福建省南平市2018-2019学年第一学期九年级上册期末质量检测数学测试卷(含答案及评分标准).doc

南平市2018-2019学年第一学期九年级期末质量检测
数 学 试 题
（满分：150分；考试时间：120分钟）
★友情提示：① 所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效；
② 试题未要求对结果取近似值的，不得采取近似计算．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A. B. C. D.
2. 用配方法解方程，配方结果正确的是
A. B.
C. D.
3. 同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，每个骰子的六个面分别标有1，2，3，4，5，6这六个点数，下列事件为必然事件的是
O
C
D
A
B
第4题图
A. 朝上一面点数之和为12 B. 朝上一面点数之和等于6
C. 朝上一面点数之和小于13 D. 朝上一面点数之和小于等于6
4. 如图，点A、B、C在⊙O上，过点C作⊙O的切线与OA的延长线交于点D，若，则的大小为
A. B.
C. D.
5. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是
A. 对称轴是 B. 开口向下
C. 顶点坐标是（1，-2） D. 与x轴有两个交点
6. 1275年我国南宋数学家杨辉提出一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步. 设阔（宽）为步，则所列方程正确的是
A. B.
C. D.
7. 已知⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交，点O到直线l的距离为3，则⊙O上到直线l的距离为2的点共有
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

8. 如果点A，B，C都在反比例函数的图象上，那么
，，的大小关系正确的是
A. << B. <<
C. << D .<<
9. 若正方形的边长为4，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为
A. ，2 B. 4，2
C. 4， D. ，
10.已知k为非零的实数，则抛物线的顶点
A. 在一条直线上 B. 在某双曲线上
C. 在一条抛物线上 D. 无法确定

二、填空题（本大题共6小题，每空4分，共24分．将答案填入答题卡的相应位置）
11. 一元二次方程的根是 ．
12. 在一个不透明的口袋内只装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中任意
摸出一个球，摸到红球的概率是0.3，摸到白球的概率是0.4，那么摸到黑球的概率
是 ．
13. 若点P(m，-3)与点Q（2，n）关于原点对称，则 ．
14. 一个扇形的圆心角为，面积是，则此扇形的半径是 ．
A
D
B
C
第16题图
15．已知反比例函数（），当1≤x≤2时，函数的 最大值与最小值之差是1，则k的值为 ．
16. 如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若∠BAC=39°，则∠BDC= °.

三、解答题（本大题共9小题，共86分．在答题卡的相应位置作答）
17．解方程（每小题4分，共8分）
（1）； （2）.

18．（8分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且为
正整数，求的值.

19．（8分）某中学食堂开设了两个窗口，窗口一提供四种食品：肉包、馒头、鸡蛋、油饼；窗口二提供两种食品：牛奶、豆浆. 约定：学生在一个窗口领一种食品后，再到另一个窗口领一种食品.
（1）问：学生早餐领到的食品一共有几种不同的可能?
（2）如果某天食堂师傅在两个窗口随机发放食品，请用列表或画树状图的方法，求出小王同学该天早餐刚好得到牛奶和馒头的概率.

20．（8分）如图，△APB内接于⊙O.
（1）作∠APB的平分线PC，交⊙O于点C（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若∠APB=120º，连接AC，BC，求证：△ABC是等边三角形.
A
B
P
O
第20题图

21．（8分）如图，用米篱笆围成一个外形为矩形的花园，花园一面利用院墙，中间用一道篱笆间隔成两个小矩形，院墙的长度为米，平行于院墙的一边长为米，花园的面积为平方米．
（1）求与之间的函数关系式；
x
D
C
B
A
第21题图
（2）问花园面积可以达到平方米吗？如果能，花园的长和宽各是多少？如果不能，请说明理由.

A
O
B
H
E
D
第22题图
22．（10分）如图，AB是半圆O的直径，点D是半圆上一点，连接OD，AE⊥OD于点E，设∠AOE=，将△AEO绕点O顺时针旋转角，得到△DHO，若点D，H，B在一条直线上，求的值.

x
y
A
O
第23题图
23．（10分）如图，直线与反比例函数的图象交于点A，直线与y轴正半轴的夹角为，OA=2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出的自变量的取值范围．

24．（12分）如图，在边长为8的等边△ABC中，点D是AB的中点，点E是平面上一点，且线段DE=2，将线段EB绕点E顺时针旋转60º得到线段EF，连接AF.
（1）如图1，当BE=2时，求线段AF的长；
（2）如图2，① 求证：AF=CE；
F
D
A
C
B
E
第24题图1
E
F
D
A
B
C
第24题图2
② 求线段AF的取值范围.

25．（14分）我们把（a，b，c）称为抛物线的三维特征值.已知抛物线所对应的三维特征值为，且顶点在直线上.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线与抛物线交于P、Q两点，当≤2时，求t的取值范围；
（3）已知直线与x轴交于点A，将抛物线向右平移个单位得到抛物线，且抛物线与直线分别相交于M、N两点（M点在N点的左侧），与x轴交于C、D两点（C点在D点的左侧），求证：射线AN平分∠MAD.

南平市2018-2019学年第一学期九年级期末质量检测
数学试题参考答案及评分说明

说明：
（1）解答右端所注分数为考生正确做完该步应得的累计分数，全卷满分150分．
（2）对于解答题，评卷时要坚持每题评阅到底，勿因考生解答中出现错误而中断本题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的考试要求，可酌情给分，但原则上不超过后面应得分数的一半，如果有较严重的错误，就不给分．
（3）若考生的解法与本参考答案不同，可参照本参考答案的评分标准相应评分．
（4）评分只给整数分．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．C； 2．B； 3．C； 4．D；　5．D； 6．A； 7．C； 8．B； 9．A； 10．B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．；　12．0.3； 13．1； 14．3； 15．； 16．19.5°．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．（1）解：…………………………………………………………………1分
…………………………………………………………………2分
　　　　 …………………………………………………………………4分
（2）解：∵， ……………………………………………………1分
……………………………………………………2分
，
…………………………………………………4分
18．解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
， …………………………………………………………4分
　　　 ∴ ，………………………………………………………………6分
∵为正整数，
∴.……………………………………………………………………8分
19．（1）解：食堂早餐的食品一共有8种不同的可能.……………………………………2分
(2) 方法一：
牛奶
豆浆
牛奶
豆浆
牛奶
豆浆
牛奶
豆浆
肉包 馒头 鸡蛋 油饼

………………………………………………6分

∴（肉包，牛奶）（肉包，豆浆）（馒头，牛奶）（馒头，豆浆）
（鸡蛋，牛奶）（鸡蛋，豆浆）（油饼，牛奶）（油饼，豆浆），………………7分

∴. ………………………………………………………8分

窗口一
窗口二
方法二：

牛奶
豆浆
肉包
（肉包，牛奶）
（肉包，豆浆）
馒头
（馒头，牛奶）
（馒头，豆浆）
鸡蛋
（鸡蛋，牛奶）
（鸡蛋，豆浆）
油饼
（油饼，牛奶）
（油饼，豆浆）
………………………………………………………7分
∴. ………………………………………………………8分
C
A
O
P
B
第20题答题图1
20． (1)作图………………………………………………………………………………3分
A
C
P
B
O
第20题答题图2
(2)证明：∵PC平分∠APB，∠APB=120º，
∴∠APC=∠CPB=60º ， ……………………………………………………4分
∵∠ABC与∠APC同对弧AC，
∴∠ABC=∠APC=60º ， ………………………………………………………5分
∵∠CAB与∠CPB同对弧BC
∴∠CAB=∠CPB=60º ，…………………………………………………………6分
∴∠ACB=180º-∠ABC-∠CAB=60º，
∴∠ACB=∠ABC=∠CAB ，……………………………………………………7分
∴△ABC是等边三角形. ………………………………………………………8分
21．解：（1）∵，…………………………………………………………2分
∴. ……………………………………………………3分
（2）花园面积可以达到180平方米， ……………………………………………4分
∵ ， …………………………………………………………5分
∴ ， ………………………………………………………………6分
∵院墙的最大长度为
∴
∴. ……………………………………………………………………………7分
答：当时，花园面积可以达到 . …………………………………………8分
H
E
D
O
B
A
第22题答题图
22. 解：连接HB，
∵AE⊥EO，
∴∠AEO=90º，
∵△AEO绕点O顺时针旋转得到△DHO，
∴△AEO≌△DHO，
∴∠A=∠D，
∠DHO=∠AEO=90º ，
∠DOH=∠AOE ，
…………………………………………………………………3分
∵D、H、B在一条直线上，
∴OH⊥DB，
证法一：∵OD=OB，
∴∠B=∠D，………………………………………………………………………4分
∴∠A=∠B，………………………………………………………………………5分
∵∠AOE与∠B同对弧AD，
∴∠AOE =2∠B ，
∴∠AOE =2∠A， …………………………………………………………………7分
在Rt△AOE中, ∠AOE +∠A=90º，
∴2∠A+∠A=90º，……………………………………………………………………8分
∴∠A=30º， ……………………………………………………………………9分
∴∠AOE=60º 即=60º. ………………………………………………………10分
证法二：∵OD=OB，OH⊥DB ，
∴OH平分∠BOD即∠BOH =∠DOH ，………………………………………7分
∵∠DOH=∠AOE ，
∴∠DOH=∠AOE=∠BOH=60º ………9分
∴=60º. ………………………………10分
23．解：（1）过A作AB⊥x轴垂足为B，…………1分
∵直线与y轴正半轴的夹角为，
∴∠AOB=30°，…………………………2分
第23题图
x
y
A
O
B
∴ ，……………………3分
∴在Rt△AOB中，
，
…………………4分
∴， …………………………5分
∴， ………………………………6分
∴. ……………………………………7分
(2) ………………………………10分
24．解：(1)作AG⊥BC于G点，延长FE交AG于H点
∵AB=AC，
∴∠BAG=30º，……………………1分
∵EB绕点E顺时针旋转60º得到线段EF，
∴∠BEF=60º，
∴∠BEF=∠B，
∴EF∥BC， …………………………2分
∵AG⊥BC，
∴AG⊥FH， …………………………3分
在Rt△AEH中,∵AE=6,∠EAH=30º，
H
G
F
E
D
A
B
C
∴,，
在Rt△AFH中，.……………………4分
方法二：(1)连接FB,作FP⊥AB于P点，
∵EB绕点E顺时针旋转60º得到线段EF，
∴△EBF是等边三角形，…………………………1分
又∵FP⊥AB，∴∠EFP=30º，
∴ ，……………………………2分
∴AP=7，
（第24题答题图1）
在Rt△EFP中, ………3分
（第24题答题图2）
P
F
E
D
A
B
C
F
D
A
B
C
E
（第24题答题图3）
在Rt△APF中, …………………4分

(2) ①连接FB，
∵EB绕点E顺时针旋转60º得到线段EF，
∴△EBF是等边三角形，
∴FB=EB, ∴∠FBE=∠ABC=60º…………………………………………………………6分
∴∠FBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA
即∠FBA=∠EBC，…………………………………………………………………………7分
又∵AB=BC，
∴△FBA≌△EBC ，………………………………………………………………………8分
∴AF=CE，…………………………………………………………………………………9分
②. ………………………………………………………12分
∵DE=2,
∴E点在以D为圆心，2为半径的圆上，且
∵AF=CE
∴.(回答合理均得分）
25．解：（1）依题意可得，………………………………………………1分
x
y
O
（第25题答题图1）
P
Q
E
∵顶点在直线上，
∴，
∴， ………………………………2分
∴.……………………3分
（2） 设直线PQ与直线相交与E点，
∴， ………………………………………………………………………………4分
∵≤2，∴， …………………………………………………………5分
∴当，，………………………………………………6分
当 ，， …………………………………………………7分
∴ . ………………………………………………………………………………9分
方法2：设，
∴ ，
∴ ，…………………………………………………5分
∴ ，………………………………………………………………6分
∴ ，，，
，，，……………………………………………………………8分
∴ .…………………………………………………………………………………9分
x
y
O
P
Q
C
D
N
M
N
1
M
1
A
（第25题答题图2）

（3）设直线与依次相交于两点，
由（2）可得,，
∴，………………………………………………………………………10分
由平移的性质可得,，…………………………11分
∴………………………12分
证法一：∴，
∴∠MAN=∠MNA，………………………………………………………………13分
∵MN∥CD，
∴∠MNA=∠NAD ,
∴∠MAN=∠NAD,
∴射线AN平分∠MAD. …………………………………………………………14分
证法二：过N点作NP⊥AM于P点, NQ⊥CD于Q点,
∴NQ=1,
∵.，
∴NP=1 , ………………………………………………………………13分
∴NP= NQ,
∵NP⊥AM于P点, NQ⊥CD，
∴射线AN平分∠MAD. ………………………………………………14分