三角函数的重心移向函数市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

三角函数重心移向函数三角函数重心移向函数一个经典说法是：三角函数存在理由是加法定理一个经典说法是：三角函数存在理由是加法定理.三角函数重心何在？三角函数重心何在？所谓加法定理，所指是：和差角公式、倍半角公式、所谓加法定理，所指是：和差角公式、倍半角公式、和差化积公式与积化和差公式等和差化积公式与积化和差公式等.全部这些，讲都是三角函数式恒等变形全部这些，讲都是三角函数式恒等变形.所谓重心移动，莫非三角重心已经不在这里吗？所谓重心移动，莫非三角重心已经不在这里吗？请看三角函数考试.前台后库前台后库1第1页（1）高考数学纲领，要求保持平稳.考试纲领中三角函数（2 2）试题设计创新程度，要符合中学教学实际与学生实际）试题设计创新程度，要符合中学教学实际与学生实际.（3 3）三角函数、立体几何两个模块详细要求降低）三角函数、立体几何两个模块详细要求降低（4 4）易、中、难三种题型设计百分比，轻易题和中等题为主体，）易、中、难三种题型设计百分比，轻易题和中等题为主体，较难题不超出较难题不超出30%30%，中等题和轻易题不低于，中等题和轻易题不低于70%.70%.修订后考纲有以下引人关注几点：这里，明白无误地申明，三角函数这里，明白无误地申明，三角函数“详细要求降低详细要求降低”.当年考卷兑现了诺言，三角函数要求确实降低了当年考卷兑现了诺言，三角函数要求确实降低了.2第2页【例1】(全国甲卷 理1)sin210=(A)(B)(C)(D)【例2】(全国甲卷 文1)cos330=(A)(B)(C)(D)【点评】【点评】本题考查函数，是函数求值问题本题考查函数，是函数求值问题.函数式为函数式为 y=f(x)=sin x(或或cos x)求求 x=210(或或 x=330)3第3页【例1】(全国甲卷 理1)sin210=(A)(B)(C)(D)【例2】(全国甲卷 文1)cos330=(A)(B)(C)(D)【说明】【说明】本题对本题对“任意角降低要求任意角降低要求”作了解释：任意角实际意作了解释：任意角实际意义是将三角形内角扩大到义是将三角形内角扩大到0到到360之间之间.这就是考题对考纲兑现这就是考题对考纲兑现.4第4页关于考点要求四个层次：了解、了解、掌握和应用，人们对于关于考点要求四个层次：了解、了解、掌握和应用，人们对于“了解了解”和和“了解了解”，从来就很含糊，因为它们在命题中不具，从来就很含糊，因为它们在命题中不具备操作性备操作性.“了解了解”降成降成“了解了解”“任意角概念和弧度意义任意角概念和弧度意义”降低要求之后，三角函数大题也就降低要求之后，三角函数大题也就随之降低了要求随之降低了要求.有试卷，单一三角函数试题有可能不出现在有试卷，单一三角函数试题有可能不出现在大题中大题中.新纲领提出这种变动，只在告诉人们，对此考点降低了要求新纲领提出这种变动，只在告诉人们，对此考点降低了要求.对对“弧度意义弧度意义”降低要求后，人们最少不会在以下问题上大做降低要求后，人们最少不会在以下问题上大做文章了：文章了：设设x为锐角，求证：为锐角，求证：sinx x tanx5第5页【分析】【分析】求单调区间，是在研究函数通性求单调区间，是在研究函数通性.这里只不过把三角函这里只不过把三角函数当成了一个详细函数而已数当成了一个详细函数而已.【例3】（全国乙卷 理12）函数 f(x)=cos2 x 2 cos2 一个单调增区间是(A)(B)(C)(D)欲求欲求 y=f(x)一个单调增区间，易想到先统一一个单调增区间，易想到先统一 y=f(x)中角，这中角，这在函数式变换中称作在函数式变换中称作“自变量集元自变量集元”.6第6页【分析】【分析】为了为了“集元集元”，可将，可将 向向 x 统一统一.这可经过将这可经过将cos2 降幂来实现降幂来实现.然后将然后将y=f(x)化成二次函数型，化成二次函数型，再依据复合函数单调性求解再依据复合函数单调性求解.【例3】（全国乙卷 理12）函数 f(x)=cos2 x 2 cos2 一个单调增区间是(A)(B)(C)(D)在这里，把三角函数单调性化为复合二次函数单调性求解在这里，把三角函数单调性化为复合二次函数单调性求解.7第7页【解析】【解析】y=f(x)=cos2 x 2 cos2【例3】（全国乙卷 理12）函数 f(x)=cos2 x 2 cos2 一个单调增区间是(A)(B)(C)(D)8第8页【解析】【解析】y=f(x)=cos2 x 2 cos2(1 t 1).【插话】【插话】于是三角函数问题转化为二次函数求解于是三角函数问题转化为二次函数求解.9第9页只需探求使得只需探求使得 和和 (1 t 1)单调性一单调性一致致x范围即可范围即可.而当而当 时，时，单调递减，单调递减，此时此时 ，而且存在，而且存在 上上 单调递减单调递减.所以时所以时y=f(x)一个单调区间为一个单调区间为 ，故选，故选A.【续解】【续解】对二次函数对二次函数 (1 t 1).10第10页【点评】【点评】此题以三角为载体，重点考查了函数单调性、此题以三角为载体，重点考查了函数单调性、二次函数性质、复合函数单调性二次函数性质、复合函数单调性.三角函数值域等，在这里只作为复合函数一员三角函数值域等，在这里只作为复合函数一员.而三角函数二倍角余弦公式，在这里只充当了恒等变换而三角函数二倍角余弦公式，在这里只充当了恒等变换中一个工具中一个工具.尽管本题是一个选择题，但包括到内涵十分丰富，尤其尽管本题是一个选择题，但包括到内涵十分丰富，尤其是函数思想在解题中利用是函数思想在解题中利用.11第11页【例例4】（全国甲卷（全国甲卷 理理2文文3）函数函数 y=|sin x|一个单调增区间是一个单调增区间是 (A)(B)(C)(D)【解【解1】抽象思维变式：抽象思维变式：【点评】【点评】本题考函数，正弦函数与绝对值函数复合本题考函数，正弦函数与绝对值函数复合按复合函数单调性易知，本题答案为按复合函数单调性易知，本题答案为C.12第12页【例例4】（全国甲卷（全国甲卷 理理2文文3）函数函数 y=|sin x|一个单调增区间是一个单调增区间是 (A)(B)(C)(D)【解【解2】直觉思维看图：直觉思维看图：【点评】【点评】本题考函数图象变换本题考函数图象变换.是数形结合代表作是数形结合代表作.看图易知，本题答案为看图易知，本题答案为C.13第13页三角函数三角函数 转向转向“函数函数”【例【例5】(全国甲卷全国甲卷 理理17)在在 ABC 中，已知内角中，已知内角A=，边，边 BC=2 .设内角设内角B=x,周周长为长为y.（）求函数）求函数 y=f(x)解析式和定义域；解析式和定义域；（）求）求 y 最大值最大值.【评说】【评说】本题考函数本题考函数函数建模函数建模.三角函数只充当了一个三角函数只充当了一个“载体载体”将三角函数纳入普通函数将三角函数纳入普通函数之之 列，考查是函数共性：函数定义域、对应法则、值域、函数应列，考查是函数共性：函数定义域、对应法则、值域、函数应用等用等.本题预示：三角本题预示：三角“专题专题”，已从大题中淡出，已从大题中淡出.14第14页 【分析】【分析】本题本题“大中含小大中含小”，小到什么程度呢？连初中生都可，小到什么程度呢？连初中生都可拿到不少分数拿到不少分数.【题【题5】(甲卷甲卷 理理17 题（题（10分）文分）文18 题（题（12分）分）)在在 ABC 中，已知内角中，已知内角 A=，边，边 BC=2 .设内角设内角B=x,周长为周长为 y.（）求函数）求函数 y=f(x)解析式和定义域解析式和定义域 （）求）求 y 最大值最大值.大中含小含小“大题大题”【分割】【分割】对题对题，求函数解析式和定义域，而定义域是独立，求函数解析式和定义域，而定义域是独立，即三角形即三角形B角取值范围为角取值范围为 0 B ，假如，假如()满分是满分是4分，则这分，则这位初中生已经拿到了位初中生已经拿到了2分分.15第15页【分割【分割】由正弦定理由正弦定理 则三角形周长则三角形周长 AB+BC+C A【点评】【点评】那位初中生若能写到此步，则最少再添那位初中生若能写到此步，则最少再添1分分.【题【题5】(甲卷甲卷 理理17 题（题（10分）文分）文18 题（题（12分）分）)在在 ABC 中，已知内角中，已知内角 A=，边，边 BC=2 .设内角设内角B=x,周长为周长为 y.（）求函数）求函数 y=f(x)解析式和定义域解析式和定义域 （）求）求 y 最大值最大值.大中含小含小“大题大题”16第16页又又 B+C=-A=故有故有令令 y=AB+BC+CA，B=x则由（则由（1）得函数）得函数 y=f(x)解析式和定义域解析式和定义域（1）周长周长留给高中生留给高中生 仅剩下面仅剩下面1 1分分17第17页【题【题5】(甲卷甲卷 理理17 题（题（10分）文分）文18 题（题（12分）分）)在在 ABC 中，已知内角中，已知内角 A=，边，边 BC=2 .设内角设内角B=x,周长为周长为y.（）求函数）求函数 y=f(x)解析式和定义域解析式和定义域 （）求）求 y 最大值最大值.大中含小含小 头重脚轻头重脚轻 实际上，没有实际上，没有()结果，题结果，题()是照样可解是照样可解这是解梯式大这是解梯式大题一个迂回策略题一个迂回策略.【分析】【分析】用解析式用解析式 求其最大值已经求其最大值已经不是难事了不是难事了.命题人将命题人将()、()两小题进行捆绑，看来有两小题进行捆绑，看来有“头头重脚轻重脚轻”之嫌，因为相比之下，第之嫌，因为相比之下，第()小题偏重小题偏重.18第18页【单解【单解】（与题（与题()分离分离 用平面几何法求解）用平面几何法求解）设设 y 最大值对应最大点为最大值对应最大点为 B=x0.【题【题5】(甲卷甲卷 理理17 题（题（10分）文分）文18 题（题（12分）分）)在在 ABC 中，已知内角中，已知内角 A=，边，边 BC=2 .设内角设内角B=x,周长为周长为y.（）求函数）求函数 y=f(x)解析式和定义域解析式和定义域 （）求）求 y 最大值最大值.迂回解 另番天地另番天地 内角内角 C 与与 B 是对称关系，设是对称关系，设 y 最大值对应点最大值对应点 C=x0 则也有则也有B=x0.又又 A=,故故 C=B=，从而从而 ABC 为为 正三角形正三角形.所以所以 y 最大值为最大值为3BC=6 .19第19页三角函数重心移向函数三角函数重心移向函数过去经典说法是：三角函数存在理由是加法定理过去经典说法是：三角函数存在理由是加法定理.三角函数重心何在？三角函数重心何在？加法定理由公式组成：加法定理由公式组成：和差角公式、倍半角公式、和差化和差角公式、倍半角公式、和差化积公式与积化和差公式等积公式与积化和差公式等.全部这些，都是三角式恒等变形工具全部这些，都是三角式恒等变形工具.三角函数重心移向函数，函数建构、函数值域和定义域、函三角函数重心移向函数，函数建构、函数值域和定义域、函数性质（单调性、奇偶性、周期性、有界性等）数性质（单调性、奇偶性、周期性、有界性等）考题给我们留下了这么印象：20第20页