高三复习考试平面向量教案.doc

平面向量
第1课时 向量的概念与几何运算
基础过关

1．向量的有关概念
⑴ 既有 又有 的量叫向量．
的向量叫零向量． 的向量，叫单位向量．
⑵ 叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量 ．
⑶ 且 的向量叫相等向量．
2．向量的加法与减法
⑴ 求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按 法则或 法则进行．加法满足 律和 律．
⑵ 求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的 重合，连结两向量的 ，方向指向 ．
3．实数与向量的积
⑴ 实数与向量的积是一个向量，记作．它的长度与方向规定如下：
① | |＝ ．
② 当＞0时，的方向与的方向 ；
当＜0时，的方向与的方向 ；
当＝0时， ．
⑵ (μ)＝ ．
(＋μ)＝ ．
(＋)＝ ．
⑶ 共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得 ．
4．⑴ 平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使得 ．
⑵ 设、是一组基底，＝，＝，则与共线的充要条件是 ．
典型例题

题型一：平面向量的概念
例1.出下列命题：①若，则； ②若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件； ③若，则； ④的充要条件是且∥； ⑤若∥，∥，则∥。 其中，正确命题的序号是____________
答案：②③。
题型二：向量的基本运算
例2．已知△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点．设，，求．
解：＝－＝(＋)－＝－＋
变式训练1.如图所示，D是△ABC边AB上的中点，则向量等于（ ）
A
D
B
C
A．－＋
B．－－
C．－
D．＋ 解:A
例3. 已知向量，，，其中、不共线，求实数、，使．
解:＝λ＋μ2－9＝(2λ＋2μ)＋(－3λ＋3μ)2λ＋2μ＝2，且－3λ＋3μ＝－9λ＝2，且μ＝－1
变式训练2：已知平行四边形ABCD的对角线相交于O点，点P为平面上任意一点，求证：
证明 ＋＝2，＋＝2＋＋＋＝4
例4. 已知ABCD是一个梯形，AB、CD是梯形的两底边，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若，，试用、表示和．
解：连NC，则；
B
O
A
D
C
N
M
变式训练3：如图所示，OADB是以向量＝，＝为邻边的平行四边形，又＝，＝，试用、表示，，．
解:＝＋，＝＋，
＝－
题型三：共线向量定理、平面向量基本定理及应用
例5. 设，是两个不共线向量，若与起点相同，t∈R，t为何值时，，t，(＋)三向量的终点在一条直线上？
解：设 (∈R)化简整理得：
∵，∴
故时，三向量的向量的终点在一直线上．
变式训练4：已知，设，如果
，那么为何值时，三点在一条直线上？
解：由题设知，，三点在一条
直线上的充要条件是存在实数，使得，即，
整理得.
①若共线，则可为任意实数；
②若不共线，则有，解之得，.
小结归纳
综上，共线时，则可为任意实数；不共线时，.

1．认识向量的几何特性．对于向量问题一定要结合图形进行研究．向量方法可以解决几何中的证明．
2．注意与O的区别．零向量与任一向量平行．
3．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明AB∥CD，需证∥，且AB与CD不共线．要证A、B、C三点共线，则证∥即可．
4．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点．
第2课时 平面向量的坐标运算
基础过关

1．平面向量的坐标表示
分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数x、y，使得＝x＋y．我们把(x、y)叫做向量的直角坐标，记作 ．并且||＝ ．
2．向量的坐标表示与起点为 的向量是一一对应的关系．
3．平面向量的坐标运算：
若＝(x1、y1)，＝(x2、y2)，λ∈R，则：
＋＝
－＝
λ＝
已知A(x1、y1)，B(x2、y2)，则＝ ．
4．两个向量＝(x1、y1)和＝(x2、y2)共线的充要条件是 ．
典型例题

题型一：平面向量的坐标运算
例1.已知点A（2，3），B（－1，5），且＝，求点C的坐标．
解＝＝(－1，)，＝＝(1, )，即C(1, )
变式训练1.若，，则= .
解: 提示：
例2. 已知向量＝(cos，sin)，＝(cos，sin)，|－|＝，求cos(α－β)的值．
解:|－|＝＝cos＝cos(α－β)＝
变式训练2.已知－2＝(－3，1)，2＋＝(－1，2)，求＋．
解 ＝(－1，1)，＝(1，0)，∴＋＝(0，1)
题型二：共线向量的坐标运算
例3. 已知向量＝(1, 2)，＝(x, 1)，＝＋2，＝2－，且∥，求x．
解:＝(1＋2x，4)，＝(2－x，3)，∥3(1＋2x)＝4(2－x)x＝
变式训练3.设＝(ksinθ, 1)，＝(2－cosθ, 1) (0 <θ<π)，∥，求证：k≥．
证明: k＝ ∴k－＝≥0 ∴k≥
A
M
B
C
D
P
例4. 在平行四边形ABCD中，A(1，1)，＝(6，0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P．
(1) 若＝(3，5)，求点C的坐标；
(2) 当||＝||时，求点P的轨迹．
解：(1)设点C的坐标为(x0，y0)，

得x0＝10 y0＝6 即点C(10，6)
(2) ∵ ∴点D的轨迹为(x－1)2＋(y－1)2＝36 (y≠1)
∵M为AB的中点 ∴P分的比为
设P(x，y)，由B(7，1) 则D(3x－14，3y－2)
∴点P的轨迹方程为
变式训练4.在直角坐标系x、y中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上，且||＝2，求的坐标．
解 已知A (0，1)，B (－3，4) 设C (0，5)，
D (－3，9)
则四边形OBDC为菱形 ∴∠AOB的角平分线是菱形OBDC的对角线OD
∵
∴
小结归纳

1．认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．
2．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算．
第3课时 平面向量的数量积
基础过关

1．两个向量的夹角：已知两个非零向量和，过O点作＝，＝，则∠AOB＝θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量与的 ．当θ＝0°时，与 ；当θ＝180°时，与 ；如果与的夹角是90°，我们说与垂直，记作 ．
2．两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量 叫做与的数量积（或内积），记作·，即·＝ ．规定零向量与任一向量的数量积为0．若＝(x1, y1)，＝(x2, y2)，则·＝ ．
3．向量的数量积的几何意义：
||cosθ叫做向量在方向上的投影 (θ是向量与的夹角)．
·的几何意义是，数量·等于 ．
4．向量数量积的性质：设、都是非零向量，是单位向量，θ是与的夹角．
⑴ ·＝·＝
⑵ ⊥
⑶ 当与同向时，·＝ ；当与反向时，·＝ ．
⑷ cosθ＝ ．
⑸ |·|≤
5．向量数量积的运算律：
⑴ ·＝ ；
⑵ (λ)·＝ ＝·(λ)
⑶ (＋)·＝
典型例题

题型一：平面向量数量积的运算
例1. 已知||＝4，||＝5，且与的夹角为60°，求：(2＋3)·(3－2)．
解:(2＋3)(3－2)＝－4
变式训练1.已知||＝3，||＝4，|＋|＝5，求|2－3|的值．
解:
题型二：平面向量的数量积解决夹角问题
例2. 已知向量＝(sin，1)，＝(1，cos)，－．
(1) 若a⊥b，求；
(2) 求|＋|的最大值．
解：(1)若，则
即 而，所以
(2)
当时，的最大值为
题型三：平面向量的数量积解决垂直问题
例3：已知，，其中．
(1)求证： 与互相垂直；
(2)若与的长度相等，求的值(为非零的常数)．
证明：
与互相垂直
（2）,
,
,,
而
，
题型四：平面向量的数量积解决三角形的形状的问题
例4. 已知O是△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，判断△ABC是哪类三角形．
解:设BC的中点为D，则()()＝02·＝0BC⊥AD△ABC是等腰三角形
变式训练3：若，则△ABC的形状是 .
解: 直角三角形.提示：
例4. 已知向量＝(cosθ, sinθ)和＝(－sinθ, cosθ) θ∈(π, 2π)且||＝，求cos()的值.
解:＝(cosθ－sinθ＋, cosθ＋sinθ)由已知(cosθ－sinθ＋)2＋(cosθ＋sinθ)2＝
化简：cos
又cos2
∵θ∈(π, 2π) ∴cos<0
∴cos＝－
变式训练4.平面向量，若存在不同时为的实数和，使,且，试求函数关系式.
解：由得

小结归纳

1．运用向量的数量积可以解决有关长度、角度等问题．因此充分挖掘题目所包含的几何意义，往往能得出巧妙的解法．
2．注意·与ab的区别．·＝0≠＞＝，或＝．
3．应根据定义找两个向量的夹角。对于不共起点的两个向量，通过平移，使起点重合．
第4课时 线段的定比分点和平移
基础过关

1． 设P1P2是直线L上的两点，点P是L上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数λ使＝λ，λ叫做 ．
2．设P1（x1、y1），P2（x2、y2），点P（x、y）分的比是λ时，定比分点坐标公式为：
，中点坐标公式： 。
3． 平移公式：将点P（x、y）按向量＝（h、k）平移得到点P'（x'，y'），则 ．
典型例题

题型一：定比分点坐标公式的应用
例1. 已知点A(－1, －4)，B(5, 2)，线段AB上的三等分点依次为P1、P2，求P1、P2的坐标及A、B分所成的比.
解 ⑴ P1(x－2) P2(3, 0) (2) －, －2
变式训练1.设|AB|＝5，点p在直线AB上，且|PA|＝1，则p分所成的比为 ．
解:
题型二：平移公式的应用
例2. 将函数y＝2sin（2x＋）＋3的图象C进行平移后得到图象C'，使C上面的一点P（、2）移至点P'（、1），求图像C'对应的函数解析式．
解: C'：y＝2sin(2x＋)＋2
变式训练2：若直线2x－y＋c＝0按向量＝(1, －1)平移后与圆x2＋y2＝5相切，则c的值为 （ ）
A．8或－2 B．6或－4
C．4或－6 D．2或－8
解: A
例3. 设＝(sinx－1, cosx－1)，，f (x)＝，且函数y＝f (x)的图象是由y＝sinx的图象按向量平移而得，求.
解:＝(－) (k∈z)
变式训练3：将y＝sin2x的图象向右按作最小的平移，使得平移后的图象在[kπ＋, kπ＋π] (k∈Z)上递减，则＝ ．
解:(，0)
例4. 已知△ABC的顶点A(0、0)，B(4、8)，C(6、－4)，点M内分所成的比为3，N是AC边上的一点，且△AMN的面积等于△ABC的面积的一半，求N点的坐标．
解:由＝
得
∴ N(4，－)
变式训练4.已知△ABC的三个顶点为A（1，2），B（4，1），C（3，4）．
(1)求AB边上的中线CM的长及重心G的坐标；
(2)在AB上取一点P，使过P且平行于BC的直线PQ把△ABC的面积分成4︰5两部分（三角形面积：四边形面积），求点P的坐标
解:
小结归纳

1．在运用线段定比分点公式时，首先要确定有向线段的起点、终点和分点，再结合图形确定分比．
2．平移公式反映了平移前的点P(x、y)和平移后的点P'(x'、y')，及向量＝(h，k)三者之间的关系．它的本质是＝．平移公式与图象变换法则，既有区别又有联系，应防止混淆．
第5课时 解斜三角形
★ 知 识 梳理 ★
1． 内角和定理：
在中，；；

2． 面积公式: =
3．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.
形式一： (解三角形的重要工具)
形式二： (边角转化的重要工具)

4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..
形式一： (解三角形的重要工具)
形式二： ； ； cosC=
.5关于三角形面积问题
①=aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③＝2R2sinAsinBsinC.（R为外接圆半径）
④＝；
⑤＝,；
⑥＝·,( r为△ABC内切圆的半径)
考点1: 运用正、余弦定理求角或边
题型1.求三角形中的某些元素
[例1] (2008年广州市海珠区高三上期综练二)已知：A、B、C是的内角，分别是其对边长，向量，，.
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若求的长.
解析:(Ⅰ) =……1分
=……2分
∵ ……4分
……6分
∵……7分 .……8分
(Ⅱ)在中，， ，
……9分 由正弦定理知：……10分
=. ……12分
【名师指引】已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，要注意解可能有多种情况
【新题导练】
1.在△ABC中，a＝1，b＝，B＝60°，求c.
解析：由余弦定理得 ()2＝12＋c2－2ccos60°，
∴c2－c－6＝0，
解得c1＝3，c2＝－2(舍去).∴c＝3.
2．若在△ABC中，求△ABC外接圆的半径R.
解析:

题型2判断三角形形状
[例3]在△ABC中，bcosA＝cosB，试判断三角形的形状.
【解题思路】判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：（1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；（2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理
[解析]：方法1：利用余弦定理将角化为边.
∵bcosA＝cosB ∴ ∴ ∴ ∴
故此三角形是等腰三角形.
方法2：利用正弦定理将边转化为角.
∵bcosA＝cosB 又b＝2RsinB，＝2RsinA ∴2RsinBcosA＝2RsinAcosB ∴sinAcosB－cosAsinB＝0
∴sin（A－B）＝0 ∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π ∴A－B＝0，即A＝B故三角形是等腰三角形.
【名师指引】判断三角形形状时一般从角入手，利用三角形内角和定理，实施关于三角形内角的一些变形公式.
【新题导练】
3.在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ）
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
解析：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC， ∴sin（A－B）＝0，∴A＝B
4. 在△ABC中，若＝，则△ABC的形状是.( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等边三角形
解析：由已知＝及正弦定理得＝ ∴sin2A=sin2B ∴2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.选C
考点2: 三角形中的三角变换
题型:利用正、余弦定理和三角函数的恒等变换,进行边角互换,结合三角函数的图象与性质进行化简求值.
例1（08重庆） 设的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=，c=3b.求：
（Ⅰ）的值；
解析：（Ⅰ）由余弦定理得＝ 故
【新题导练】
5．三角形的三内角所对边的长分别为，设向量，
, 若,求角B的大小；
解析:∵， ∴ ∴
∴ ，
6．在Rt△ABC中，∠C=90°,且∠A，∠B，∠C所对的边a,b,c满足a+b=cx，求实数x的取值范围.

解析．，又
∴，即
考点3 与三角形的面积相关的题
题型1:已知条件求面积
例1: (广州执信中学09届高三上学期期中考试)在中，，．
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，求的面积．
解析：（Ⅰ）由，得， 由，得． 又
所以．
（Ⅱ）由正弦定理得．
所以的面积． .
题型2:已知面积求线段长或角
例2 (广东省惠州市2009届第二调研考试）在中，，．
⑴、求的值；
⑵、设的面积，求的长．
【解题思路】已知面积求边长或高,可考虑等积法.
解析：⑴、由，得，由，得．
所以．
⑵、由得，由⑴知，
故，又，故，．
所以．
【新题导练】
7.在三角形中，，求三角形的面积。
【解析】 由题意，得为锐角，，
，
由正弦定理得 ， ．
8. 在中，，，，则等于
A、 B、 C、或 D、或
【解析】C
平面向量章节测试题
一、选择题
1. 若A（2，-1），B（-1，3），则的坐标是 ( )
A.（1，2） B.（-3，4） C. （3，-4） D. 以上都不对
2.与a=（4，5）垂直的向量是 ( )
A.（-5k,4k） B. (-10，2） C. () D.（5k, -4k）
3. △ABC中,=a, =b,则等于 ( )
A.a+b B.-(a+b) C.a-b D.b-a
4.化简(a－b)－(2a+4b)+(2a+13b)的结果是 ( )
A.ab B.0 C. a+b D. a－b
5.已知|p|=,|q|=3, p与q的夹角为,则以a=5p+2q,b=p－3q为邻边的平行四边形的一条对角线长为 ( )
A.15 B. C. 16 D.14
6.已知A(2,-2),B(4,3),向量p的坐标为(2k-1,7)且p∥,则k的值为 ( )
A. B. C. D.
7. 已知△ABC的三个顶点，A、B、C及平面内一点P满足，则点P与△ABC的关系是 ( )
A. P在△ABC的内部 B. P在△ABC的外部
C. P是AB边上的一个三等分点 D. P是AC边上的一个三等分点
8.已知△ABC的三个顶点，A (1,5)，B(-2,4)，C(-6,-4)，M是BC边上一点,且△ABM的面积是△ABC面积的,则线段AM的长度是 ( )
A.5 B. C. D.
9.设e1,e2是夹角为450的两个单位向量,且a=e1+2e2,b=2e1+e2,,则|a+b|的值 ( )
A. B.9 C. D.
10.若|a|=1,|b|=,(a-b)⊥a,则a与b的夹角为 ( )
A.300 B.450 C.600 D.750
11.把一个函数的图象按向量a=(,-2)平移后，得到的图象对应的函数解析式为y=sin(x+)-2,则原函数的解析式为 ( )
A.y=sinx B.y=cosx C.y=sinx+2 D.y= -cosx
12.在△ABC中，=c, = a, =b,则下列推导中错误的是 ( )
A.若a·b<0,则△ABC为钝角三角形 B. 若a·b=0,则△ABC为直角三角形
C. 若a·b=b·c,则△ABC为等腰三角形 D. 若c·( a+b+c)=0,则△ABC为等腰三角形
二、填空题
13.在△ABC中，已知且则这个三角形的形状是 .
14.一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，则船实际航行的速度的大小和方向是 .

15. 若向量,现用a、b表示c,则c= .
16.给出下列命题:①若a2+b2=0,则a=b=0;
②已知AB,则
③已知a,b,c是三个非零向量,若a+b=0,则|a·c|=|b·c|
④已知,e1,e2是一组基底,a=λ1e1+λ2e2则a与e1不共线,a与e2也不共线;
⑤若a与b共线,则a·b=|a|·|b|.其中正确命题的序号是 .
三、解答题
A
B
N
M
D
C
17.如图,ABCD是一个梯形,, M、N分别是的中点,已知a,b,试用a、b表示和

18.设两个非零向量e1、e2不共线.如果=e1+e2,2e1+8e2,=3(e1-e2)
⑴求证:A、B、D共线;
⑵试确定实数k,使ke1+e2和e1+ke2共线.
19.已知△ABC中,A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC边上的高为AD.⑴求证:AB⊥AC;⑵求点D与向量的坐标.

20.已知△ABC的三个顶点为A(1,2),B(4,1),C(3,4).⑴求AB边上的中线CM的长;⑵在AB上取一点P,使过P且平行与BC的直线PQ把的面积分成4:5两部分,求P点的坐标.

21.已知a、b是两个非零向量，证明：当b与a+λb(λ∈R)垂直时，a+λb的模取得最小值.
22.已知二次函数f(x) 对任意x∈R，都有f (1-x)=f (1+x)成立，设向量a=(sinx,2), b=(2sinx,),
c=(cos2x,1),d=(1,2)。
（1）分别求a·b和c·d的取值范围；
（2）当x∈[0,π]时，求不等式f(a·b)>f(c·d)的解集

平面向量章节测试题参考答案
一、BCDBA；DDADB；BD
二、13.等边三角形；14.大小是4km/h,方向与水流方向的夹角为600 ; 15.a－2b ; 16.①③④
三、17.∵||=2||∴∴a,b－a , =a－b
18.⑴∵5e1+5e2= , ∴又有公共点B,∴A、B、D共线
⑵设存在实数λ使ke1+e2=λ(e1+ke2) ∴ k=λ且kλ=1 ∴k=
19.⑴由可知即AB⊥AC
⑵设D（x,y）,∴
∵ ∴5(x-2)+5(y-4)=0
∵ ∴5(x+1)－5(y+2)=0 ∴ ∴D()
20.⑴
⑵设P（x,y）

21. 当b与a+λb(λ∈R)垂直时，b·(a+λb)=0,∴λ= -
| a+λb |==
当λ= -时，| a+λb |取得最小值.
∴当b与a+λb(λ∈R)垂直时，a+λb的模取得最小值.
22. (1）a·b=2sin2x+11 c·d=2cos2x+11
（2）∵f(1-x)=f(1+x) ∴f(x)图象关于x=1对称
当二次项系数m>0时, f(x)在（1，）内单调递增，
由f(a·b)>f(c·d) a·b > c·d, 即2sin2x+1>2cos2x+1
又∵x∈[0,π] ∴x∈
当二次项系数m<0时,f(x)在（1，）内单调递减，
由f(a·b)>f(c·d) a·b > c·d, 即2sin2x+1<2cos2x+1
又∵x∈[0,π] ∴x∈、
故当m>0时不等式的解集为;当m<0时不等式的解集为、

五年高考荟萃
2009年高考题
一、选择题
1.(2009年广东卷文)已知平面向量a= ，b=， 则向量 ( )
A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线
答案 C
解析 ,由及向量的性质可知,C正确.
2.（2009广东卷理）一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为( )
A. 6 B. 2 C. D. 答案 D
解析 ，所以，选D.
3.（2009浙江卷理）设向量，满足：，，．以，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 ( )
A． B.4 C． D． 答案 C
解析 对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点,对于圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现4个交点的情况,但5个以上的交点不能实现．
4.（2009浙江卷文）已知向量，．若向量满足，，则 （ ）
A． B． C． D． 答案 D
解析 不妨设，则，对于，则有；又，则有，则有
5.（2009北京卷文）已知向量，如果
那么 ( )
A．且与同向 B．且与反向
C．且与同向 D．且与反向 答案 D
解析∵a，b，若，则cab，dab，显然，a与b不平行，排除A、B.
若，则cab，dab，即cd且c与d反向，排除C，故选D.
6.（2009北京卷文）设D是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则集合S表示的平面区域是 ( )
A． 三角形区域 B．四边形区域
C． 五边形区域 D．六边形区域
答案 D
解析 属于创新题型.如图，A、B、C、D、E、F为各边三等分点，答案是集合S为六边形ABCDEF，其中， 即点P可以是点A.
7.（2009北京卷理）已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么 ( )
A．且c与d同向 B．且c与d反向
C．且c与d同向 D．且c与d反向 答案 D
解析本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查.
取a，b，若，则cab，dab，显然，a与b不平行，排除A、B.
若，则cab，dab，即cd且c与d反向，排除C，故选D.
8.(2009山东卷理)设P是△ABC所在平面内的一点，，则（　　　）
A. B. C. D. 答案 B
解析 :因为，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。
9.（2009全国卷Ⅱ文）已知向量a = (2,1)， a·b = 10，︱a + b ︱= ，则︱b ︱=
A. B. C.5 D.25 答案 C
解析 本题考查平面向量数量积运算和性质，由知（a+b）2=a2+b2+2ab=50，得|b|=5 选C.
10.（2009全国卷Ⅰ理）设、、是单位向量，且·＝0，则的最
小值为 ( )
A. B. C. D. 答案 D
解析 是单位向量
.
11.(2009湖北卷理)已知是两个向量集合，则 ( )
A．｛〔1，1〕｝ B. ｛〔-1，1〕｝ C. ｛〔1，0〕｝ D. ｛〔0，1〕｝ 答案 A
解析 因为代入选项可得故选A.
12.（2009全国卷Ⅱ理）已知向量，则 ( )
A. B. C. D. 答案 C
解析 ,故选C.
13.（2009辽宁卷理）平面向量a与b的夹角为，， 则 ( )
A. B. C. 4 D.2 答案 B
解析 由已知|a|＝2,|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴
14.（2009宁夏海南卷理）已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的 ( )
A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心
C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心 答案 C
解析

15.（2009湖北卷文）若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=( )
A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b 答案 B
解析 由计算可得故选B
16.（2009湖南卷文）如图1， D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
A． B．
C． D．
答案 A
解析 得.
或.
17.（2009辽宁卷文）平面向量a与b的夹角为，a＝(2,0), | b |＝1，则 | a＋2b |等于 （ ）
A. B.2 C.4 D.12 答案 B
解析 由已知|a|＝2,|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12∴
18.（2009全国卷Ⅰ文）设非零向量、、满足，则( )
A．150° B.120° C.60° D.30° 答案 B
解 由向量加法的平行四边形法则，知、可构成菱形的两条相邻边，且、为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B。
19.（2009陕西卷文）在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足学,则科网等于 ( )
A. B. C. D. 答案 A.
解析 由知, 为的重心,根据向量的加法, 则=
20.（2009宁夏海南卷文）已知，向量与垂直，则实数的值为 ( )
A. B. C. D. 答案 A
解析 向量＝（－3－1，2），＝（－1,2），因为两个向量垂直，故有（－3－1，2）×（－1,2）＝0，即3＋1＋4＝0，解得：＝，故选.A.
21.(2009湖南卷理)对于非0向时a,b,“a//b”的正确是 （ ）
A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 A
解析 由，可得，即得，但，不一定有，所以“”是“的充分不必要条件。
22.（2009福建卷文）设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线， ∣∣=∣∣,则∣ •∣的值一定等于 ( )
A．以，为邻边的平行四边形的面积 B. 以，为两边的三角形面积
C．，为两边的三角形面积 D. 以，为邻边的平行四边形的面积 答案 A
解析 假设与的夹角为，∣ •∣=︱︱·︱︱·∣cos<，>∣
=︱︱·︱︱•∣cos(90)∣=︱︱·︱︱•sin,即为以，为邻边的平行四边形的面积.
23.（2009重庆卷理）已知，则向量与向量的夹角是（ ）
A． B． C． D． 答案 C
解析 因为由条件得
24.（2009重庆卷文）已知向量若与平行，则实数的值是 （ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2 答案 D
解法1 因为，