2013年高中一模函数和导数1--汇总.doc

函数与导数2013年各区一模试题分类一、选择题：（1）【13西城一模.理.7】7已知函数，其中若对于任意的，都有，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）（2）【13东城一模.理.7】（7）已知定义在上的函数的对称轴为，且当时，.若函数在区间（）上有零点，则的值为（A）或 （B）或 （C）或 （D）或（3）【13丰台一模.理.7】7. 如果函数y=f(x)图像上任意一点的坐标（x,y）都满足方程 ，那么正确的选项是(A) y=f(x)是区间（0，）上的减函数，且x+y(B) y=f(x)是区间（1，）上的增函数，且x+y(C) y=f(x)是区间（1，）上的减函数，且x+y (D) y=f(x)是区间（1，）上的减函数，且x+y（4）【13石景山一模.理.8】8若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：P、Q都在函数的图像上；P、Q关于原点对称.则称点对P, Q是函数的一对“友好点对”（注：点对P, Q与Q , P看作同一对“友好点对”）.已知函数，则此函数的“友好点对”有（ ）对A. 0B. 1 C. 2D. 3（5）【13朝阳一模.理.8】（8）已知函数.若，使成立，则称为函数的一个“生成点”.函数的“生成点”共有A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个二、填空题（1）【13海淀一模.理.13】13.已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_. （2）【13朝阳一模.理.13】（13）函数是定义在上的偶函数，且满足.当时，.若在区间上方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是 .（3）1. 【2013，理，房山一模，13】 13.某商品在最近天内的单价与时间的函数关系是日销售量与时间的函数关系是.则这种商品的日销售额的最大值为 . 三、解答题（1）【13西城一模.理.18】18（本小题满分13分）已知函数，其中（）求的极值；（）若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围18.（本小题满分13分）（）解：的定义域为， 1分且 2分 当时，故在上单调递减 从而没有极大值，也没有极小值 3分 当时，令，得 和的情况如下：故的单调减区间为；单调增区间为从而的极小值为；没有极大值 5分（）解：的定义域为，且 6分 当时，显然 ，从而在上单调递增 由（）得，此时在上单调递增，符合题意 8分 当时，在上单调递增，在上单调递减，不合题意9分 当时，令，得和的情况如下表：当时，此时在上单调递增，由于在上单调递减，不合题意 11分当时，此时在上单调递减，由于在上单调递减，符合题意 综上，的取值范围是 13分（2）【13东城一模.理.18】（18）（本小题共14分）已知函数，（为常数，为自然对数的底）（）当时，求；（）若在时取得极小值，试确定的取值范围；（）在（）的条件下，设由的极大值构成的函数为，将换元为，试判断曲线是否能与直线（ 为确定的常数）相切，并说明理由（18）（共14分）解：（）当时，所以（）令，得或当，即时，恒成立，此时在区间上单调递减，没有极小值；当，即时， 若，则若，则所以是函数的极小值点 当，即时，若，则若，则 此时是函数的极大值点综上所述，使函数在时取得极小值的的取值范围是 （）由（）知当，且时，因此是的极大值点，极大值为所以 令则恒成立，即在区间上是增函数所以当时，即恒有又直线的斜率为，所以曲线不能与直线相切 （3）【13东城一模.理.20】（20）（本小题共13分）设是由个有序实数构成的一个数组，记作：.其中 称为数组的“元”，称为的下标. 如果数组中的每个“元”都是来自 数组中不同下标的“元”，则称为的子数组. 定义两个数组，的关系数为. （）若，设是的含有两个“元”的子数组，求的最大值； （）若，且，为的含有三个“元”的子数组，求的最大值；（）若数组中的“元”满足.设数组含有四个“元”，且，求与的所有含有三个“元”的子数组的关系数的最大值.（20）（共13分）解：（）依据题意，当时，取得最大值为2 （）当是中的“元”时，由于的三个“元”都相等及中三个“元”的对称性，可以只计算的最大值，其中由，得 当且仅当，且时，达到最大值，于是 当不是中的“元”时，计算的最大值，由于，所以 ，当且仅当时，等号成立即当时，取得最大值，此时综上所述，的最大值为1 （）因为满足由关系的对称性，只需考虑与的关系数的情况当时，有 即，且，时，的最大值为当时，得最大值小于所以的最大值为（4）【13海淀一模.理.18】18.（本小题满分13分）已知函数(其中为常数且)在处取得极值. (I) 当时，求的单调区间；(II) 若在上的最大值为，求的值.18. 解：（I）因为所以2分因为函数在处取得极值3分当时，随的变化情况如下表：00 极大值 极小值5分所以的单调递增区间为, 单调递减区间为6分(II)因为令,7分因为在 处取得极值，所以当时，在上单调递增，在上单调递减所以在区间上的最大值为，令，解得9分当，当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增所以最大值1可能在或处取得而所以，解得11分当时,在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增所以最大值1可能在或处取得而所以，解得，与矛盾12分当时，在区间上单调递增，在单调递减，所以最大值1可能在处取得，而，矛盾 综上所述，或. 13分（5）【13丰台一模.理.18】18.已知函数，.()若曲线在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b的值；()当，且ab=8时，求函数的单调区间，并求函数在区间-2，-1上的最小值。解：()函数h(x)定义域为x|x-a，1分则， 3分h(x)在点（1，0）处的切线斜率为0，即,解得或6分 ()记(x)= ，则(x)=(x+a)(bx2+3x)(x-a),ab=8，所以，(x-a),令，得，或, 8分因为，所以，故当，或时，当时，函数(x)的单调递增区间为，单调递减区间为, 10分,， 当，即时, (x)在-2,-1单调递增, (x)在该区间的最小值为， 11分 当时,即, (x)在-2,单调递减, 在单调递增，(x)在该区间的最小值为，12分 当时,即时, (x)在-2,-1单调递减, (x)在该区间的最小值为，13分综上所述，当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为. （不综述者不扣分）（6）【13石景山一模.理.18】18（本小题满分13分）已知函数,.（）讨论函数的单调区间；（）若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围.解：（）在区间上, . 1分若,则,是区间上的减函数； 3分若,令得.在区间上, ,函数是减函数;在区间上, ,函数是增函数; 综上所述，当时,的递减区间是，无递增区间；当时，的递增区间是，递减区间是. 6分（II）因为函数在处取得极值，所以解得，经检验满足题意. 7分由已知则 8分令，则 10分易得在上递减，在上递增， 12分所以，即 13分（7）【13朝阳一模.理.18】（18）（本小题满分13分）已知函数，其中（）求函数的单调区间；（）若函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围.解：函数定义域为， 且2分当，即时，令，得，函数的单调递减区间为，令，得，函数的单调递增区间为.当，即时，令，得或，函数的单调递增区间为，.令，得，函数的单调递减区间为.当，即时，恒成立，函数的单调递增区间为. 7分()当时，由()可知，函数的单调递减区间为，在单调递增.所以在上的最小值为，由于，要使在上有且只有一个零点，需满足或解得或.当时，由()可知，（）当时，函数在上单调递增；且，所以在上有且只有一个零点.（）当时，函数在上单调递减，在上单调递增；又因为，所以当时，总有. 因为，所以.所以在区间内必有零点.又因为在内单调递增，从而当时，在上有且只有一个零点. 综上所述，或或时，在上有且只有一个零点. 13分8. 【2013，理，门头沟一模，18】 18（本小题满分14分）已知函数（）函数在点的切线与直线平行，求的值；（）当时，恒成立，求的取值范围解： （） 2分， 3分 因为函数在点的切线与直线平行所以， 5分（）令当时，在上，有，函数增；在上，有，函数减， 函数的最小值为0，结论不成立6分当时， 7分若，结论不成立 9分若，则，在上，有，函数增；在上，有，函数减，只需 ，得到，所以 11分若，函数在有极小值，只需得到，因为，所以 13分综上所述， 14分9. 【2013，理，大兴一模，18】(18)（本小题满分14分） 已知函数，()求函数的单调区间；()函数在区间上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由（18）（本题满分14分）解：（I），.由，得，或.当，即时，在上，单调递减；当，即时，在上，单调递增，在上，单调递减。 综上所述：时，的减区间为； 时，的增区间为，的减区间为。（II）（1）当时，由（I）在上单调递减，不存在最小值； （2）当时， 若，即时，在上单调递减，不存在最小值； 若，即时，在上单调递增，在上单调递减，因为，且当时，所以时，。又因为，所以当，即时，有最小值；，即时， 没有最小值。综上所述：当时，有最小值；当时，没有最小值。10.【2013，理，房山一模，18】18. (本小题满分13分)已知函数 , . （）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求函数的单调区间； （）当时，函数在上的最大值为，若存在，使得成立，求实数b的取值范围.18（本小题满分13分）（）当时， 1分 .2分所以曲线在点处的切线方程.3分（）4分 当时，解，得，解，得所以函数的递增区间为，递减区间为在 5分 时，令得或i）当时，x )f(x)+-+f(x)增减增6分函数的递增区间为，递减区间为7分ii）当时， 在上，在上 8分函数的递增区间为，递减区间为 9分（）由（）知，当时，在上是增函数，在上是减函数，所以， 11分存在，使 即存在，使，方法一：只需函数在1，2上的最大值大于等于 所以有 即解得： 13分方法二：将 整理得 从而有 所以的取值范围是. 13分16 / 16