2023年高考平面向量问题聚焦.pdf

郭梅红 2 0 2 3年高考对平面向量的考查主要围绕“向量的线性运算、向量平行或垂直的条件、向量的数量积运算、向量加减法的几何意义,以及数量积的最值或范围”等问题展开,凸显利用向量“数与形”双重身份求解问题的数学素养。聚焦1:向量平行或垂直条件的应用例1(2 0 2 3年高考全国卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+b)(a+b),则()。A.+=1 B.+=-1C.=1 D.=-1解:根据向量的坐标运算求出a+b,a+b,再根据向量垂直求解。因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a+b=(1+,1-),a+b=(1+,1-)。由(a+b)(a+b),可得(a+b)(a+b)=0,即(1+)(1+)+(1-)(1-)=0,整理得=-1。应选D。体验:高考对平面向量主要考查平面向量的数量积和向量的线性运算。需要注意的是,向量在新教材中增加了投影向量和投影数量,同学们应引起重视。变式1:已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+k b。若ac,则k=。提示:(方法1)由a=(3,1),b=(1,0),可得c=a+k b=(3+k,1)。因为ac,所以ac=3(3+k)+1=0,解得k=-1 03。(方法2)由a=(3,1),b=(1,0),可得a2=1 0,ab=3。因为ac,所以ac=a(a+k b)=a2+k ab=1 0+3k=0,解得k=-1 03。聚焦2:向量的线性表示例2(2 0 2 3年高考天津卷)在A B C中,A=6 0,B C=1,点D为A B的中点,点E为C D的中点,若A B=a,A C=b,则A E可用a,b表示为。解:因为E为C D的中点,D为A B的中点,所以A E=12(A D+A C)=1212A B+A C=14A B+12A C=14a+12b。体验:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a=1e1+2e2。向 量 线 性 运 算 常 见 的 四 个 结 论:若O A=O B+O C(,为实数),且A,B,C三点共线,则+=1;若P为线段A B的中点,O为平面内任一点,则O P=12(O A+O B);在A B C中,P A+P B+P C=0P为A B C的重心;若G是A B C的重心,则A G=13(A B+A C)。变式2:在A B C中,点D在边A B上,B D=2DA。记C A=m,C D=n,则C B=()。A.3m-2n B.-2m+3nC.3m+2n D.2m+3n提示:因 为 点D在 边A B上,B D=2DA,所以B D=2DA,即C D-C B=2(C A-C D),所以C B=3C D-2C A=3n-2m=-2m+3n。应选B。聚焦3:向量的数量积问题例3(2 0 2 3年 高 考 全 国 卷)正 方 形A B C D的 边 长 是2,E是A B的 中 点,则E CE D=()。A.5 B.3C.2 5 D.563 创新题追根溯源 高一数学 2 0 2 4年2月解:(方法1)以A B,A D为一组基底向量表示E C,E D,再结合数量积的运算求解。已知A B=A D=2,A BA D=0。因为E C=E B+B C=12A B+A D,E D=E A+A D=-12A B+A D,所 以E CE D=12A B+A D -12A B+A D =-14A B2+A D2=-1+4=3。应选B。(方法2)利用平面向 量 的 坐 标 运 算 求解。以A为坐标原点,A B为x轴,建立平面直角坐标系A x y(图略),则E(1,0),C(2,2),D(0,2),可得E C=(1,2),E D=(-1,2),所以E CE D=-1+4=3。应选B。(方法3)利用余弦定理求c o sD E C,再结合数量 积 的 定 义 求 解。由 题 意 得E D=E C=5,C D=2,在C D E中,由余弦定理得c o sD E C=E D2+E C2-C D22E DE C=35,所以E CE D=E CE Dc o sD E C=5535=3。应选B。体验:向量的数量积有两种运算,即ab=abc o s=x1x2+y1y2。规定零向量与任一向量的数量积为0,即0a=0。变式3:已知向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),则|a|2-|b|2=()。A.-2 B.-1C.0 D.1提示:利用向量的数量积的坐标表示求解。因为向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),所以|a|2-|b|2=a2-b2=(a+b)(a-b)=2(-2)+31=-1。应选B。聚焦4:向量的夹角问题例4 (2 0 2 3年高考全国卷)已知|a|=|b|=1,|c|=2,且a+b+c=0,则c o s=()。A.-15 B.-25C.25 D.45解:因为a+b+c=0,所以a+b=-c,平方得a2+b2+2ab=c2,即1+1+2ab=2,所以ab=0。因为a-c=a-(-a-b)=2a+b,b-c=b-(-a-b)=a+2b,所以(a-c)(b-c)=(2a+b)(a+2b)=2a2+2b2+5ab=2+2+0=4。易 得|a-c|=|b-c|=4a2+4ab+b2=4+0+1=5,所 以c o s=(a-c)(b-c)|a-c|b-c|=44 5=45。应选D。体 验:向 量a与b的 夹 角 公 式 为c o s=ab|a|b|,要注意0,。变式4:已知a=(3,4),b=(1,0),c=a+t b,若=,则t=()。A.-6 B.-5C.5 D.6提示:易得c=(3+t,4)。因为=,所 以c o s=c o s,可 得9+3t+1 65c=3+tc,解得t=5。应选C。已知 向 量a=(3,1),b=(2,2),则c o s=()。A.11 7 B.1 71 7C.55 D.2 55提示:因为a=(3,1),b=(2,2),所以a+b=(5,3),a-b=(1,-1),所 以a+b=52+32=3 4,a-b=1+1=2,(a+b)(a-b)=5 1+3(-1)=2,所以c o s=(a+b)(a-b)a+ba-b=23 4 2=1 71 7。应选B。作者单位:河北新河中学(责任编辑 郭正华)73创新题追根溯源 高一数学 2 0 2 4年2月