1)由题意可设,y=a(x-15)2+17.5,
将x=10,y=20代入上式,
得20=25a+17.5.
解得a=0.1.
所以y=0.1(x-15)2+17.5(10≤x≤25).
(2)设利润为Q(x),
则Q(x)=1.6x-y=1.6x-(0.1x2-3x+40)
=-0.1(x-23)2+12.9(10≤x≤25).
因为x=23∈[10,25],
所以当月产量为23吨时,可获最大利润12.9万元.
应用二:(1)由题意知,当燕子静止时,它的速度v=0,代入题中的公式,得0=5log2,解得Q=10.
即燕子静止时的耗氧量是10个单位.
(2)将耗氧量Q=80代入题中的公式得:
v=5log2=5log28=15(m/s).
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度为15 m/s.
应用三:(1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lg x.
(2)当x<x1时,g(x)>f(x);当x1<x<x2时,f(x)>g(x);当x>x2时,g(x)>f(x);当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x).
基础智能检测
1.②　对幂函数、指数函数、对数函数增长速度的比较:直线上升、指数爆炸、对数增长,故当x∈(4,+∞)时,h(x)<f(x)<g(x).
2.③
3.y3　y2　y1
4.解:(1)npz=p(1+)·n(1-),
∴z=.
(2)当y=x时,z=,
由z>1,得>1,
∴x(x-5)<0,∴0<x<5.
全新视角拓展
108　设进货价为a元,由题意知132×(1-10%)-a=10%·a,解得a=108.
思维导图构建
logax<xn<ax