资源描述
习题一：
1.1 写出下列随机试验的样本空间：
(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;
解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故；
(2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;
解：；
(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;
解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以；
(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品;
解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：
(5) 检查两件产品是否合格;
解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则；
(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2);
解：用表示最低气温, 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故：
；
(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;
解：；
(8) 在长为的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.
解：；
1.2
(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; ；
(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;；
(3) A,B,C 中至少有一个发生; ；
(4) A,B,C 中恰有一个发生;；
(5) A,B,C 中至少有两个发生; ；
(6) A,B,C 中至多有一个发生;；
(7) A;B;C 中至多有两个发生;
(8) A,B,C 中恰有两个发生. ；
注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
1.3 设样本空间, 事件=,
具体写出下列各事件：
(1) ; (2) ; (3) ; (4)
（1） ；
(2) =；
(3) =;
(4) =
1.6 按从小到大次序排列, 并说明理由.
解：由于故，而由加法公式，有：
1.7
解：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：
(2) 由于事件可以分解为互斥事件，昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件 概率为：
(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为：.
1.8
解：(1) 由于，故显然当时P(AB) 取到最大值。 最大值是0.6.
(2) 由于。显然当时P(AB) 取到最小值，最小值是0.4.
1.9
解：因为 P(AB) = 0，故 P(ABC) = 0.至少有一个发生的概率为：
1.10
解
（1） 通过作图，可以知道，
（2）
1.11
解：用表示事件“杯中球的最大个数为个” =1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有种，每种放法等可能。
对事件：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4×3×2种，故
(选排列：好比3个球在4个位置做排列)。
对事件：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种)，故。
1.12
解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。.出现点数和为“3”对应两个基本事件（1，2），（2，1）。故前后两次出现的点数之和为3的概率为。
同理可以求得前后两次出现的点数之和为4，5 的概率各是。
(1) 1.13
解：从10个数中任取三个数，共有种取法，亦即基本事件总数为120。
(1) 若要三个数中最小的一个是5，先要保证取得5，再从大于5的四个数里取两个，取法有种，故所求概率为。
(2) 若要三个数中最大的一个是5，先要保证取得5，再从小于5的五个数里取两个，取法有种，故所求概率为。
1.14
解：分别用表示事件：
(1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球.则。
1.15
解：
由于，故
1.16
(1) （2）
解：（1）
（2）
注意：因为，所以。
1.17
解：用表示事件“第次取到的是正品”（），则表示事件“第次取到的是次品”（）。
(1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品”的概率为：
。
(2) 事件“第三次才取到次品”的概率为：
（3） 事件“第三次取到次品”的概率为：
此题要注意区分事件（1）、(2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。再例如，设有两个产品，一个为正品，一个为次品。用表示事件“第次取到的是正品”（），
则事件“在第一次取到正品的条件下, 第二次取到次品”的概率为：；而事件“第二次才取到次品”的概率为：。区别是显然的。
1.18。
解：用表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数”。用表示事件“从第二箱中取到的是次品”。则
，，，
根据全概率公式，有：
1.19
解：设表示事件“所用小麦种子为等种子”，
表示事件“种子所结的穗有50 颗以上麦粒”。
则，，，根据全概率公式，有：
1.20
解：用表示色盲，表示男性，则表示女性，由已知条件，显然有：因此：
根据贝叶斯公式，所求概率为：
1.21
解：用表示对试验呈阳性反应，表示癌症患者，则表示非癌症患者，显然有：
因此根据贝叶斯公式，所求概率为：
1.22
(1) 求该批产品的合格率;
(2) 从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 问此件产品由甲、
乙、丙三厂生产的概率各是多少?
解：设，
，则
（1） 根据全概率公式，，该批产品的合格率为0.94.
（2） 根据贝叶斯公式，
同理可以求得，因此，从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为：。
1.23
解：记={目标被击中}，则
1.24
解：记={四次独立试验，事件A 至少发生一次}，={四次独立试验，事件A 一次也不发生}。而，因此。所以
三次独立试验中, 事件A 发生一次的概率为：。
二、第一章定义、定理、公式、公理小结及补充：
（10）加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)
（11）减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Ω时，P()=1- P(B)
（12）条件概率
定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为。
（16）贝叶斯公式
，i=1，2，…n。
此公式即为贝叶斯公式。
第二章 随机变量
2.1
X
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
P
1/36
1/18
1/12
1/9
5/36
1/6
5/36
1/9
1/12
1/18
1/36
2.2解：根据，得，即。
故
2.3解：用X表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7)
用Y表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4)
(1) 两人投中的次数相同
P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=
(2)甲比乙投中的次数多
P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=
2.4解:（1）P{1≤X≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=
(2) P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=
2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}==
（2）P{X≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=
2.6解：(1)设X表示4次独立试验中A发生的次数，则X~B(4,0.4)
(2)设Y表示5次独立试验中A发生的次数，则Y~B(5,0.4)
2.7 （1）X～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)
=
（2）X～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)
2.8解：设应配备m名设备维修人员。又设发生故障的设备数为X，则。
依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99，即，也即
因为n=180较大，p=0.01较小，所以X近似服从参数为的泊松分布。
查泊松分布表，得，当m+1=7时上式成立，得m=6。
故应至少配备6名设备维修人员。
2.9解：一个元件使用1500小时失效的概率为
设5个元件使用1500小时失效的元件数为Y，则。所求的概率为
2.10（1）假设该地区每天的用电量仅有80万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：
（2）假设该地区每天的用电量仅有90万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：
2.11解:要使方程有实根则使
解得K的取值范围为,又随机变量K~U(-2,4)则有实根的概率为
2.12解：X~P(λ)= P()
(1)
（2）
（3）
2.13解：设每人每次打电话的时间为X，X~E(0.5)，则一个人打电话超过10分钟的概率为
又设282人中打电话超过10分钟的人数为Y，则。
因为n=282较大，p较小，所以Y近似服从参数为的泊松分布。
所求的概率为
2.14解：(1)
(2)
2.15解：设车门的最低高度应为a厘米，X~N(170,62)
厘米
2.19解：X的可能取值为1,2,3。
因为； ；
所以X的分布律为
X
1
2
3
P
0.6
0.3
0.1
X的分布函数为
2.20(1)
Y
0
4
0.2
0.7
0.1
(2)
Y
-1
1
0.7
0.3
2.21（1）
当时，
当时，
当时，
X
-1
1
2
P
0.3
0.5
0.2
（2）
Y
1
2
0.8
0.2
2.22
（1）设FY(y)，分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则
对求关于y的导数，得
（2）设FY(y)，分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则
当时，
当时，有
对求关于y的导数，得
（3）设FY(y)，分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则
当时，
当时，
对求关于y的导数，得
2.23 ∵∴
（1）
对求关于y的导数，得到
（2）
，
,
对求关于y的导数，得到
（3）
，
对求关于y的导数，得到
第三章 随机向量
3.1 P{1<X2,3<Y5}=F(2,5)+F(1,3)--F(1,5)—F(2,3)=
3.2
Y
X
1
2
2
0
=
3
=
0
3.4（1）a=
（2）
（3）
3.5解：（1）
（2）
3.6解：
3.7参见课本后面P227的答案
3.8
3.9解：X的边缘概率密度函数为：
①当时，，
②当时，
Y的边缘概率密度函数为：
① 当时，，
② 当时，
3.10 （1）参见课本后面P227的答案
（2）
3.11参见课本后面P228的答案
3.12参见课本后面P228的答案
3.13（1）
对于时，，
所以
对于时，
所以
3.14
X Y
0
2
5
X的边缘分布
1
0.15
0.25
0.35
0.75
3
0.05
0.18
0.02
0.25
Y的边缘分布
0.2
0.43
0.37
1
由表格可知 P{X=1;Y=2}=0.25≠P{X=1}P{Y=2}=0.3225
故
所以X与Y不独立
3.15
X Y
1
2
3
X的边缘分布
1
2
a
b
+a+b
Y的边缘分布
a+
b+
1
由独立的条件则
可以列出方程
解得
3.16 解（1）在3.8中
当， 时，
当或时，当或时，
所以， X与Y之间相互独立。
（2）在3.9中，
当，时，
，所以X与Y之间不相互独立。
3.17解：
故X 与Y相互独立
3.18参见课本后面P228的答案
第四章 数字特征
4.1 解：
∵甲机床生产的零件次品数多于乙机床生产的零件次品数，又∵两台机床的总的产量相同
∴乙机床生产的零件的质量较好。
4.2 解：X的所有可能取值为：3，4，5
4.3参见课本230页参考答案
4.4解：
4.6参考课本230页参考答案
4.7解：设途中遇到红灯次数为X，则
4.8解
500+1000
1500
4.9参见课本后面230页参考答案
4.10参见课本后面231页参考答案
4.11 解:设均值为,方差为,则X~N(,)根据题意有:
,解得t=2即=12
所以成绩在60到84的概率为
4.12
4.13解：
4.14解：
设球的直径为X,则：
4.15参看课本后面231页答案
4.16 解:
4.17解
∵X与Y相互独立，
∴
4.18，4.19，4.20参看课本后面231，232页答案
4.21设X表示10颗骰子出现的点数之和，表示第颗骰子出现的点数，则，且是
独立同分布的，又
所以
4.22参看课本后面232页答案
4.23
4.24
4.25
4.26因为X~N(0,4),Y~U(0,4)所以有Var(X)=4 Var(Y)=
故：Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=4+=
Var(2X-3Y)=4Var(X)+9Var(Y)=
4.27参看课本后面232页答案
4.28
后面4题不作详解
第五章 极限理
5.3
解：用表示每包大米的重量，，则,
5.4解：因为 服从区间[0,10]上的均匀分布，
5.5解：方法1：用表示每个部件的情况，则，,
方法2：用X表示100个部件中正常工作的部件数，则
5.6略
第六章样本与统计
6.1
6.3.1证明:
由=+b可得，对等式两边求和再除以n有
由于
所以由 可得
==
6.3.2因为
所以有
6.2 证明：
6.3（1）
（2）由于
所以有
两边同时除以（n-1）可得 即
6.4 同例6.3.3可知
得 查表可知=1.96 又 根据题意可知n=43
6.5解（1）记这25个电阻的电阻值分别为,它们来自均值为=200欧姆，标准差为=10欧姆的正态分布的样本则根据题意有：
(2)根据题意有
6.6 解：（1）记一个月（30天）中每天的停机时间分别为，它们是来自均值为=4小时，标准差为=0.8小时的总体的样本。根据题意有：
（注：当时，的值趋近于1，相反当时，其值趋近于0）
（2）根据题意有：
6.7证明：因为T ，则，随机变量的密度函数为
显然，则为偶函数，则
6.8 解：记，，则XN(,),n=25故
6.9 解：记这100人的年均收入为，它们是来自均值为万元，标准差为万元的总体的样本，n=100则根据题意有：
（1）
（2）
（3）
6.10 解：根据题意可知此样本是来自均值为，标准差为的总体，样本容量为n=5
（1）依题意有
（2）要求样本的最小值小于10概率，即5个数中至少有一个小于10的概率，首先计算每个样本小于10的概率：
设X是5个样本中小于10的样本个数则X服从二项分布B(5,0.1587)故有
即样本的最小值小于10的概率是0.5785.
（3）同（2）要求样本的最大值大于15的概率，即5个数中至少有一个大于15的概率，首先计算每个样本大于15的概率：
设X是5个样本中大于15的样本个数则X服从二项分布B(5,0.0668)故有
即样本的最大值大于15的概率是0.2923
第七章参数估计
7.1解因为:是抽自二项分布B（m,p）的样本，故都独立同分布所以有
用样本均值代替总体均值，则p的矩估计为
7.2解： 用样本均值代替总体均值，则的矩估计为
由概率密度函数可知联合密度分布函数为：
对它们两边求对数可得
对求导并令其为0得
即可得的似然估计值为
7.3解:记随机变量x服从总体为[0,]上的均匀分布，则
故的矩估计为
X的密度函数为故它的是似然函数为
要使达到最大，首先一点是示性函数的取值应该为1，其次是尽可能大。由于是的单调减函数，所以的取值应该尽可能小，但示性函数为1决定了不能小于,因此给出的最大似然估计
（示性函数I= ，=min{} =max{}）
7.4解:记随机变量x服从总体为[,]上的均匀分布，则
所以的矩估计为
X的密度函数为故它的是似然函数为
要使达到最大，首先一点是示性函数的取值应该为1，其次是尽可能大。由于是的单调减函数，所以的取值应该尽可能小，但示性函数为1决定了不能小于,因此给出的最大似然估计
7.5 解:似然函数为:
它的对数为:
对求偏导并令它等于零有
解得的似然估计值为
7.6解:根据所给的概率密度函数是指数函数的密度函数可知
(1)
故这四个估计都是的无偏估计..
（2）
故有
7.7证明（1）因为X服从[]上的均匀分布，故
故样本均值不是的无偏估计
（2）由（1）可知的矩估计为
又 故它是无偏估计.
7.8解;因为
要使最小则对关于c求一阶导并令其等于零可得
解得
因为对关于c求二阶导可得
故当时达到最小。
7.9 解(1)根据题意和所给的数据可得
,,,,
所以的置信区间为
(2)
即
所以的置信区间为
7.10解:根据所给的数据计算: ,
则X 和Y构成的总体的方差为
所以置信系数的置信区间为
=
=[-0.002,0.006]
7.11 解: 则比例p的区间估计为：
=
7.12 解：根据题意有，
则的置信区间为：
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