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第二章 导数与微分
【考试要求】
1．理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数．
2．会求曲线上一点处的切线方程与法线方程．
3．熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法．
4．掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数．
5．理解高阶导数的概念，会求简单函数的阶导数．
6．理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分．
【考试内容】
一、导数
（一）导数的相关概念
1．函数在一点处的导数的定义
设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即
，
也可记作，或．
说明：导数的定义式可取不同的形式，常见的有和 ；式中的即自变量的增量．
2．导函数
上述定义是函数在一点处可导．如果函数在开区间内的每点处都可导，就称函数在区间内可导．这时，对于任一，都对应着的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数就叫做原来函数的导函数，记作，，或．显然，函数在点处的导数就是导函数在点处的函数值，即．
3．单侧导数（即左右导数）
根据函数在点处的导数的定义，导数是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左右极限都存在并且相等，因此存在（即在点处可导）的充分必要条件是左右极限 及 都存在且相等．这两个极限分别称为函数在点处的左导数和右导数，记作和，即，．现在可以说，函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在并且相等．
说明：如果函数在开区间内可导，且及都存在，就说在闭区间上可导．
4．导数的几何意义
函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率，即，其中是切线的倾角．如果在点处的导数为无穷大，这时曲线的割线以垂直于轴的直线为极限位置，即曲线在点处具有垂直于轴的切线．
根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，可得曲线在点处的切线方程和法线方程分别为：
切线方程：；
法线方程：．
5．函数可导性与连续性的关系
如果函数在点处可导，则在点处必连续，但反之不一定成立，即函数在点处连续，它在该点不一定可导．
（二）基本求导法则与导数公式
1．常数和基本初等函数的导数公式
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ；
（7） ； （8） ；
（9） ； （10） ；
（11） ； （12） ；
（13） ； （14） ；
（15） ； （16） ．
2．函数的和、差、积、商的求导法则
设函数，都可导，则
（1） ；
（2）（是常数）；
（3） ；
（4） （）．
3．复合函数的求导法则
设，而且及都可导，则复合函数的导数为 或 ．
（三）高阶导数
1．定义
一般的，函数的导数仍然是的函数．我们把的导数叫做函数的二阶导数，记作或，即或 ．相应地，把的导数叫做函数的一阶导数．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，，一般的，阶导数的导数叫做阶导数，分别记作
，，， 或 ，，， ．
函数具有阶导数，也常说成函数为阶可导．如果函数在点处具有阶导数，那么在点的某一邻域内必定具有一切低于阶的导数．二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数．
（四）隐函数的导数
函数的对应法则由方程所确定，即如果方程确定了一个函数关系，则称是由方程所确定的隐函数形式．隐函数的求导方法主要有以下两种：
1．方程两边对求导，求导时要把看作中间变量．
例如：求由方程所确定的隐函数的导数．
解：方程两边分别对求导， ，
得 ， 从而 ．
2．一元隐函数存在定理 ．
例如：求由方程所确定的隐函数的导数．
解：设 ，
则 ．
（五）由参数方程所确定的函数的导数
一般地，若参数方程 确定是的函数，则称此函数关系所表达的函数为由该参数方程所确定的函数，其导数为 ，上式也可写成 ．
其二阶导函数公式为 ．
（六）幂指函数的导数
一般地，对于形如（，）的函数，通常称为幂指函数．对于幂指函数的导数，通常有以下两种方法：
1．复合函数求导法
将幂指函数利用指数函数和对数函数的性质化为的形式，然后利用复合函数求导法进行求导，最后再把结果中的恢复为的形式．
例如：求幂指函数的导数．
解：因 ，故．
2．对数求导法
对原函数两边取自然对数，然后看成隐函数来求对的导数．
例如：求幂指函数的导数．
解：对幂指函数两边取对数，得 ，该式两边对求导，其中是的函数，得 ，故 ．
二、函数的微分
1．定义：可导函数在点处的微分为 ；可导函数在任意一点处的微分为．
2．可导与可微的关系
函数在点处可微的充分必要条件是在点处可导，即可微必可导，可导必可微．
3．基本初等函数的微分公式
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ；
（7） ； （8） ；
（9） ； （10） ；
（11） ； （12） ；
（13） ； （14） ；
（15） ； （16） ．
4．函数和、差、积、商的微分法则
设函数，都可导，则
（1） ；
（2）（是常数）；
（3） ；
（4） （）．
5．复合函数的微分法则
设及都可导，则复合函数的微分为 ．由于，所以复合函数的微分公式也可写成 或 ．
由此可见，无论是自变量还是中间变量，微分形式保持不变．这一性质称为微分形式的不变性．该性质表明，当变换自变量时，微分形式并不改变．

【典型例题】
【例2-1】以下各题中均假定存在，指出表示什么．
1．．
解：根据导数的定义式，因时，，故
，
即 ．
2．设，其中，且存在．
解：因，且存在，故
，即．
3．．
解：根据导数的定义式，因时，，故

，即 ．
【例2-2】分段函数在分界点处的导数问题．
1．讨论函数 在处的可导性．
解：根据导数的定义式，
，
，
故在处的左导数，右导数不存在，所以在处不可导．
2．讨论函数 在处的可导性．
解：因 ，
故函数在处可导．
3．已知函数 在处连续且可导，求常数和的值．
解：由连续性，因，，
，从而①
再由可导性，，
，而由①可得，代入，得，再由可得，代入①式得．
【例2-3】已知 ，求．
解：当时，，当时，，当时的导数需要用导数的定义来求．
，
，
，故 ，从而 ．
【例2-4】求下列函数的导数．
1．．
解：

．
2．．
解：

．
3．．
解：

．
4．．
解：

．
【例2-5】求下列幂指函数的导数．
1． （）．
解：

．
说明：本题也可采用对数求导法，即：对幂指函数两边取对数，得 ，该式两边对求导，其中是的函数，得
，
故 ．
2． （）．
解：

．
说明：本题也可采用对数求导法，即：对幂指函数两边取对数，得 ，该式两边对求导，其中是的函数，得
，
故 ．
【例2-6】用对数求导法求下列函数的导数．
1． （）．
解：等式两边取对数，得，两边对求导，注意是的函数，得
，整理得 ，
则 ．
2． ．
解：等式两边取对数，得 ，
即 ，
也即 ，
两边对求导，注意是的函数，得 ，
故 ．
【例2-7】求下列抽象函数的导数．
1．已知函数可导，求函数的导数．
解：
．
2．设函数和可导，且，试求函数的导数．
解：
．
【例2-8】求由下列方程所确定的隐函数的导数．
1．．
解：方程两边分别对求导，得 ，
整理得 ，故 ．
说明：此题也可用隐函数存在定理来求解，即：设，
则 ．
2．．
解：方程两边分别对求导，得 ，
整理的 ，故 ．
说明：此题也可用隐函数存在定理来求解，即：设，
则 ．
【例2-9】求由下列参数方程所确定的函数的导数．
1． ．
解： ．
2． ．
解： ．
【例2-10】求下列函数的微分．
1．．
解：因 ，
故 ．
2．．
解：因 ，
故 ．
3．．
解：因 ，
故 ．
4．．
解：因，
故 ．
【例2-11】求曲线在点处的切线方程和法线方程．
解：，，故曲线在点处的切线方程为，即 ；法线方程为 即 ．
【例2-12】求曲线在点处的切线方程和法线方程．
解：这是由隐函数所确定的曲线，按隐函数求导数，有 ，即 ；由导数的几何意义，曲线在点处的斜率为 ，故曲线在点处的切线方程为 ，即 ；法线方程为 ，即 ．
【例2-13】求椭圆在点处的切线方程和法线方程．
解：将代入椭圆方程，得曲线上对应的点为，又，切线斜率为 ，故所求切线方程为 ，即 ；所求法线方程为 ，即 ．

【历年真题】
一、选择题
1．（2010年，1分）已知，则等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
解：根据导数的定义，
，选（D）．
2．（2010年，1分）曲线在点处的法线方程为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
解：根据导数的几何意义，切线的斜率，故法线方程为
，即 ，选（B）．
3．（2010年，1分）设函数在点处不连续，则（ ）
（A）存在 （B）不存在
（C）必存在 （D）在点处可微
解：根据“可导必连续”，则“不连续一定不可导”，选项（B）正确．
4．（2009年，1分）若，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
解：

，选项（B）正确．
5．（2008年，3分）函数，在点处（ ）
（A）可导 （B）间断 （C）连续不可导 （D）连续可导
解：由的图象可知，在点处连续但不可导，选项（C）正确．
说明：的连续性和可导性，也可根据连续和导数的定义推得．
6．（2008年，3分）设在处可导，且，则不等于（ ）
（A） （B）
（C） （D）
解：根据导数的定义，选项（C）符合题意．
7．（2007年，3分）下列选项中可作为函数在点处的导数定义的选项是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
解：选项（A），选项（C），
选项（D），故选（B）．
8．（2007年，3分）若可导，且，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
解：因，故选项（B）正确．
9．（2006年，2分）设，为可导函数，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
解：，选（B）．
10．（2005年，3分）设，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
解：当时，中除项外，其他全为零，故
，选项（A）正确．
11．（2005年，3分）设，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
解：由可得，，，，
，，对比可知，选项（C）正确．
12．（2005年，3分）（ ）
（A） （B） （C） （D）
解：，选项（D）正确．
二、填空题
1．（2010年，2分）若曲线在点处的切线平行于直线，则 ．
解：切线与直线平行，则切线的斜率与直线的斜率相等，故．
2．（2010年，2分）设，则 ．
解：．
3．（2008年，4分）曲线在点的切线的斜率等于 ．
解：由导数的几何意义可知，切线斜率．
4．（2008年，4分）由参数方程 确定的 ．
解：．
5．（2006年，2分）曲线在点处的切线方程是 ．
解：切线的斜率，故切线方程为，即 ．
6．（2006年，2分）函数不可导点的个数是 ．
解： ，显然，当时，可导；
当时，，
，故 ．
故函数的不可导点的个数为．
7．（2006年，2分）设，则 ．
解：因
，故 ．
三、计算题
1．（2010年，5分）设函数由方程所确定，求．
解：方程两边对求导，考虑到是的函数，得
，整理得 ，
故 ．当时，代入原方程可得，所以
．
说明：当得到后，也可直接将，代入，得
，故 ．
2．（2010年，5分）求函数（）的导数．
解：
．
3．（2009年，5分）设，求．
解：因 ，故
．
4．（2006年，4分）设可导，且，求．
解：
．
5．（2005年，5分）已知 ．
（1）在处连续，求；
（2）求．
解：（1）因 ，故由在处连续可得，，即 ．
（2）当时，；
当时，
．
故 ．
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