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数列与探索性新题型的解题技巧

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第四讲 数列与探索性新题型的解题技巧
【命题趋向】
从2007年高考题可见数列题命题有如下趋势：
1。等差（比）数列的基本知识是必考内容,这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有。
2。数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的一个热点。
3。函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到,解答试题时要注意灵活应用。
4.解答题的难度有逐年增大的趋势，还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.
因此复习中应注意：
1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等。
2.运用方程的思想解等差（比）数列,是常见题型,解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节,常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.
3.分类讨论的思想在本章尤为突出。学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等。
4.等价转化是数学复习中常常运用的,数列也不例外.如an与Sn的转化；将一些数列转化成等差(比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳。
5.深刻理解等差（比）数列的定义,能正确使用定义和等差（比)数列的性质是学好本章的关键.
6。解题要善于总结基本数学方法。如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.
7．数列应用题将是命题的热点,这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.
【考点透视】
1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。
2．理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题.
3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.
4．数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。解答题多为中等以上难度的试题,突出考查考生的思维能力,解决问题的能力，试题大多有较好的区分度。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起.探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想,在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想,以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化,常需构造数列模型,将现实问题转化为数学问题来解决。
【例题解析】
考点1 正确理解和运用数列的概念与通项公式
理解数列的概念，正确应用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公式。
典型例题

…
例1．(2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间,某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3,4，…堆最底层（第一层)分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上,第n堆第n层就放一个乒乓球，以f (n)表示第n堆的乒乓球总数，则；（答案用n表示）。
思路启迪：从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是12,3,4, …推测出第n层的球数。
解答过程：显然。
第n堆最低层（第一层）的乒乓球数,，第n堆的乒乓球数总数相当于n堆乒乓球的低层数之和，即 所以：
例2．（2007年湖南卷理）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…,第次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ．
第1行　　　　　 1 1
第2行 1 0 1
第3行 1 1 1 1
第4行 1 0 0 0 1
第5行 1 1 0 0 1 1
…… ………………………………………
思路启迪：计算图形中相应1的数量的特征,然后寻找它们之间的规律.
解:第1次全行的数都为1的是第=1行，第2次全行的数都为1的是第=3行，第3次全行的数都为1的是第=7行，······，第次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是
=32． 应填，32
考点2 数列的递推关系式的理解与应用
在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形 ，转化为常见的类型进行解题。如“逐差法”若且；我们可把各个差列出来进行求和,可得到数列的通项。

再看“逐商法”即且,可把各个商列出来求积。
另外可以变形转化为等差数列与等比数列,利用等差数列与等比数列的性质解决问题.
例3．（2007年北京卷理）
数列中，，（是常数，),且成公比不为的等比数列．
（I）求的值；（II)求的通项公式．
思路启迪:（1)由成公比不为的等比数列列方程求；
（2）可根据递推公式写出数列的前几项,然后分析每一项与该项的序号之间的关系,归纳概括出an与n之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式.
解：(I）,，，因为成等比数列,所以，解得或．
当时，,不符合题意舍去,故．
(II)当时，由于, , ，,
所以．
又，，故．
当时，上式也成立，所以．
小结：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法,在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视。
例4．（2006年广东卷）已知数列满足，，…．若, 则 （ B ）
（Ａ） （Ｂ） ３ （Ｃ） ４ （Ｄ) ５
思路启迪：对递推关系变形,运用叠加法求得，特别注意的是对两边同时运用.
解答过程：, 。
相叠加。
， . , ， ，.
解答过程2：由得：,
，因为。 所以：.
解答过程3：由得：
…………，
从而 ；；……；。
叠加得：.
， 。
， 从而.
小结：数列递推关系是近几年高高数学的热点,主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式。对连续两项递推，可转化为
；对连续三项递推的关系
如果方程有两个根，则上递推关系式可化为
或。
考点3 数列的通项与前n项和之间的关系与应用
与的关系：，数列前n项和和通项是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式时，一定要注意条件，求通项时一定要验证是否适合.解决含与的式子问题时，通常转化为只含或者转化为只的式子.
例5．（2006年辽宁卷） 在等比数列中,，前项和为,若数列也是等比数列，则等于（ ）
(A) (B） (C) （D)
命题目的：本题考查了等比数列的定义和求和公式,着重考查了运算能力。
过程指引因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则

即，所以，故选择答案C。
例6。已知在正项数列{a n｝中，S n表示前n项和且，求a n.
思路启迪：转化为只含或者只含的递推关系式。
解答过程1：由已知，得当n=1时，a1=1;当n≥2时，
a n= S n－S n－1，代入已知有，.
，又，故。
，是以1为首项,1为公差的等差数列, 故。
解答过程2：由已知，得当n=1时,a1=1；当n≥2时
因为，所以. ，
，因为， 所以，所以.
考点4. 数列中与n有关的等式的理解与应用
对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的n换为得到另外的式子。也可以把n取自然数中的具体的数1，2，3…等，得到一些等式归纳证明.
例7．(2006年福建卷）已知数列满足 (n∈N)
（Ⅰ)求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足 (n∈N＊),证明: 是等差数列;
思路启迪：本小题主要考查数列基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。把递推关系式变形转化
解答过程: （I）解：
是以为首项，2为公比的等比数列。 即　
（II）证法一: ,
　　　　① 　 　　②
②－①，得 即 　③
　 ④
　③－④,得　 即　
故是等差数列.
考点5 等差、等比数列的概念与性质的理解与应用
在等差、等比数列中，已知五个元素或，中的任意三个，运用方程的思想,便可求出其余两个，即“知三求二”。本着化多为少的原则，解题时需抓住首项和公差(或公比).另外注意等差、等比数列的性质的运用。例如
（1）等差数列中,若,则;等比数列中，若，则 .
(2)等差数列中，成等差数列。其中是等差数列的前n项和；等比数列中（)，成等比数列。其中是等比数列的前n项和；
(3）在等差数列中，项数n成等差的项也称等差数列.
(4）在等差数列中，； 。
在复习时,要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式。注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用。
典型例题
例8．（2006年江西卷)已知等差数列的前n项和为Sn,若,且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200＝( ）
A．100 B. 101 C.200 D。201
命题目的：考查向量性质、等差数列的性质与前n项和。
过程指引:依题意，a1＋a200＝1,故选A
例9．（2007年安徽卷文、理）
某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加 d(d〉0)， 因此，历年所交纳的储备金数目a1, a2， … 是一个公差为 d 的等差数列。 与此同时,国家给予优惠的计息政府，不仅采用固定利率,而且计算复利。 这就是说,如果固定年利率为r（r〉0），那么, 在第n年末,第一年所交纳的储备金就变为 a1（1+r)n－1,第二年所交纳的储备金就变成 a2（1+r)n－2，……。 以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.
（Ⅰ）写出Tn与Tn－1（n≥2）的递推关系式；
(Ⅱ)求证Tn=An+ Bn，其中{An}是一个等比数列，｛Bn｝是一个等差数列。
命题目的：本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数字模型的能力，考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力.
解：（I）我们有
（II）反复使用上述关系式，得
①
在①式两端同乘1+r,得 ②
②－①，得
2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问题的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．
考点6 等差、等比数列前n项和的理解与应用
等差、等比数列的前n项和公式要深刻理解，等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数.等比数列的前n项和公式（）,因此可以改写为是关于n的指数函数,当时，.
例10．(2007年广东卷理）已知数列的前n项和Sn=n2－9n,第k项满足5<ak<8，则k=
A．9 B．8 C．7 D．6
思路启迪：本题主要考查数列通项和等差数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．
解：此数列为等差数列，，由5〈2k-10<8得到k=8．
例11．（2007年湖北卷文)（本小题满分13分)
已知数列{an｝和｛bn}满足:且{bn｝是以q为公比的等比数列。
（Ⅰ）证明：； （Ⅱ）若证明数列是等比数列;
（Ⅲ)求和：。
命题目的:本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．
解法1：（I）证：由,有， ．
（II）证：，,，
．是首项为5，以为公比的等比数列．
(III）由（II)得，,于是
．
当时，．
当时，．
故
解法2：（I）同解法1（I）．
（II）证：，又，
是首项为5，以为公比的等比数列．
（III）由（II）的类似方法得,，
,．．下同解法1．
考点7 数列与函数的迭代问题
由函数迭代的数列问题是进几年高考综合解答题的热点题目,此类问题将函数与数列知识综合起来,考察函数的性质以及函数问题的研究方法在数列中的应用，涉及的知识点由函数性质、不等式、数列、导数、解析几何的曲线等,另外函数迭代又有极为深刻的理论背景和实际背景，它与当前国际数学主流之一的动力系统（拓扑动力系统、微分动力系统)密切相关,数学家们极为推崇，函数迭代一直出现在各类是数学竞赛试题中,近几年又频频出现在高考数学试题中。
例12．(2006年山东卷）已知数列{｝中，在直线y=x上，其中n=1，2,3….
（Ⅰ)令 (Ⅱ)求数列
(Ⅲ)设的前n项和，是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由。
思路启迪：利用等比的定义证明是等比数列;对可由已知用叠加法求出求。求出与便可顺利求出第三问。
解答过程：（I）由已知得
又
是以为首项，以为公比的等比数列。
（II)由(I）知,
将以上各式相加得：

(III）解法一:存在，使数列是等差数列.

数列是等差数列的充要条件是、是常数即
又。
当且仅当，即时，数列为等差数列.
解法二：存在,使数列是等差数列。
由（I）、(II）知，，。 .
又. .
当且仅当时，数列是等差数列.
(5）
例13（2007年陕西卷理)
已知各项全不为零的数列的前k项和为Sk，且N*），其中
（Ⅰ)求数列的通项公式;
(II）对任意给定的正整数 ，数列满足
.
思路启迪：注意利用解决问题．
解：（Ⅰ）当，由及,得．
当时，由,得．
因为,所以．从而
，．故．
（Ⅱ)因为，所以．
所以
故
考点8 数列综合应用与创新问题
数列与其它数学知识的综合性问题是高考的热点，全面考察数学知识的掌握和运用的情况,以及分析问题解决问题的能力和思维的灵活性、深刻性、技巧性等,涉及的数学思想方法又从一般到特殊和从特殊到一般的思想、函数与方程的思想、探索性思想等。
例14．（2006年湖南卷）在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列321的逆序数。求a4、a5，并写出an的表达式；
命题目的：考查排列、数列知识。
过程导引:由已知得，.
例15．设是定义在上的单调可导函数.已知对于任意正数,都有,且.
(Ⅰ）求,并求的值； (Ⅱ）令,证明数列是等差数列；
(Ⅲ）设是曲线在点处的切线的斜率（），数列的前项和为，求证：。
思路启迪：根据已知条件求出函数的关系式,求出的递推关系式然后可求解题中要求．
解答过程:（Ⅰ）取；再取，
则，或－1（舍去).
(Ⅱ）设,则，再令，
即或，又，则,
由，所以是等差数列。
（3）由(2)得则所以;
又当时，，
则, 故.
例16．（2007年广东卷理）
已知函数，是方程f(x）=0的两个根，是f(x）的导数；设,(n=1，2,……） (1）求的值;
（2）证明：对任意的正整数n,都有>a;
（3）记（n=1，2，……），求数列{bn}的前n项和Sn．
思路启迪：（1）注意应用根与系数关系求的值；(2）注意先求；（3）注意利用的关系．
解：(1）∵,是方程f(x）=0的两个根，∴．
（2)，
=,∵，∴由基本不等式可知(当且仅当时取等号），∴同，样，……，（n=1,2，……)．
（3），而，即,
,同理，，又
．
【专题训练与高考预测】
一。选择题
1。已知｛a｝是等比数列，且a〉0,aa+2 aa+aa=25,那么a+ a的值等于（ )
A。5 B。10 C。15。 D。20
2.在等差数列｛a}中，已知a+a+a+a+a= 20，那么a等于（ ）
A。4 B.5 C.6 D7.
3。等比数列{an}的首项a1=－1，前n项和为Sn，若，则Sn等于（ )
C.2 D。－2
4.已知二次函数y=a（a+1)x2－（2a+1）x+1，当a=1,2，…，n，…时，其抛物线在x轴上截得的线段长依次为d1，d2,…,dn,…,则 (d1+d2+…+dn)的值是( ）
A。1 B。2 C。3 D.4
二.填空题
5.已知a，b,a+b成等差数列,a，b，ab成等比数列，且0〈logm(ab）〈1，则m的取值范围是_________.
6.等差数列{an｝共有2n+1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_________.
7.设zn=()n，（n∈N＊),记Sn=｜z2－z1｜+｜z3－z2｜+…+｜zn+1－zn|，则Sn=_________。
8.作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作新的内接正三角形，在新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去,所有这些圆的周长之和及面积之和分别为_________.
9.从盛满a升酒精的容器里倒出b升,然后再用水加满,再倒出b升,再用水加满;这样倒了n次，则容器中有纯酒精_________升.
10。据2000年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3％，”如果“十·五”期间(2001年～2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为_________亿元.
三、解答题
11。已知：在等比数列｛a}中,S= a+ a+ a+…+ a，若S=5，S=15。求:S的值.
12.项数为奇数的等差数列｛a}中，奇数项之和为80,偶数项之和为75，求此数列的中间项和项数。
13。数列{a}中,前m项（m为奇数）的和为77，其中偶数项之和为33,且a－a=18，求这个数列的通项公式。
14.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12〉0，S13〈0.
(1）求公差d的取值范围； （2)指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大，并说明理由。
15。已知数列{an}为等差数列，公差d≠0,由｛an｝中的部分项组成的数列
a，a,…,a,…为等比数列，其中b1=1,b2=5，b3=17.
(1）求数列｛bn}的通项公式； （2)记Tn=Cb1+Cb2+Cb3+…+Cbn，求。
16。设{an}为等差数列,{bn｝为等比数列，a1=b1=1,a2+a4=b3，b2·b4=a3，分别求出｛an｝及｛bn｝的前n项和S10及T10。
17.设数列｛an}的前n项和为Sn，且Sn=(m+1）－man.对任意正整数n都成立，其中m为常数，且m＜－1。
(1)求证：{an}是等比数列； （2）设数列｛an｝的公比q=f(m），数列{bn}满足:b1=a1,bn=f（bn－1）(n≥2,n∈N*）.试问当m为何值时,成立？
18。已知数列{bn}是等差数列,b1=1，b1+b2+…+b10=145。
(1）求数列｛bn｝的通项bn； （2)设数列｛an｝的通项an=loga（1+）(其中a＞0且a≠1）,记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论。
19。某公司全年的利润为b元,其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下:首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.
(1)设ak（1≤k≤n）为第k位职工所得奖金金额，试求a2,a3,并用k、n和b表示ak(不必证明);
（2）证明ak＞ak+1（k=1,2，…,n－1）,并解释此不等式关于分配原则的实际意义；
(3)发展基金与n和b有关,记为Pn（b),对常数b，当n变化时，求Pn(b).
【参考答案】
一。选择题
1。解法一：因为｛a}是等比数列，设{a｝的公比为q，由a>0知q〉0，
因aa+2 aa+ aa=25，所以，aq aq+2aqaq+aqaq=25,
即[aq（1+ q）]=25， aq（1+ q）=5,得a+ a= aq+aq= aq(1+ q）=5 .
故选择答案A .
解法二：因{a}是等比数列，aa= a，aa= a ,
原式可化为 a+2 aa+ a=25， 即(a+ a）=25。
因 a>0 , a+ a= 5 , 故选择答案A
2. 解法一：因为｛a｝是等差数列,设其首项为a，公差为d，
由已知 a+ a+a+a+a= 20 有 5 a+10d = 20， a+2d = 4, 即 a= 4。故选择答案A。
解法二:因｛a｝是等差数列，所以 a+ a= a+ a=2 a,
由已知 a+a+a+a+a= 20 得5 a= 20， a= 4。 故选择答案A
3。解析:利用等比数列和的性质。依题意，,而a1=－1，故q≠1,
∴,根据等比数列性质知S5，S10－S5，S15－S10,…,也成等比数列，且它的公比为q5，∴q5=－,即q=－. ∴ 故选择答案B。
4。解析:当a=n时y=n（n+1）x2－(2n+1）x+1 由｜x1－x2｜=，得dn=，∴d1+d2+…+dn

故选择答案A。
二、5.解析：解出a、b,解对数不等式即可。故填答案：（－∞，8）
6。解析:利用S奇/S偶=得解。 故填答案:第11项a11=29.

故填答案:1+。
8。解析：由题意所有正三角形的边长构成等比数列{an｝,可得an=，正三角形的内切圆构成等比数列{rn｝，可得rn=a,∴这些圆的周长之和c=2π(r1+r2+…+rn)= a2，
面积之和S=π（n2+r22+…+rn2）= a2 故填答案：周长之和πa,面积之和a2
9。解析：第一次容器中有纯酒精a－b即a（1－）升，第二次有纯酒精a（1－)－，即a(1－）2升，故第n次有纯酒精a（1－）n升. 故填答案：a(1－)n
10。解析：从2001年到2005年每年的国内生产总值构成以95933为首项，以7。3％为公比的等比数列，∴a5=95933(1+7。3%）4≈120000(亿元）。 故填答案：120000.
三、11。 解：因为 {a}为等比数列, 所以 S，S－S，S－S是等比数列.
即 5，15－5,S－15是等比数列,得5（S－15）=10 ， S=35.
12.解:设等差数列｛a｝共有2n－1 项,S=80，S=75，则===，
得 n=16,所以 2n－1=2×16－1=31 即此数列共有31项。
又由｛a}的项数为2n－1，知其中间项是a，故a= S－S=80－75=5， a=5。
13。 解：设等差数列｛a}中，前m项的和为S，其中奇数项之和为S，偶数项之和为S，由题意得S=77,S=33，S= S－S= 44，令m=2n－1则 ==，得n =4,
m=7， a=S－S=11，又a－a=18，得首项为20，公差为－3,故通项公式为a=－3 n+23。
14。(1)解：依题意有： 解之得公差d的取值范围为－＜d＜－3。
（2）解法一：由d＜0可知a1〉a2〉a3>…〉a12>a13,因此，在S1，S2，…，S12中Sk为最大值的条件为：ak≥0且ak+1＜0,即
∵a3=12,∴,∵d＜0,∴2－＜k≤3－. ∵－＜d＜－3，∴＜－＜4，得5.5＜k＜7。
因为k是正整数，所以k=6，即在S1，S2,…，S12中，S6最大。
解法二：由d＜0得a1〉a2>…〉a12>a13，因此，若在1≤k≤12中有自然数k，使得ak≥0,且ak+1＜0,则Sk是S1，S2,…,S12中的最大值。由等差数列性质得，当m、n、p、q∈N＊，且m+n=p+q时，am+an=ap+aq.所以有：2a7=a1+a13=S13＜0,∴a7＜0,a7+a6=a1+a12=S12〉0，∴a6≥－a7>0，故在S1,S2，…，S12中S6最大。
解法三：依题意得：
最小时，Sn最大；
∵－＜d＜－3，∴6＜(5－）＜6.5.从而，在正整数中,
当n=6时,[n－ (5－）]2最小，所以S6最大.
15。解：(1)由题意知a52=a1·a17，即(a1+4d）2=a1（a1+16d)a1d=2d2,
∵d≠0,∴a1=2d,数列｛}的公比q==3,
∴=a1·3n－1 ①
又=a1+(bn－1)d= ②
由①②得a1·3n－1=·a1。∵a1=2d≠0,∴bn=2·3n－1－1。
（2）Tn=Cb1+Cb2+…+Cbn=C （2·30－1)+C·(2·31－1)+…+C（2·3n－1－1)=(C+C·32+…+C·3n)－(C+C+…+C)=［（1+3）n－1]－（2n－1)= ·4n－2n+,
1,3,5

湖南省汉寿县第三中学 艾镇南 第16页/共16页