分球入盒问题例析.pdf

浙江省绍兴市上虞区上虞中学 章舜龙 在求解排列、组合问题的过程中,我们经常会遇到一类“分球入盒”的问题或可转化为“分球入盒”模型的问题。不少同学由于不能正确对待“球”和“盒”的顺序而导致错解。下面例析“分球入盒”问题,以期帮助同学们厘清思路,顺利解答该类问题。一、球同盒同例1 将7个相同的小球,放入4个相同的箱子中。(1)每个箱子中至少有一个小球(即箱子不空),有多少种不同的放法?(2)若箱子允许空,又有多少种不同的放法?分析:箱子相同时不需要考虑箱子的顺序,球相同也无须考虑球的差别,只要考虑各个箱子中放入小球的数量多少,故可用“穷举法”求解。解:(1)箱子不空有3种放法:1,1,1,4,1,1,2,3,1,2,2,2。(2)箱子允许空共有1 1种放法:0,0,0,7,0,0,1,6,0,0,2,5,0,0,3,4,0,1,1,5,0,1,2,4,0,1,3,3,0,2,2,3,1,1,1,4,1,1,2,3,1,2,2,3。点评:“穷举法”是求解排列组合问题中最常见的数学思想方法。此时,“无招胜有招”。二、球同盒不同例2 将7个相同的小球,放入4个不同的箱子中。(1)箱子不空,有多少种不同的放法?(2)若箱子允许空,有多少种不同的放法?分析:本题与例1的不同点是这里的4个箱子是不同的,需考虑箱子间的顺序,若还用穷举法解就显得繁杂,可将问题转化为方程正整数解的问题,进而利用“插空法”求解。解:(1)设第i个箱子里放入mi(i=1,2,3,4)个球,则问题转化为求不定方程m1+m2+m3+m4=7(*)的正整数解的个数。将7个小球排成一排,用3个隔板将7个小球分成四份,每一种分隔方法对应一种放法,7个小球之间有6个间隙,在其中任选3个插入隔板,有C36=2 0(种)方法。故共有2 0种不同的放法。(2)箱子允许有空,等价于求(*)式的非负整数解个数。设xi=mi+1(i=1,2,3,4),问题转化为求不定方程x1+x2+x3+x4=1 1的正整数解的个数。仿(1)知共有C31 0=1 2 0(种)不同方法。对于(2)也可这样思考,此时把7个小球81 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2 0 2 4年3月与3个隔板等同看待,认为共有1 0个元素,将它们排成一列,每一个排列对应一种放法,如O O O O O|O O|对应的放法就是:5,0,2,0,1 0个位置任选3个放隔板,其余7个位置放小球,共有C31 0=1 2 0(种)不同方法。点评:求解相同元素的分配问题用“隔板法”,将n个相同的元素分成m份(n,m为正整数),每份至少一个元素,可以用m-1块隔板,插入n个元素排成一排的n-1个空隙中,所有分法数为Cm-1n-1。三、盒同球不同例3 将7个不同的小球,放入4个相同的箱子中。(1)箱子不空,有多少种不同的放法?(2)箱子允许空,有多少种不同的放法?分析:此情形中要注意球是不同的,需考虑其差异,而箱子是相同的就不需要考虑其顺序,故常用“分类累加法”求解。解:(1)箱子不空,分为以下三类:4个箱子中小球数是1,1,1,4,放法有C17C16C15C44/A33=3 5(种);4个箱子中小球数是1,1,2,3,放法有C17C16C25C33/A22=2 1 0(种);4个箱子中小球数是1,2,2,2,放法有C17C26C24C22/A33=1 0 5(种)。放法共有3 5+2 1 0+1 0 5=3 5 0(种)。(2)箱子允许空,分为下面四类。4个箱子均不空,由(1)知有3 5 0种放法。4个箱子中有1个是空的,则分为下面四种情形。)4个箱子中小球数是0,1,1,5,不同的放法有C17C16C55/A22=2 1(种);)4个箱子中小球数是0,1,2,4,不同的放法有C17C26C44=1 0 5(种);)4个箱子中小球数是0,1,3,3,不同的放法有C17C36C33/A22=7 0(种);)4个箱子中小球数是0,2,2,3,不同的放法有C27C25C33/A22=1 0 5(种)。此时共有 不 同 的 放 法 数 为2 1+1 0 5+7 0+1 0 5=3 0 1。4个箱子中有2个是空的,又分为下面三种情形。)4个箱子中小球数是0,0,1,6,不同的放法有C17C66=7(种);)4个箱子中小球数是0,0,2,5,不同的放法有C27C55=2 1(种);)4个箱子中小球数是0,0,3,4,不同的放法有C37C44=3 5(种)。此时共有不同的放法数为7+2 1+3 5=6 3。4个箱子中有3个是空的仅有一种情形0,0,0,7,共有1种放法。综上所述,共有3 5 0+3 0 1+6 3+1=7 1 5(种)不同放法。点评:本题属于分组问题,分组的类型包括整体均分、部分均分和不等分三种,无论分成几组,都应注意只要有元素的个数相等的组存在,就需要考虑均分的现象(即:整体平均分组;或部分平均分组)。四、球盒均不同例4 将7个不同的小球,放入4个不同的箱子中。(1)箱子不空,有多少种不同的放法?(2)箱子允许空,有多少种不同的放法?分析:与例3比较,需考虑箱子的差异,即箱子间的顺序。解:(1)由例3可知7个不同的小球,放入4个相同的箱子中,箱子不空时共有3 5 0种放法。故将7个不同的小球,放入4个不同的箱子中,箱子不空,共有3 5 0 A44=8 4 0 0(种)不同的放法。(2)用“分步法”求解。将7个不同的小球,放入4个不同的箱子中,箱子允许空,每一个小球都有4种不同的放法,故共有47=1 6 3 8 4(种)不同的放法。点评:重复排列问题要区分两类元素,一类可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,把能重复的元素看作“店”,通过“住店法”可顺利解题。在使用住店策略解决这类问题时,关键是正确判断哪个是底数,哪个是指数。(责任编辑 徐利杰)91解题篇 经典题突破方法 高二数学 2 0 2 4年3月