求不定积分的几种基本方法.ppt

5.2 求不定积分的几种基本方法求不定积分的几种基本方法一、第一类换元法（凑微分法）第一类换元法（凑微分法）.上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出先看下例：例例1 求解解设则.一般地，如果是的一个原函数，则而如果又是另一个变量的函数且可微，那么根据复合函数的微分法，有由此得.是具有原函数于是有如下定理：定理定理1 设可导，则有换元公式（5-2）由此可见，一般地，如果积分不能直接利用利用基本积分公式计算，而其被积表达式能表示为的形式，且较易计算，那么可令.代入后有这样就得到了的原函数.这种积分称为第一类换元法第一类换元法.由于在积分过程中，先要从被积表达式中凑出一个积分因子因此第一类换元法也称为凑微分法凑微分法.例例2 求解解.再以代入，即得例例3 求 解解 被积函数 可看成 与 构成的复合 函数，虽没有 这个因子，但我们可以凑出这个因子：，如果令 便有.，一般地，对于积分 总可以作变量代换，把它化为.，例例4 求 解解 令 则.，例例5 求 解解 令,则,有 凑微分与换元的目的是为了便于利用基本积分公式在比较熟悉换元法后就可以略去设中间变量和换元的步骤.例例7 求 例例6 求 解解 解解.解解 例例8 求.例例9 求 解解 类似地可得.例例10 求 解解 .例例11 求 解解 类似地可得.类似地可得例例12 求 解解 例例13 求 解解.第一类换元法有如下几种常见的凑微分形式:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10).二二、第二类换元法第二类换元法 第一类换元法是通过变量代换，将积分 化为积分 第二类换元法是通过变量代换，将积分 化为积分 在求出后一个积分后,再以 反函数 代回去,这样换元积分公式可表示为:上述公式的成立是需要一定条件的，首先等式右边的不定积分要存在，即被积函数 的.有原函数；其次,的反函数 要存在.我们有下面的定理 定理定理2 设函数 连续,单调、可导，并且，则有换元公式(5-3)下面举例说明公式(5-3)的应用.例例14 求 解解 遇到根式中是一次多项式时，可先通过适当的换元将被积函数有理化，然后再积分 令,则，故.例例15 求 解解 令，则,则有例例16 求 解解 为使被积函数有理化利用三角公式 令 则它是 的单调可导函数，具有反函数,且.因而例例17 求 解解 令 则 于是.其中 例例18 求 解解 被积函数的定义域为,令，这时故.其中,当 时,可令 类似地可得到相同形式的结果以上三例中所作的变换均利用了三角恒等式，称之为三角代换，可将将被积函数中的无理因式化为三角函数的有理因式一般地，若被积函数中含有 时，可 作代换 或；含有 时，可作代换；含有 时，可作代换.利用第二类换元法求不定积分时，还经常用到倒代换即等 例例19 求 解解 令,则 因此当 时，,有.当 时，有综合起来，得在本节的例题中，有几个积分结果是以后经常会遇到的所以它们通常也被当作公式使用这样,常用的积分 公式，除了基本积分表中的以外，再添加下面几个(其中常数a0).(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20).(21)例例20 求 解解 利用公式(18)，可得.例例21 求 解解 利用公式(21)，可得.三三 分部积分法分部积分法 .上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出一一、分部积分公式的推导分部积分公式的推导思考：诸如此类的不定积分，用换元积分法都不能求解特点：被积函数是两种不同类型的函数的乘积.需要用到求不定积分的另一种基本方法分部积分法分部积分法设函数 及 具有连续导数那么，移项，得.对这个等式两边求不定积分，得（5-4）公式（5-4）称为分部积分公式分部积分公式.如果积分 不易求,而积分 比较容易时,分部积分公式就可用了.为简便起见,也可把公式（5-4）写成下面的形式:（5-5）现在通过例子说明如何运用这个重要公式.例例22 求 解解 由于被积函数 是两个函数的乘积,选其中一那么另一个即为 如果选择 则 个为得 如果选择 则 得.上式右端的积分比原积分更不容易求出 由此可见，如果 和 选取不当，就求不出结果 所以应用分部积分法时，恰当选取 和 是关键，一般以比 易求出为原则例例23 求 解解.例例24 求 解解 由上面的三个例子知道，如果被积函数是指数为正整数的幂函数和三角函数或指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并选择幂函数为 经过一次积分，就可以使幂函数的次数降低一次例例25 求 解解.例例26 求解解.例例27 求解解 总结上面四个例子可以知道,如果被积函数是幂函数和反三角函数或对数函数的乘积,就可以考虑用分部积分法,并选择反三角函数或对数函数为一般地,如果被积函数是两类基本初等函数的乘积,在多数情况下,可按下列顺序:反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数，将排在前面的那类函数选作，后面的那类函数选作.下面两例中使用的方法也是比较典型的.例例28 求 解解 等式右端的积分与原积分相同,把它移到左边与原积分合并,可得.例例29 求 解解 所以.