2015年深圳一模理科数学试题答案及评分标准-(纯word版).doc

(完整版)2015年深圳一模理科数学试题答案及评分标准-(纯word版)2015年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试题一、 选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合,集合,则（ ）A。 B。 C. D。Oxy图11-12、已知复数满足（其中为虚数单位）,则（ )A。 B。 C。 D.3、若函数的部分图象如图1所示，则A。 B。 C。 D。4、已知实数满足不等式组，则的最大值为（ ）A。3 B.4 C.6 D。95、 已知直线，平面，且，则“是“”的（ )A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C。充要条件 D.既不充分也不必要条件图26、执行如图2所示的程序框图，则输出S的值为（ ）A。 16 B。25 C。36 D.497、在中，分别为所对的边，若函数有极值点，则的范围是（ ）A. B. C。 D.8、如果自然数的各位数字之和等于8,我们称为“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列,若，则( ）A. 83 B。82 C。39 D.37二、 填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。本大题分为必做题和选做题两部分（一） 必做题:第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生必须做答。9、 的展开式中常数项为 .（用数字表示)10、 已知向量，若，则的最小值为 11、 已知圆C：经过抛物线E:的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得弦长为 13、 设P是函数图象上的动点，则点P到直线的距离的最小值为 （二） 选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分。图314、 （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,曲线：与曲线相交于A，B两点,则AB| 15、 （几何证明选讲选做题)如图3，在中，,D是AB边上的一点，以BD为直径的与AC相切于点E。若BC6，则DE的长为 三、解答题16、（本小题满分12分)函数(）的最小正周期是 （1）求的值； (2）若,且,求的值17、（本小题满分12分)空气质量指数(简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数,其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站下表是某网站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据： 城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值广州118东莞137中山95江门78云浮76茂名107揭阳80深圳94珠海95湛江75潮州94河源124肇庆48清远47佛山160惠州113汕头88汕尾74阳江112韶关68梅州84(1）请根据上表中的数据，完成下列表格：空气质量优质良好轻度污染中度污染AQI值范围0，50）50，100)100，150）150,200)城市个数 （2)统计部门从空气质量“良好和“轻度污染的两类城市中采用分层抽样的方式抽取个城市,省环保部门再从中随机选取个城市组织专家进行调研,记省环保部门“选到空气质量“良好的城市个数为，求的分布列和数学期望18、（本小题满分14分)在三棱锥中,已知平面平面,是底面最长的边三棱锥的三视图如图5所示,其中侧视图和俯视图均为直角三角形（1）请在图6中,用斜二测画法，把三棱锥的直观图补充完整(其中点 在平面内）,并指出三棱锥的哪些面是直角三角形；（2）求二面角的正切值；侧视图正视图图5俯视图z图6OPyx（3）求点到面的距离19、（本小题满分14分）已知首项大于的等差数列的公差，且（1）求数列的通项公式；(2)若数列满足：，其中求数列的通项；是否存在实数,使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在,请说明理由20、（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，过左焦点倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为（1）求椭圆的方程;（2）若动直线与椭圆有且只有一个公共点，过点作的垂线垂足为，求点的轨迹方程21、（本小题满分14分）已知定义在上的奇函数满足：当时，(1）求的解析式和值域；（2）设，其中常数试指出函数的零点个数；若当是函数的一个零点时，相应的常数记为，其中证明:（）2015年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数一、选择题：本大题每小题5分,满分40分12345678CDACBCDA二、填空题:本大题每小题5分，满分30分9 ； 10 ； 11； 12；13； 14； 15 三、解答题16解：（1）的周期，即， 1分， 由，得，即 3分 5分（2）由得， 7分 又， 8分 ， 9分 12分【说明】 本小题主要考查了三角函数的图象与性质,同角三角函数的关系式，诱导公式,两角和与差和二倍角的三角函数公式，考查了简单的数学运算能力17、解：（1）根据数据，完成表格如下：空气质量优质良好轻度污染中度污染AQI值范围0，50）50，100）100，150）150，200)城市频数21261 2分 (2）按分层抽样的方法， 从“良好”类城市中抽取个， 3分 从“轻度污染类城市中抽取个, 4分 所以抽出的“良好类城市为个，抽出的“轻度污染类城市为个 根据题意的所有可能取值为：， ,8分的分布列为:所以 11分答:的数学期望为个 12分【说明】本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力Az图1O(B)PyCx18、解：（1）三棱锥直观图如图1所示;由三视图知和是直角三角形 3分（2)（法一）：如图2，过作交于点，由三视图知为等腰三角形，, ，取的中点,过作且交于点，连接,EFHAz图2O(B)PyCx因为，由三视图知面,且面,所以，又由，所以面，由面，所以，所以面，由面，所以，所以是二面角的平面角6分， 8分在直角中，有所以,二面角的正切值为 9分(法二）：如图3，过作交于点，由三视图知为等腰三角形,HAz图3O(B)PyCx,，由图3所示的坐标系，及三视图中的数据得：，则，,， ,设平面、平面的法向量分别为、设，由,，得，令, 得，,即 6分设，由，,得，令, 得，即 7分，8分而二面角的大小为锐角，所以二面角的正切值为9分（3） （法一）:记到面的距离为,由(1）、（2）知, ， 12分三棱锥的体积, 13分由，可得： 14分(法二）：由（2)知，平面的法向量，记到面的距离为， 14分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，三视图及几何体的直观图，二面角，三棱锥的体积，空间坐标系等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力19、解:(1）（法一)：数列的首项，公差， 2分， 3分整理得解得或（舍去） 4分因此,数列的通项 5分（法二）：由题意得， 1分数列是等差数列，, 2分，即 3分又,，解得或（舍去） 4分因此，数列的通项 5分（2）, 6分令,则有，当时， 8分因此，数列的通项 9分，,， 10分若数列为等比数列，则有，即，解得或 11分当时，不是常数，数列不是等比数列,当时，,数列为等比数列所以，存在实数使得数列为等比数列 14分【说明】考查了等差数列的基本量的计算、递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、等比数列的定义，考查了学生的运算能力,以及化归与转化的思想20、解：（1）因为椭圆的离心率为，所以，解得, 故椭圆的方程可设为，则椭圆的右焦点坐标为， 过右焦点倾斜角为的直线方程为 2分设直线与椭圆的交点记为，由消去，得，解得， 因为，解得 故椭圆的方程为 4分（2）（法一)(i）当切线的斜率存在且不为时，设的方程为，联立直线和椭圆的方程,得， 5分消去并整理，得， 6分因为直线和椭圆有且仅有一个交点， 7分化简并整理，得 8分因为直线与垂直，所以直线的方程为:,联立 解得 9分，把代入上式得 11分（ii)当切线的斜率为时,此时，符合式 12分（iii）当切线的斜率不存在时，此时 或，符合式 13分综上所述，点的轨迹方程为 14分（法二）：设点的坐标为，（i）当切线的斜率存在且不为时,设的方程为，同解法一，得， 8分因为直线与垂直,所以直线的方程为:，联立 解得 9分代入并整理，有，10分即，由点与点不重合， ,， 11分（ii)当切线的斜率为时，此时，符合式 12分（iii）当切线的斜率不存在时，此时 或，符合式 13分综上所述，点的轨迹方程为 14分（法三）：设点的坐标为,(i）当切线的斜率存在且不为时,设的方程为，整理，得的方程为，5分联立直线和椭圆的方程,得， 消去并整理,得， 6分因为直线和椭圆有且仅有一个交点，, 7分化简并整理，得, 8分因为与直线垂直，有， 9分代入并整理，有，10分即，点与点不重合， ，, 11分（ii）当切线的斜率为时，此时，符合式 12分（iii）当切线的斜率不存在时,此时 或，符合式 13分综上所述，点的轨迹方程为 14分【说明】本题主要考查轨迹方程和椭圆的定义、直线方程、直线与椭圆相切的位置关系，弦长问题，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想21、解：（1）为奇函数,当时，,则， 2分时，,， 的值域为 3分图a（2）函数的图象如图所示，当时，方程有三个实根；当或时，方程只有一个实根；当或时，方程有两个实根（法一）：由，解得， 的值域为，只需研究函数在上的图象特征设，,令，得，图b当时，当时，又，即，由，,得,的大致图象如图所示根据图象可知,当时，直线与函数的图像仅有一个交点，则函数在上仅有一个零点，记零点为，则分别在区间、上，根据图像,方程有两个交点，因此函数有两个零点 5分类似地，当时，函数在上仅有零点，因此函数有、这三个零点 6分当时,函数在上有两个零点，一个零点是,另一个零点在内,因此函数有三个零点 7分当时，函数在上有两个零点，且这两个零点均在内，因此函数有四个零点 8分当时，函数在上没有零点,因此函数没有零点 9分（法二)： ,令，得， ,当时，当时,当时,取得极大值 图c()当的极大值,即时,函数在区间上无零点，因此函数无零点 （)当的极大值，即时，函数的图像如图所示，函数有零点由图可知方程有两不等的实根，因此函数有两个零点图d（）当的极大值且,即时，在上单调递增，因为，函数的图像如图所示,函数在存在唯一零点,其中图e由图可知方程有两不等的实根,因此函数有两个零点（）当的极大值且,即时：由，得，由，得，图f根据法一中的证明有 （）当时,，,函数的图像如图所示，函数在区间有唯一零点，其中由图可知方程有两不等的实根，因此函数有两个零点（）当时,，,函数的图像如图所示，函数在区间有唯一零点图g由图可知方程有三个不等的实根，因此函数有三个零点(）当时，函数的图像如图所示，函数在区间有唯一零点，其中由图可知方程有两个不等的实根，因此函数有两个零点 (）当时，,，图h函数的图像如图所示，函数在区间有两个零点，分别是和,其中由图可知方程有一个实根，方程 有两个非的不等实根,因此函数有三个零点 （）当时,，函数的图像如图所示，函数在区间有两个零点、，其中图i由图可知方程、都有两个不等的实根，且这四个根互不相等,因此函数有四个零点 综上可得： 当时,函数有两个零点；5分当、时,函数有三个零点; 7分 当时，函数有四个零点； 8分当时，函数无零点 9分因为是函数的一个零点，所以有， 10分记，当时， 当时,，即故有，则 11分当时，；当时,（法一）:， 13分 综上，有， 14分（法二）：当时,;当时， 13分 综上，有， 14分【说明】本题主要考查函数的性质、分段函数、导数应用、一元二次方程的求解、连续函数的零点存在性定理，放缩法证明数列不等式，考查学生数形结合、分类讨论的数学思想，以及计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识第 14 页 共 13页