二次根式典型练习题..doc

(完整版)二次根式典型练习题.天大北洋教育知识点一：二次根式的概念【知识要点】 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式,其中叫被开方数，只有当是一个非负数时,才有意义【典型例题】 【例1】下列各式1)，其中是二次根式的是_(填序号）举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是( ）A、 B、 C、 D、2、在、中是二次根式的个数有_个【例2】若式子有意义，则x的取值范围是 来源：学*科*网ZX*X*K举一反三：1、使代数式有意义的x的取值范围是（ ） A、x3 B、x3 C、 x4 D 、x3且x42、使代数式有意义的x的取值范围是 3、如果代数式有意义,那么，直角坐标系中点P(m，n)的位置在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【例3】若y=+2009,则x+y= 解题思路：式子（a0)， ,y=2009,则x+y=2014举一反三:1、若，则xy的值为（ ）A1 B1 C2 D32、若x、y都是实数，且y=，求xy的值3、当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。已知a是整数部分，b是 的小数部分，求的值。若的整数部分是a，小数部分是b，则 。若的整数部分为x,小数部分为y，求的值.知识点二:二次根式的性质【知识要点】 1。 非负性：是一个非负数 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到 2. 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式: 3. 注意：（1）字母不一定是正数（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替 (3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外 4。 公式与的区别与联系 (1）表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数 （2)表示一个数的算术平方根的平方,a的范围是非负数 （3）和的运算结果都是非负的【典型例题】 【例4】若则 举一反三：1、若，则的值为 .2、已知为实数,且，则的值为（ ）A3B 3C1D 13、已知直角三角形两边x、y的长满足x240，则第三边长为。4、若与互为相反数，则。 （公式的运用)【例5】 化简：的结果为( )A、4-2a B、0 C、2a4 D、4举一反三：1、 在实数范围内分解因式： = ；= 2、 化简：3、 已知直角三角形的两直角边分别为和，则斜边长为 （公式的应用）【例6】已知，则化简的结果是A、 B、C、D、 举一反三:1、根式的值是( ）A3 B3或3 C3 D92、已知a0，那么2a可化简为（ ） Aa Ba C3a D3a3、若，则等于( ）A。 B. C. D。 4、若a30，则化简的结果是（ ）（A) 1 (B) 1 (C） 2a7 （D) 72a5、化简得( ）(A)2（B)（C）2(D)6、当al且a0时,化简 7、已知,化简求值：【例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简ab+ 的结果等于（ ） A2b B2b C2a D2a举一反三：实数在数轴上的位置如图所示：化简：【例8】化简的结果是2x-5，则x的取值范围是（ )(A）x为任意实数 （B）x4 （C） x1 （D）x1举一反三：若代数式的值是常数，则的取值范围是（ ）或【例9】如果，那么a的取值范围是（ ） A。 a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D。 a1 举一反三：1、如果成立，那么实数a的取值范围是（ )2、若，则的取值范围是（ ）(A） (B） （C） (D）【例10】化简二次根式的结果是（A） (B) (C) (D)1、把二次根式化简,正确的结果是（ ） A. B. C. D. 2、把根号外的因式移到根号内：当0时， ； 。知识点三：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：被开方数是整数，因式是整式;被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号2、同类二次根式（可合并根式): 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。【典型例题】 【例11】在根式1） ，最简二次根式是( ） A1) 2) B3） 4) C1） 3） D1） 4)解题思路：掌握最简二次根式的条件。举一反三：1、中的最简二次根式是 .2、下列根式中,不是最简二次根式的是（ ）ABCD3、下列根式不是最简二次根式的是(）A.B.C。D。4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1） （2) (3） （4） （5) （6)5、把下列各式化为最简二次根式： （1) （2) (3)【例12】下列根式中能与是合并的是（ ）A。 B. C。2 D. 举一反三：1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ） A、 B、 C、 D、2、在二次根式：； ; ；中,能与合并的二次根式是 .3、如果最简二次根式与能够合并为一个二次根式, 则a=_.知识点四：二次根式计算分母有理化【知识要点】 1分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： 单项二次根式：利用来确定，如：,，与等分别互为有理化因式。两项二次根式：利用平方差公式来确定。如与，分别互为有理化因式。3分母有理化的方法与步骤： 先将分子、分母化成最简二次根式； 将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式；最后结果必须化成最简二次根式或有理式。【典型例题】 【例13】 把下列各式分母有理化(1） (2） （3) (4）【例14】把下列各式分母有理化（1) （2) （3） （4）【例15】把下列各式分母有理化:（1） （2） (3)举一反三：1、已知，求下列各式的值:（1）（2）2、把下列各式分母有理化：（1） （2） （3）小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类: 与; 与;与; 与知识点五：二次根式计算二次根式的乘除【知识要点】 1积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 =（a0,b0）2二次根式的乘法法则:两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根。 (a0，b0） 3商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根=(a0,b0）4二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。=（a0，b0）注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边,同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式【典型例题】 【例16】化简（1) (2) （3） （4）(） (5） 【例17】计算（1) （2） （3） （4)（5） (6) （7） （8）【例18】化简： （1) (2) （3) (4) 【例19】计算：(1） (2) (3） （4）【例20】能使等式成立的的x的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、无解知识点六：二次根式计算-二次根式的加减【知识要点】 需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减，被开方数不变.注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数【典型例题】 【例20】计算(1）； (2);（3)； (4）【例21】 （1） (2)（3） （4）（5） （6）知识点七：二次根式计算二次根式的混合计算与求值【知识要点】 1、确定运算顺序；2、灵活运用运算定律； 3、正确使用乘法公式；4、大多数分母有理化要及时；5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；【典型习题】 1、 2、 （2+43）3、 （4） 4、知识点八:根式比较大小【知识要点】 1、根式变形法 当时，如果，则；如果，则。2、平方法 当时，如果,则；如果，则。3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。5、倒数法6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值,利用传递性进行比较.7、作差比较法在对两数比较大小时,经常运用如下性质：；8、求商比较法它运用如下性质:当a0，b0时，则：； 【典型例题】 【例22】 比较与的大小.（用两种方法解答）【例23】比较与的大小.【例24】比较与的大小.【例25】比较与的大小。【例26】比较与的大小 第12页总12页