2013考研数一真题及解析.doc

2013年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）已知极限，其中为常数，且，则（ ）
（A） （B）
C） （D）
（2）曲面在点处的切平面方程为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（3）设，，令，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
（4）设为四条逆时针的平面曲线，记，则= ( )
（A） （B） （C） （D）
（5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若
（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价
（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价
（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价
（D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价
（6）矩阵与相似的充分必要条件为
（A） （B）
（C） （D）
（7）设是随机变量，且,
则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（8）设随机变量给定常数c满足,则（ ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)设函数由方程确定，则 ．
(10)已知，，是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程的通解为 ．
(11)设（为参数），则 ．
(12) ．
（13）设是三阶非零矩阵，为A的行列式，为的代数余子式，若
（14）设随机变量Y服从参数为1的指数分布,为常数且大于零，则________。
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
计算其中
（16）（本题满分10分）
设数列满足条件：是幂级数的和函数，
（I） 证明：,
（II） 求的表达式.
（17）（本题满分10分）
求函数的极值.
（18）（本题满分10分）
设奇函数上具有2阶导数，且证明：
（I） 存在
（II） 存在，使得
（19）（本题满分10分）
设直线L过两点，将L绕Z轴旋转一周得到曲面所围成的立体为，
（I） 求曲面的方程
（II） 求的形心坐标.

（20）（本题满分11分）
设，当为何值时，存在矩阵使得，并求所有矩阵。
（21）（本题满分11分）
设二次型，记。
（I）证明二次型对应的矩阵为；
（II）若正交且均为单位向量，证明二次型在正交变化下的标准形为二次型。
（22）（本题满分11分）
设随机变量的概率密度为，令随机变量,
（I）求Y的分布函数
（II）求概率
（23）（本题满分11分）
设总体的概率密度为其中为未知参数且大于零，为来自总体的简单随机样本.
（1）求的矩估计量；
（2）求的最大似然估计量.

2013年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题答案
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）【答案】D
【解析】
（2）【答案】A
【解析】设，
则；
；
，
所以该曲面在点处的切平面方程为，
化简得，选A
（3）【答案】C
【解析】根据题意，将函数在上奇延拓，它的傅里叶级数为它是以2为周期的，则当且在处连续时，，因此
（4）【答案】D
【解析】

利用二重积分的几何意义，比较积分区域以及函数的正负，在区域上函数为正值，则区域大，积分大，所以，在之外函数值为负，因此，故选D。
（5 【答案】（B）
【解析】由可知C的列向量组可以由A的列向量组线性表示，又B可逆，故有，从而A的列向量组也可以由C的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为（B）。
（6）【答案】(B)
【解析】由于为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而与相似的充分必要条件为的特征值为。
又，从而。
（7）【答案】（A）
【解析】由知，
，
，故.
由根据及概率密度的对称性知，，故选（A）
（8）【答案】（C）
【解析】由得，，故
9.【答案】1
【解析】
由，当时，
方程两边取对数
两边同时对求导，得
将，代入上式，得
(10)【答案】
【解析】因，是非齐次线性线性微分方程的解，则是它所对应的齐次线性微分方程的解，可知对应的齐次线性微分方程的通解为，因此该方程的通解可写为
(11)【答案】
【解析】， ，
，所以，所以
(12)【答案】
【解析】

（13）【答案】
【解析】

（14）【答案】
【解析】由及随机变量函数的期望公式知
.
（15）【解析】

（16）【解析】（I）设，，，
因为，因此；
（II）方程的特征方程为，
解得，所以，
又，，
解得，所以。
17
【解析】
解得，

对于点，
为极小值点，极小值为
对于，,不是极值.
（18）【解析】（1）令
则使得
（2）令则
又由于为奇函数，故为偶函数，可知,
则使
即，即
（19）
【解析】（1）过两点，所以其直线方程为：
所以其绕着轴旋转一周的曲面方程为：

（2）由形心坐标计算公式可得，所以形心坐标为
（20）
【解析】由题意可知矩阵C为2阶矩阵，故可设，则由可得线性方程组：
（1）

由于方程组（1）有解，故有，即从而有
，故有
从而有
（21）
【解析】(1)

（2），则1,2均为A的特征值，又由于，故0为A的特征值，则三阶矩阵A的特征值为2,1,0，故f在正交变换下的标准形为
（22）
【解析】（1）
由的概率分布知，当时，；
当时，；
当时，
=

(2)
（23）
【解析】(1)，令，故矩估计量为.
(2)
当时，

令，
得，所以得极大似然估计量=.