第讲函数方程思想与建模.doc

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第 3 讲 函数方程思想与建模（高中版)
（第课时）
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准确记忆！

函数方程思想与建模

重点难点
好好把握！

重点：1．函数的性质；2．函数方程思想；3．构造模型解决纯数学问题；4．构造模型解决现实世界中的实际问题。
难点:构造模型解决现实世界中的实际问题。

考纲要求
注意紧扣！

1．能从题目中收集和处理信息；
2．能把现实世界中的实际问题抽象和简化成数学问题；
3．能综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题。

命题预测
仅供参考！

函数是中学数学的主线内容,综合性极强,它涉及代数的方程、不等式、数列,以及三角甚至几何问题.对函数方程思想的考查往往都是间接和隐蔽的。函数的相关知识几乎全部出现在考题中,增强对生产与生活中的实际问题的考查力度。
近年来高考十分重视对应用问题的考查,题数明显增加，小题向大题转化；紧密联系当前的市场经济和价值规律,应用题的信息来源真实可靠；涉及函数、数列、不等式等高中主要内容，建模思想必将体现在其中.
近年高考试题中应用题的考查情况一览表:

考点热点
一定掌握！

函数思想就是将所研究的问题（包括表面看来的非函数问题）借助建立函数关系式（或构造中间函数），结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、并最终解决.
方程思想就是将数学与实际问题中的数量关系运用数学语言转化为方程或不等式模型加以解决。
实际上函数和多元方程没有什么本质区别,例如函数,就可以看作二元方程 。所以有时还可以实现函数与方程的互相转化，达到解决问题的目的.
要深刻理解一般函数、的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），这是应用函数思想解题的基础。
数学模型：按广义的解释，数学概念、数学公式以及由它们构成的算法系统都称之为数学模型。数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一个近似的反映.数学模型可以是方程、函数或其它数学式子，也可以是一个几何图形。数学建模思想不仅是处理纯数学问题的一种经典方法，而且也是处理各种实际问题的一般数学方法。
数学建模:把现实世界中的实际问题加以抽象和简化,成为数学模型，进而求出模型的解，最后验证模型的合理性（如果不合理，则应该修改假设,重复建模过程）,并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。用数学建模解决问题的基本步骤如右边的流程图。
对于实际应用问题,由于题目文字一般比较多，提供的情景和术语可能比较陌生，陈述的顺序也可能和平时不同，我们必须提高心理承受能力，保持冷静.首先要理解题意，明确问题的实际背景，其次要合理选择变量与参数，最后建立函数、方程或不等式等数学模型，并应用相关知识求解。
对于实际问题,常用的模型有：方程不等式模型、函数模型、数列模型、概率统计模型、几何模型、三角模型。
“建模”没有固定的模式,要想用好它,需要具备敏锐的观察能力、丰富的联想能力和创造性思维能力，故有一定的难度.用好建模思想解题的关键有二：一是要有明确的建模方向,即为什么目的而建模；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合。
一。 利用函数方程思想分析问题
利用函数思想可以对方程、不等式、参数的取值范围、数列的通项与前n项和之类的问题加以分析.
例．关于x的不等式2·32x–3x+a2–a–3＞0 ，当0≤x≤1时恒成立，求实数a的取值范围。
分析：设,则t∈[1，3］，原不等式可化为a2–a–3＞–2t2+t ， t∈［1，3］，它等价于a2–a–3大于f（t）=–2t2+t在［1,3］上的最大值。
解：设 ，∵ 0≤x≤1 ,∴ t∈［1，3］，
原不等式可化为a2–a–3＞–2t2+t ， t∈［1,3］，
设 ，则其图像开口向上，顶点横坐标为 ，
故其在区间［1，3]内的最大值在端点1处取得， ，
解 a2–a–3＞–1 得 （–∞，–1）∪（2,+∞)
点评:本题利用函数思想分析不等式以及求参数的取值范围.

例（1992年高考理科题）．设等差数列｛an｝的前n项和为Sn.已知a3=12,S12〉0，S13〈0。
⑴ 求公差d的取值范围。
指出S1,S2，…,S12中哪一个值最大，并说明理由
分析：对于第⑵问，利用S是n的二次函数，将问题转换为求二次函数的最值问题。
解：⑴ 由a＝a＋2d＝12,得到a＝12－2d，所以
S＝12a＋66d＝12（12－2d)＋66d＝144＋42d〉0，
S＝13a＋78d＝13(12－2d）＋78d＝156＋52d〈0.
解得:－<d<－3.
⑵ S＝na＋n（n1－1)d＝n(12－2d)＋n(n－1)d
＝[n－(5－)]－［(5－)］
因为d<0，故[n－（5－）]最小时，S最大。由－〈d<－3得6〈（5－)〈6。5，故正整数n＝6时［n－(5－)]最小，所以S最大。
点评：数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题。
例．已知二次函数f（x)=ax2+bx（a，b为常数,且a≠0）满足条件:f（x–1）=f(3–x）且方程f(x)=2x有等根。
（1)求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数m，n（m＜n＝，使f(x）定义域和值域分别为[m,n]和［4m,4n]，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由。
解：（1）∵方程ax2+bx=2x有等根，∴Δ=(b–2)2=0,得b=2.
由f(x–1)=f（3–x）知此函数图象的对称轴方程为x=–=1得a=–1，故f（x）=–x2+2x.
（2）f（x）=–(x–1）2+1≤1，∴4n≤1，即n≤
而抛物线y=–x2+2x的对称轴为x=1
∴n≤时,f（x）在[m,n］上为增函数.
若满足题设条件的m,n存在，则

又m＜n≤，∴m=–2，n=0，这时定义域为[–2,0］，值域为[–8，0］.
由以上知满足条件的m、n存在,m=–2，n=0。
二．构造函数、方程或不等式解决问题
一个数学问题，如能建立描述其数量关系的函数表达式、方程（组）或不等式(组），则一般可使问题得到迅速解决。
1．方程不等式模型
方程和不等式是中学阶段重要的解题工具，生产和生活中广泛存在着的一些量之间的相等或不等关系，如投资决策、人口控制、资源保护、生产规划、交通运输等“优选”“控制”问题中涉及到的有关量之间的求解问题，常常可以归结为解方程或解不等式问题。
例.（高三)设是由正数组成的等比数列，是其前n项的和,求证： 。
解：原不等式化为 ，（ ，),因为该不等式与一元二次方程的根的判别式相似，故我们构造方程 ，
要 ，只要方程 有两个不等的实根，
当公比q＝1时，方程为 ，即 ,显然有两不等的实根；
当公比q≠1时，方程为 ，即 ，显然有两不等的实根。
综上所述，原不等式成立.
点评：本题构造方程证明数列不等式。
例.（高一)已知，求的值．
令，则，与已知条件联立，解得，．由，整理得，解得
点评：本题利用方程思想对三角函数求值.
例。（高二）在正三棱锥V—ABC中,已知侧棱VA与侧面VBC所成的角为θ且Cosθ＝,三棱锥的体积为。已知底棱与侧棱之比小于 2，求底面中心O到侧面VBC的距离。
分析：可知，关键是求出正三棱锥的侧棱l与底棱a的长，通过题设的已知条件，寻找出未知量l、a的关系式，列出方程再行求解.
简解：列出方程如下：
C
B
A
V

从而O到侧面VBC的距离为 。
点评：本题列出方程组解决立体几何问题。
例.（高二）设且求的最小值.
解：由 ，得 。
视为未知数，记 由方程 解出 或 （舍）。
故不等式的解为 ,得 。
点评：本题从已知的等式出发构造出一个不等式，再通过解不等式求出所需式子的范围。
例.（高一）在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开,小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5km/h，同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h,在水中游的速度为2km/h.,问此人能否追上小船。若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？
分析：不妨画一个图,将文字语言翻译为图形语言，进而想法建立数学模型.
O
A
B
vt
2(1－k)t
4kt
15°
设船速为v，显然时人是不可能追上小船，当km/h时，人不必在岸上跑,而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑的情况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时,人才能追上小船。设船速为v，人追上船所用时间为t，人在岸上跑的时间为,则人在水中游的时间为，人要追上小船,则人船运动的路线满足如图所示的三角形.
由余弦是理得

即
整理得.
要使上式在（0，1）范围内有实数解，则有且
解得。
故当船速在内时，人船运动路线可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为，由此可见当船速为2.5km/h时, 人可以追上小船.
点评：本题使用方程模型。
例。（高三)某地现有耕地10000公顷,规划10年后，粮食单产比现在增加22%，人均粮食含有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷）

解:欲求耕地平均每年至多减少量，关键决定于人均粮食占有量，所以应该列出关于人均粮食占有量的关系式：现在的人均粮食占有量与10年后人均粮食占有量的关系。
设耕地平均每年至多减少x公顷，又设该地区现在人口为p人，粮食单产为M吨/公顷，依题意，得不等式：

∴按规划，耕地平均每年至多只能减少4公顷。
点评：本题使用不等式模型。本试题以土地资源的变化为背景考查了不等式及二项式定理的有关知识,对计算能力有较高要求，通过该题也对学生进行了适当的国情教育，使其懂得了数学在国民经济建设中的应用价值。
例（2003年高考理科题）．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图）的东偏南）方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?
O
北
东O
y
线
岸
O
x
O
r(t)
P

海
解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向。
台风中心P()的坐标为
此时台风侵袭的区域是
其中若在t时刻城市O受到台风的侵袭,则有
即 ,
即 ，解之得 .
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭。
例（2004年高考理科北京题）．给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L＝1275。现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是:
首先,从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差与所有可能的其他选择相比是最小的,称为第一组余差；
然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为；如此继续构成第三组（余差为)、第四组(余差为）、……，直至第N组（余差为）把这些数全部分完为止。
（I)判断的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数;
（II）当构成第n（n<N）组后，指出余下的每个数与的大小关系，并证明;
（III）对任何满足条件T的有限个正数,证明：.
解：（I）。除第N组外的每组至少含有个数
（II)当第n组形成后,因为，所以还有数没分完，这时余下的每个数必大于余差，余下数之和也大于第n组的余差，即
,
由此可得。
因为，所以.
(III）用反证法证明结论，假设,即第11组形成后，还有数没分完,由(I）和（II）可知，余下的每个数都大于第11组的余差,且，
故余下的每个数 . （*)
因为第11组数中至少含有3个数，所以第11组数之和大于.
此时第11组的余差
这与（*)式中矛盾,所以。
点评：第（II)（III)问的关键在于建立不等式模型。

2．函数模型
函数是中学数学中最重要的一部分内容，现实世界中普遍存在着的最优化问题,常常可归结为函数的最值问题,通过建立相应的目标函数,确定变量的限制条件,运用函数知识和方法去解决.
例.（高一）设，且 ，求的值。
分析：由已知条件中两式结构的相似性，联想到相应函数,则由两式有.又易知是奇函数，则有但在R上是增函数，故有,从而有。
点评：本例构造函数，再巧用奇偶性和单调性，求代数式的值。
例。 设f（x）＝lg，如果当x∈（—∞,1）时f（x）有意义，求实数a的取值范围.
分析：要x∈(-∞，1)时f（x)＝lg有意义，就是要 1＋2＋4a〉0在x∈（—∞，1)上恒成立。
解:由题设可知，不等式1＋2＋4a〉0在x∈（—∞,1)上恒成立，
∵ 4>0 ， ∴ 不等式1＋2＋4a>0 可以化为 ()＋()＋a>0 ，
设t＝（)， 则不等式 （)＋()＋a>0 可以化为 t＋t＋a>0 ，
0.5
y
x
o
又设 g(t）＝t＋t＋a , 则的图像开口向上，其对称轴为t＝－ ,如下图，
由 t＝(） 和 x∈（—∞，1) 可知 t≥，
由g（t）的单调性可知 g(）＝()＋＋a>0,得a>－ ，
所以a的取值范围是a>－.
点评:①本题构造含参二次函数,求参数取值范围；② 本题也可从t≥ 和 a>－t－t 推出 。
例.（高二）求证 .
略证：只要证。
由知是递增的。
又，故有，从而命题得证。
点评:本题构建函数证明不等式。对数列型不等式，传统证法为数学归纳法,本题巧构单调函数(数列)，妙证不等式。这种证法的一般步骤如下：
要证，可构造来证是增函数，且.
或构造来证是增函数，且（其中）。

例(2000年高考理科题）.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内西红柿市场售价与上高时间的关系用图一的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线表示.

⑴ 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式 P＝ f(t) ；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式 Q＝g（t） ；
⑵ 认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元／102kg，时间单位：天）
答案：⑴ ；
⑵ 从2月1日起的第50天时，上市的西红柿纯收益最大。
例. 某国从1830年至1990年人口数据资料如下表，试利用该资料预测该国2020年的人口数.
时间
1830
1840
1850
1860
1870
1880
1890
1900
1910
人口(百万）
3.929
5。308
7。24
9.368
12.866
17。069
23.182
31。443
38.558

时间
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
人口（百万）
50.156
62.948
75.995
91.972
105。711
122。775
131.669
150。697
分析：假设该国政治、社会、经济环境稳定，而且人口数量是时间的连续函数.
首先建立数学模型，以x轴代表年度,y轴代表人口数，建立直角坐标系,描出散点图，观察散点图，可以发现，从1930年以后散点近似分布在一条直线上，而从散点图的整体趋势来看，可以认为散点近似分布在一条抛物线上一部分或近似分布在一条指数曲线上,因此，可以采用直线型拟合,抛物线型拟合和指数曲线型拟合。
（直线型拟合法)从散点图可以看出，1930年以后散点近拟分布在一条直线上，过两点（1940，75。995），（1960,105。711）作直线(y—105。711)／(x—1920）=(105.711—75.995）／（1960—1940）,即y=1.4858x-2747。025。
∴ 当x=2020时，y=194.859×106即2020年该国人口预测为194。859百万人.
（抛物线型拟合法）从散点图的整体趋势看，散点近似分布在一条以直线x=1830为对称轴的抛物线上，则以点(1830，3。929）为顶点，再任意选一点（1930，62.948）所确定抛物线方程为y=0.0059（x-1830)2+3.929
∴ 当x=2020时y=216。919×106即该国人口预测为216.919百万。
（指数曲线法)从散点图的整体趋势来看,还可认为所有散点近似分布在一条指数线上，设指数方程为 y=abx-c 。
∵ 1980、1990这两年离2020年最近，∴ 指数方程化为 y=abx—1940 ,
记Y=lgy，X=x-1980,则Y=Xlgb+lga ，
可用线性回归方法确定参数a，b,若对精确度要求不是很高的情况下，只须用点（1980 ,131.669)，(1990 ，150。697)去确定a,b,容易计算得出a=131.669，b=1。0136。
∴ 指数曲线方程为y=131。669(1.0136）x-1940 ，
∴ 当x=2020时,y=226。02×106 ，即2020年该国人口为226.02百万.
点评：预测问题常使用函数模型，一般求解步骤是：①根据原始数据、表格,绘出散点图；②通过考察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或曲线；③根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数的关系式；④利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.
例. 下表所示为X，Y，Z三种食物的维生素含量及成本

X
Y
Z
维生素A（单位/kg）
400
600
400
维生素B(单位/kg）
800
200
400
成本（元/kg）
6
5
4
欲将三种食物混合,制成100kg的混合物，设所用的食物X，Y，Z的份量依次为x，y，z(kg) ，若混合物至少需要44000单位维生素A及48000单位维生素B，定出x、y、z的值，使成本最低。（高二）
解：、、需要满足的约束条件为 ，即 ,
Y=20
A
2x+y+400=0
2x-y = 40
设混合物成本为，则 ，即 ，
作出可行域如图阴影部分所示，向左平移直线 至点处取得最小值，
解 得 ，
故当 ， ， 时，成本最低。
点评:线性规划问题常使用不等式模型，一般求解步骤是：①根据题意，建立数学模型，作出可行域；②设所求的目标函数f（x，y）为m值；③平移直线f (x，y） = 0 ，使目标函数取得最值。

3．几何模型
现实世界中，诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及一定图形属性的应用问题,常常需要应用几何图形的性质，再用方程、不等式或三角函数知识来求解.
例。 已知、、 ，且 ，求证： .

分析：已知条件 类似于立几教材中的一道题“长方体的一条对角线与各个面所成的角分别是、和，求证 ”的结论，由此引发构造几何模型,即长方体ABCD－A′B′C′D′（如图）
设长方体长、宽、高分别为a，b，c,一条对角线与各个面所成的角分别是α、β、γ，易知

例. 某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处(如图）,其中:AP＝100米,BP＝150米，∠APB＝60°，请问怎样运土才能最省工？
P
60°
0
B
A
M
y
x
分析:“省工”翻译成数学语言就是“到P的距离最近”,
∴ 半圆中的点可分为3类：（1）沿AP到P较近;（2）沿BP到P较近；（3）沿AP，BP到P等距。其中第三类点集是（1）、(2)类点集的交集（分界线).
设M为分界线上的任一点，则 ｜MA|＋|AP｜＝|MB|＋｜BP｜ ,
∴ |MA|－|MB|＝|PB|－|PA｜＝50(定值），
∴ M在以A，B为焦点的双曲线右支上,易得 。以AB为轴，AB中垂线为轴建立直角坐标系，得边界线为双曲线上的一段： (）.
故运土时在双曲线弧左侧的土沿AP运到P处,右侧的土沿BP运到P处最省工。

4．三角模型
例.(高一)已知某海滨浴场的海浪高度y(米）是时间t(0≤t≤24，单位小时)的函数，记作y=f（t）,下表是某日各时的浪高数据
t（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（米）
1.5
1。0
0.5
1。0
1。49
1
0.51
0.99
1。5
经长期观测y=f(t）的曲线可近似地看成函数y=Acosωt+b.
（1）根据以上数据，求出函数y=Acosωt+b的最小正周期T，振幅A及函数表达式;
（2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1）的结论,判断一天内的上午8:00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动.
解:（1）由表中数据,知T=12，ω=。
由t=0，y=1。5得A+b=1。5.
由t=3,y=1。0,得b=1。0.所以，A=0.5,b=1.振幅A=，
∴y=
（2）由题意知,当y〉1时,才可对冲浪者开放.∴〉1, 〉0.∴2kπ–
，即有12k–3〈t<13k+3.
由0≤t≤24,故可令k=0,1，2，得0≤t〈3或9<t〈15或21〈t≤24.
∴在规定时间内有6个小时可供冲浪者运动即上午9：00至下午15：00.
点评:本题使用三角模型。

5．统计模型
例（第4届北京数学应用竞赛题）。燕隼（sun）和红隼是同属于隼形目隼科的鸟类．它们的体形大小如鸽,形略似燕，身体的形态特征比较相似．红隼的体形比燕隼略大．通过抽样测量已知燕隼的平均体长约为31厘米，平均翅长约为27厘米;红隼的平均体长约为35厘米，平均翅长约为25厘米。近日在某地发现了两只形似燕隼或红隼的鸟。经测量，知道这两只鸟的体长和翅长分别为A(32.65厘米，25.2厘米）,B(33.4厘米,26。9厘米）.你能否设计出一种近似的方法,利用这些数据判断这两只鸟是燕隼还是红隼？
解法一:把（31,27），（35，25)，（32．65,25．2）,(31．4，26．9)看作平面直角坐标系中的点。
可以通过这两只鸟体长和翅长所确定的点与燕隼和红隼的平均体长和平均翅长所确定的点之间的距离的大小来判断他们应归属于那一类。设燕隼的平均体长为，平均翅长为 ；红隼的平均体长为，平均超长为.待判鸟的体长x,翅长为y，则它与燕隼和红隼的距离分别为

由此可得判别规则：若则判此鸟为红隼，则判此鸟为燕隼,则表明仅用这些数据无法给出明确的判断.
在问题中有还有
由上面的模型可以得到如下的分析结果：

由于可知鸟A是红隼，可知鸟B是红隼.
（由于等价于，计算中可以不用开方）.
解法二 用体长与翅长的比（体翅比）来进行判别。
不难算出，对于燕隼来说有，对于红隼有，而对于鸟A和鸟B分别有
，和。
于是可以算出
由于，故鸟A为红隼。
由于，故鸟B为燕隼。

6．数列模型
在经济活动中,诸如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年（月)份有关的经济计划、市场预测等这类预测问题，大多可归结为数列问题，即通过建立相应的数列模型来解决。
例. 对于一切大于1的自然数n,求证: 。
分析：本题一般可用数学归纳法证明，也可将结论转化一下,构造数列来证.
证明：作数列｛an｝，使其通项为

∴an＋1＞an，∴当n＞1时，an≥a2＞1，即得 ,
即 。
例。 某人计划年初向银行贷款10万元用于买房．他选择10年期贷款，偿还贷款的方式为：分10次等额归还，每年一次，并从借后次年年初开始归还，若10年期贷款的年利率为4%，且每年利息均按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），问每年应还多少元(精确到1元）？
分析：首先需要明确，如果不考虑其它因素,同等款额的钱在不同时期的价值是不同的，例如现在的10元钱，其价值应该大于1年后的10元钱。因为现在的10元钱，在1年的时间内要产生利息。在此基础上，这个问题，有两种解题途径。
一是如果注意到按照贷款的规定，在贷款全部还清时，10万元贷款的价值，与这个人还款的价值总额应该相等.我们可以考虑把所有的款项都转化到同一时间（即贷款全部付清时）去计算。
二是从另一个角度思考，我们可以分步计算．考虑这个人在每年还款后还欠银行多少钱。
解法一:10万元，在10年后（即贷款全部付清时）的价值为元。
设每年还款x元，则第1次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为;
第2次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为；
……；
第10次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为元。
于是 105×（1+4%)10= x（1+4％）9+x(1＋4%）8＋x（1＋4％）7+…+x ，
由等比数列求和公式可得 ，
其中
所以， 。
解法二：仍然设每年还款x元。
则第一年还款后，欠银行的余额为 元；
如果设第k年还款后,欠银行的余额为元,则 。
不难得出 ＝105×(1+4％)10－x(1+4％)9－x(1＋4％）8－x(1＋4％)7－…－x ，
另一方面,按道理，第10次还款后，这个人已经把贷款全部还清了,故有。
由此布列方程，可得同样的结果。
点评:存、贷款问题为典型的数列应用题,解决问题的关键在于：①分清单利、复利(即等差与等比)；②寻找好的切入点（如本题的两种不同的解题途径）。

7．复数模型
例。 求证： 。(含有复数三角式)
分析：本题类似于二项展开式系数的性质，其符号的正负间隔跳跃又类似于in的周期性变化，故试构造复数 以辅助证明。
证明:∵

又 ，
∴ , ，
得 。

8．排列组合模型

9．二项式模型

10．向量模型

例。 证明:sin5°+sin77°+ sin149°+sin221°+sin293°=0 .
分析：审题时发现这些角都依次相差72°，联想到正五边形的内角关系，由此构造一个正五边形，如图。
由于 ++++ ,从而各个向量在Y轴上的分量之和亦为0，故知原式成立.

11．立几模型

12．解几模型
例. （高一）设函数，已知，时恒有，求a的取值范围。
分析： 把 变形得 ,
令曲线为 ，直线为 ,
故只要求直线L不在半圆C下方时， 直线L 在y轴上的截距的最小值。
当直线与半圆相切时，易求得 或 （舍去），
故当 时，恒有 。
点评：本题构建曲线方程求参数取值范围。

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参考答案
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函数方程思想与建模
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利用函数方程思想分析问题
在方程问题中的应用
√

在不等式问题中的应用
√

在数列问题中的应用

在最值问题中的应用

在求参数取值范围中的应用

构造模型解决问题
1。方程模型

√
√
√

1。不等式模型

√
√

√
2.函数模型

√
√
√
√
√
√

√

3。几何模型

√

4。三角模型

5.统计模型

√

6.数列模型

√
√
√

7.复数模型

8。排列组合模型

9.二项式模型

10.向量模型

11.立几模型

12.解几模型

1．设集合A={x|4x–2x+2+a=0,x∈R｝.
（1）若A中仅有一个元素,求实数a的取值集合B;
（2）若对于任意a∈B，不等式x2–6x＜a(x–2)恒成立,求x的取值范围。
y
x
o
y
x
o
解：(1）令2x=t (t＞0），设f（t）=t2–4t+a ,要A中仅有一个元素，只要f(t）=0在（0，+∞)有且仅有一根或两相等实根，
①f（t）=0在（0，+∞）有两等根时，Δ=016–4a=0a=4
验证：t2–4t+4=0t=2∈（0,+∞），这时x=1
②f（t）=0在（0,+∞)有一根时,如图可知有f（0）＜0a＜0;
或f(0)=0 a=0，此时4x–4·2x=02x=0(舍去），或2x=4，
∴ x=2，即A中只有一个元素,
综上所述，a≤0或a=4,即B=｛a｜a≤0或a=4｝
（2）要使原不等式对任意a∈（–∞，0）∪｛4｝恒成立.即g（a）=（x–2）a–（x2–6x）＞0恒成立。只须
＜x≤2
2．(高一）已知:求证:
略解：由可知、是一元二次方程的两根。而该方程可化为，得两根恰为、，从而
点评：本题构建方程证代数恒等式。
3．（高二）设且 求证: .
解：∵ 其中 ，∴ .
又 ，设 ,则有
可见是一元二次方程的两实根,故
去分母，可得 综上所述，有
点评：本题构建方程证不等式。
4。（高三)若（z－x)－4(x－y）(y－z）＝0 ，求证:x、y、z成等差数列。
分析：观察题设,发现正好是判别式 b－4ac＝0 的形式,因此联想到构造一个一元二次方程进行求解。
证明：当 x＝y 时，可得 x＝z ， ∴ x、y、z成等差数列；
当 x≠y 时，设方程 （x－y）t－（z－x)t＋(y－z）＝0 ，由 △＝0 得 t＝t ，并易知t＝1 是方程的根。
∴ t·t＝＝1 ， 即 2y＝x＋z ， ∴ x、y、z成等差数列 .
综上所述，x、y、z成等差数列。
点评:本题构建方程证明数列问题。
5．（高二）二次函数 （>>） 的图象上存在两点、 , 且 ， 。求证 。
证明:把 变形为 ，
即 或 ，
又 ，∴ ,
∵ 、 应适合 ，
即 , ，
把 ， 代入 得 ，
把 ， 代入 得 ，
即 、 是方程 的两根，
∴ 方程 的判别式 ,
假设 ，∵ 〉> , ∴ ，
又 ，则 ,则 ，
∵ ,∴ 即 ，即 ,即 ，
∵ ,∴ ，但这与 矛盾，∴ 。
点评：本题构造不等式解题。
6。（高二）一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度
d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比。
（1）将此枕木翻转90°(即宽度变为了厚度）,枕木的安全负荷变大吗？为什么？
（2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R）的木材，用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？
a
d
l
解：（1）安全负荷为正常数） 翻转
,安全负荷变大.…4分当 ,安全负荷变小。

（2）如图,设截取的宽为a，高为d，则.
∵枕木长度不变，∴u=ad2最大时，安全负荷最大.

，当且仅当，即取，
取时,u最大， 即安全负荷最大。
点评：本题使用不等式模型。三次函数最值问题一般可用三元均值不等式求解,如果学过导数知识，其解法就更为方便，省去了应用均值不等式时配凑“定和”或“定积”的处理.
7。 已知 、、均为正实数，且 < ，求证： 。
分析：可以构造一个函数，使不等式的两边正好是这个函数的两个函数值，然后再根据函数的单调性来判别大小。
证明：设 () ,则 ， ，
∵ （） ，
∴ 在区间 内单调地减，
∴ ，即 。
点评：本题构建函数证明不等式。

8。 如图，AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上任一点，设∠BAC＝θ，PA＝AB=2r,求异面直线PB和AC的距离.
P

M
A H B
D C
提示：异面直线PB和AC的距离可看成是直线PB上任意一点到AC的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值。
解：在PB上任取一点M,作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H,
设MH＝x，则MH⊥平面ABC,AC⊥HD 。
∴MD＝x＋［（2r－x)sinθ］
＝(sin＋1）x－4rsinθx＋4rsinθ
＝（sinθ＋1）[x－］＋
即当x＝时，MD取最小值为两异面直线的距离。
点评：本题巧在将立体几何中“异面直线的距离”问题转化成“求异面直线上两点之间距离的最小值"的函数问题。
9. (高一）设,且，求。
解：构造函数
令 ，则 是奇函数，且是增函数.
则 得 ,
则有 从而 .
点评:本题构造函数求代数式的值。
10（第1届北京数学应用竞赛题）．某农民承包了100亩(中低产)地，土地租用费50元/年亩，农业税10元/年亩；根据当地气候条件,可以种植小麦、玉米和花生,其种植周期是：10月份（秋天）收玉米后可种冬小麦，第二年6月（夏天)收割小麦，6月份收割小麦后可种玉米，10月份收割玉米，4月份种花生，10月份收割花生,收割花生后可种冬小麦。
　　有关冬小麦、花生、玉米三种作物的收支价格及产量如下表所示．

　　这位农民每年必须完成20000公斤小麦公粮，每年留足全家1000公斤口粮，另外根据市场预测1996年花生种植面积不宜超过20亩，1997年不宜再种花生。
　　试问：这位农民应如何安排从1995年10月秋种至1997年10月秋收的两年生产计划，使他既能完成公粮征购任务，又能留够口粮，并且在100亩土地上取得最大收益?
　　(为了便于计算，不妨假定从1995～1997年内各种价格不变，产量也不变,并且不计承包人自己的工资，假定卖公粮价与卖余粮价相同。）
解：第一步：承包两年土