资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图所示，已知A（，y1），B(2,y2)为反比例函数图像上的两点，动点P(x，0)在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（ ）
A．(，0) B．(1,0) C．(,0) D．(,0)
2．抛物线y＝﹣x2+1向右平移2个单位长度，再向下平移3个长度单位得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝﹣（x﹣2）2+4 B．y＝﹣（x﹣2）2﹣2
C．y＝﹣（x+2）2+4 D．y＝﹣（x+2）2﹣2
3．如图，已知∠BAC=∠ADE=90°，AD⊥BC，AC=DC．关于优弧CAD，下列结论正确的是（ ）
A．经过点B和点E B．经过点B，不一定经过点E
C．经过点E，不一定经过点B D．不一定经过点B和点E
4．在同一直角坐标系中，函数y=kx2﹣k和y=kx+k（k≠0）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
5．从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了．求竹竿有多长．设竹竿长尺，则根据题意，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
6．已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ）．
A．； B．； C．； D．．
7．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三连个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ）
A．1000(1＋x)2＝440 B．1000(1＋x)2＝1000
C．1000(1＋2x)＝1000＋440 D．1000(1＋x)2＝1000＋440
8．图1是一个底面为正方形的直棱柱，现将图1切割成图2的几何体，则图2的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
9．在Rt△ABC中，，如果∠A=，，那么线段AC的长可表示为（ ）．
A．； B．； C．； D．．
10．已知x2-2x=8，则3x2-6x-18的值为（ ）
A．54 B．6 C．-10 D．-18
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知二次函数（a是常数，a≠0），当自变量x分别取-6、-4时，对应的函数值分别为y1、y2，那么y1、y2的大小关系是：y1__ y2（填“>”、“<”或“=”）．
12．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=20°，点O是AB的中点，将OB绕点O顺时针旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，当△ACP为等腰三角形时，α的值为_____．
13．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为______寸．
14．如图，在中，，是边上一点，过点作，垂足为,，，，求的长.
15．菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为_____．
16．如图，在中，，，，、分别是边、上的两个动点，且，是的中点，连接，，则的最小值为__________．
17．如图，把直角三角板的直角顶点放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点、．量得，，则该圆玻璃镜的半径是__________．
18．如图，AB是半圆O的直径，AB=10，过点A的直线交半圆于点C，且sin∠CAB=，连结BC，点D为BC的中点．已知点E在射线AC上，△CDE与△ACB相似，则线段AE的长为________；
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图,在锐角三角形ABC中,AB=4,BC=,∠B=60°,求△ABC的面积
20．（6分）如图，平面直角坐标系中，点、点在轴上（点在点的左侧），点在第一象限，满足为直角，且恰使∽△，抛物线经过、、三点．
（1）求线段、的长；
（2）求点的坐标及该抛物线的函数关系式；
（3）在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．
21．（6分）如图，建筑物AB的高为6cm，在其正东方向有个通信塔CD，在它们之间的地面点M（B，M，D三点在一条直线上）处测得建筑物顶端A、塔项C的仰角分别为37°和60°，在A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高度．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，=1.73，精确到0.1m）
22．（8分）武汉市某中学进行九年级理化实验考查，有A和B两个考查实验，规定每位学生只参加一个实验的考查，并由学生自己抽签决定具体的考查实验，小孟、小柯、小刘都要参加本次考查．
（1）用列表或画树状图的方法求小孟、小柯都参加实验A考查的概率；
（2）他们三人中至少有两人参加实验B的概率 （直接写出结果）．
23．（8分）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（）16，宽（）9的矩形场地上修建三条同样宽的小路，其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112，则小路的宽应为多少？
24．（8分）孝感商场计划在春节前50天里销售某品牌麻糖，其进价为18元/盒.设第天的销售价格为（元/盒），销售量为（盒）.该商场根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当时，；当时，与满足一次函数关系，且当时，；时，.②与的关系为．
（1）当时，与的关系式为 ；
（2）为多少时，当天的销售利润（元）最大？最大利润为多少？
25．（10分）已知：中，．
（1）求作：的外接圆；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若的外接圆的圆心到边的距离为4，，求的面积．
26．（10分）如图，广场上空有一个气球，地面上点间的距离.在点分别测得气球的仰角为，，求气球离地面的高度.（精确到个位）
（参考值:，，，）
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】求出AB的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP-BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA-PB=AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可．
【详解】∵把A（，y1），B（2，y2）代入反比例函数y=得：y1=2，y2=，
∴A（，2），B（2，），
∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP-BP|＜AB，
∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA-PB=AB，
即此时线段AP与线段BP之差达到最大，
设直线AB的解析式是y=kx+b，
把A、B的坐标代入得：
，
解得：k=-1，b=，
∴直线AB的解析式是y=-x+，
当y=0时，x=，
即P（，0），
故选D．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，解此题的关键是确定P点的位置，题目比较好，但有一定的难度．
2、B
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝﹣x2+1向右平移2个单位长度所得的抛物线的解析式为：y＝﹣(x﹣2)2+1．
再向下平移3个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝﹣(x﹣2)2﹣2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k （a，b，c为常数，a≠0），确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“h值正右移，负左移； k值正上移，负下移”．
3、B
【分析】由条件可知BC垂直平分AD，可证△ABC≌△DBC，可得∠BAC=∠BDC=90°故∠BAC+∠BDC=180°则A、B、D、C四点共圆，即可得结论.
【详解】解：如图：设AD、BC交于M
∵AC=CD，AD⊥BC
∴M为AD中点
∴BC垂直平分AD
∴AB=DB
∵BC=BC，AC=CD
∴△ABC≌△DBC
∴∠BAC=∠BDC=90°
∴∠BAC+∠BDC=180°
∴A、B、D、C四点共圆
∴优弧CAD经过B，但不一定经过E
故选 B
【点睛】
本题考查了四点共圆，掌握四点共圆的判定是解题的关键.
4、D
【解析】试题分析： A、由一次函数y=kx+k的图象可得：k＞0，此时二次函数y=kx2﹣kx的图象应该开口向上，错误；
B、由一次函数y=kx+k图象可知，k＞0，此时二次函数y=kx2﹣kx的图象顶点应在y轴的负半轴，错误；
C、由一次函数y=kx+k可知，y随x增大而减小时，直线与y轴交于负半轴，错误；
D、正确．
故选D．
考点：1、二次函数的图象；2、一次函数的图象
5、B
【分析】根据题意，门框的长、宽以及竹竿长是直角三角形的三边长，等量关系为：门框长的平方+门框宽的平方=门的对角线长的平方，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：∵竹竿的长为x尺，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．
∴门框的长为（x-2）尺，宽为（x-4）尺，
∴可列方程为（x-4）2+（x-2）2=x2，
故选：B．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到门框的长，宽，竹竿长是直角三角形的三边长是解决问题的关键．
6、B
【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．
【详解】解：、左边得出的是的方向不是单位向量，故错误；
、符合向量的长度及方向，正确；
、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；
、左边得出的是的方向，右边得出的是的方向，两者方向不一定相同，故错误．
故选：．
【点睛】
本题考查了向量的性质．
7、D
【分析】根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题得出选项．
【详解】解：由题意可得，1000(1＋x)2＝1000＋440，
故选：D．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，是关于增长率的问题．
8、D
【分析】俯视图是从物体上面看到的图形，应把所看到的所有棱都表示在所得图形中．
【详解】从上面看，图2的俯视图是正方形，有一条对角线．
故选：D．
【点睛】
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
9、B
【分析】根据余弦函数是邻边比斜边，可得答案．
【详解】解：由题意，得
，
，
故选：．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义，利用余弦函数的定义是解题关键．
10、B
【解析】所求式子前两项提取3变形后，将已知等式变形后代入计算即可求出值．
【详解】∵x2−2x＝8，
∴3x2−1x−18＝3（x2−2x）−18＝24−18＝1．
故选：B．
【点睛】
此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、>
【分析】先求出抛物线的对称轴为，由，则当，y随x的增大而减小，即可判断两个函数值的大小.
【详解】解：∵二次函数（a是常数，a≠0），
∴抛物线的对称轴为：，
∵，
∴当，y随x的增大而减小，
∵，
∴；
故答案为：.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题.
12、40°或70°或100°．
【分析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．先连结AP，如图，由旋转的性质得OP=OB，则可判断点P、C在以AB为直径的圆上，利用圆周角定理得∠BAP=∠BOP=α，∠ACP=∠ABP=90°﹣α，∠APC=∠ABC=70°，然后分类讨论：当AP=AC时，∠APC=∠ACP，即90°﹣α=70°；当PA=PC时，∠PAC=∠ACP，即α+20°=90°﹣α，；当CP=CA时，∠CAP=∠CAP，即α+20°=70°，再分别解关于α的方程即可．
【详解】连结AP，如图，
∵点O是AB的中点，∴OA=OB，∵OB绕点O顺时针旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，∴OP=OB，∴点P在以AB为直径的圆上，∴∠BAP=∠BOP=α，∠APC=∠ABC=70°，∵∠ACB=90°，∴点P、C在以AB为直径的圆上，∴∠ACP=∠ABP=90°﹣α，∠APC=∠ABC=70°，
当AP=AC时，∠APC=∠ACP，即90°﹣α=70°，解得α=40°；
当PA=PC时，∠PAC=∠ACP，即α+20°=90°﹣α，解得α=70°；
当CP=CA时，∠CAP=∠CPA，即α+20°=70°，解得α=100°，
综上所述，α的值为40°或70°或100°．故答案为40°或70°或100°．
考点：旋转的性质.
13、1．
【分析】设的半径为，在中，，则有，解方程即可.
【详解】设的半径为．
在中，，
则有，
解得，
∴的直径为1寸，
故答案为1．
【点睛】
本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.
14、.
【分析】在中，根据求得CE，在中，根据求得BC，最后将CE,BC的值代入即可.
【详解】解：在中，,
.
在中，，
.
的长为.
【点睛】
本题考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数定义是解题的关键.
15、1
【分析】根据菱形对角线垂直平分，再利用勾股定理即可求解.
【详解】解：因为菱形的对角线互相垂直平分，
根据勾股定理可得菱形的边长为＝1．
故答案为1．
【点睛】
此题主要考查菱形的边长求解，解题的关键是熟知菱形的性质及勾股定理的运用.
16、
【分析】先在CB上取一点F，使得CF=，再连接PF、AF，然后利用相似三角形的性质和勾股定理求出AF，即可解答．
【详解】解：如图：在CB上取一点F，使得CF=，再连接PF、AF，
∵∠DCE=90°，DE=4，DP=PE，
∴PC=DE=2，
∵，
∴
又∵∠PCF=∠BCP，
∴△PCF∽△BCP，
∴
∴PA+PB=PA+PF，
∵PA+PF≥AF，AF=
∴PA+PB ≥.
∴PA+PB的最小值为，
故答案为．
【点睛】
本题考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，正确添加常用辅助线、构造相似三角形是解答本题的关键．
17、1．
【解析】解：∵∠MON=90°，∴为圆玻璃镜的直径，，∴半径为．故答案为：1．
18、3或9 或或
【分析】先根据圆周角定理及正弦定理得到BC=8，再根据勾股定理求出AC=6，再分情况讨论，从而求出AE.
【详解】∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90，
∵sin∠CAB=，
∴,
∵AB=10，
∴BC=8，
∴,
∵点D为BC的中点,
∴CD=4.
∵∠ACB=∠DCE=90,
①当∠CDE1=∠ABC时，△ACB∽△E1CD,如图
∴，即，
∴CE1=3，
∵点E1在射线AC上，
∴AE1=6+3=9，
同理：AE2=6-3=3.
②当∠CE3D=∠ABC时，△ABC∽△DE3C，如图
∴，即，
∴CE3=，
∴AE3=6+=,
同理：AE4=6-=.
故答案为：3或9 或或.
【点睛】
此题考查相似三角形的判定及性质，当三角形的相似关系不是用相似符号连接时，一定要分情况来确定两个三角形的对应关系，这是解此题容易错误的地方.
三、解答题(共66分)
19、9
【分析】过点A作AD⊥BC于D，根据锐角三角函数求出AD，然后根据三角形的面积公式计算面积即可.
【详解】解：过点A作AD⊥BC于D
在Rt△ABD中，AB=4, ∠B=60°
∴AD=AB·sin B=
∴S△ABC=BC·AD
=
=9
【点睛】
此题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用锐角三角函数解直角三角形和三角形的面积公式是解决此题的关键.
20、（1）OB=6，=；（2）的坐标为；；（3）存在，，，，
【分析】（1）根据题意先确定OA，OB的长，再根据△OCA∽△OBC，可得出关于OC、OA、OB的比例关系式即可求出线段、的长；
（2）由题意利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理来求C点的坐标，并将C点坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式；
（3）根据题意运用等腰三角形的性质，对所有符合条件的点的坐标进行讨论可知有四个符合条件的点，分别进行分析求解即可．
【详解】解：（1）由（）
得，，即：，
∵∽
∴
∴（舍去）
∴线段的长为.
（2）∵∽
∴，
设，
则，
由
得，
解得（-2舍去），
∴，，
过点作于点，
由面积得，∴的坐标为
将点的坐标代入抛物线的解析式得
∴.
（3）存在，，，
①当P1与O重合时，△BCP1为等腰三角形
∴P1的坐标为（0，0）；
②当P2B=BC时（P2在B点的左侧），△BCP2为等腰三角形
∴P2的坐标为（6-2，0）；
③当P3为AB的中点时，P3B=P3C，△BCP3为等腰三角形
∴P3的坐标为（4，0）；
④当BP4=BC时（P4在B点的右侧），△BCP4为等腰三角形
∴P4的坐标为（6+2，0）；
∴在x轴上存在点P，使△BCP为等腰三角形，符合条件的点P的坐标为：
，，，.
【点睛】
本题考查二次函数的综合问题，掌握由抛物线求二次函数的解析式以及用几何中相似三角形的性质求点的坐标等知识运用数形结合思维分析是解题的关键.
21、通信塔CD的高度约为15.9cm．
【解析】过点A作AE⊥CD于E，设CE=xm，解直角三角形求出AE，解直角三角形求出BM、DM，即可得出关于x的方程，求出方程的解即可．
【详解】过点A作AE⊥CD于E，
则四边形ABDE是矩形，
设CE=xcm，
在Rt△AEC中，∠AEC=90°，∠CAE=30°，
所以AE=xcm，
在Rt△CDM中，CD=CE+DE=CE+AB=（x+6）cm，
DM=cm，
在Rt△ABM中，BM=cm，
∵AE=BD，
∴，
解得：x=+3，
∴CD=CE+ED=+9≈15.9（cm），
答：通信塔CD的高度约为15.9cm．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，能通过解直角三角形求出AE、BM的长度是解此题的关键．
22、（1）；（2）
【分析】（1）先画出树状图，得出所有等情况数和小孟、小柯都参加实验A考查的情况数，再根据概率公式即可得出答案；
（2）根据每人都有2种选法，得出共有8种等情况数，他们三人中至少有两人参加实验B的有4种，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：（1）画树状图如图所示：
∵两人的参加实验考查共有四种等可能结果，而两人均参加实验A考查有1种，
∴小孟、小柯都参加实验A考查的概率为．
（2）共有8种等情况数，他们三人中至少有两人参加实验B的有4种，
所以他们三人中至少有两人参加实验B的概率是.
故答案为：．
【点睛】
本题考查了数据统计的知识，中考必考题型，重点需要掌握树状图的画法.
23、小路的宽应为1．
【解析】设小路的宽应为x米，那么草坪的总长度和总宽度应该为（16-2x），（9-x）；那么根据题意得出方程，解方程即可．
【详解】解：设小路的宽应为x米，
根据题意得：，
解得：，．
∵，
∴不符合题意，舍去，
∴．
答：小路的宽应为1米．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．
24、（1）;（2）32， 2646元.
【分析】（1）设一次函数关系式为，将“当时，；时，”代入计算即可；
（2）根据利润等于单件利润乘以销售量分段列出函数关系式，再根据一次函数及二次函数的性质得出最大利润即可.
【详解】解：（1）设一次函数关系式为
∵当时，；时，，
即，解得：
∴
（2）
∴当时，
∵60＞0
∴当x=30时，W最大=2400（元）
当时
∴当x=32时，当天的销售利润W最大，为2646元.
2646＞2400
∴故当x=32时，当天的销售利润W最大，为2646元.
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出函数关系式并熟知函数的基本性质是解题关键.
25、 (1)详见解析;(2)
【分析】(1)分别作出AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即是圆的圆心，以O为圆心，OB为半径作圆即可，如图所示．
(2)已知的外接圆的圆心到边的距离为4，，利用勾股定理即可求出OB2，再根据圆的面积公式即可求解．
【详解】解：（1）如图
（2）设BC的垂直平分线交BC于点D
由题意得：，
在Rt中，
∴
【点睛】
本题主要考查的是圆的外接三角形尺规作图法和勾股定理的应用，掌握这两个知识点是解题的关键．
26、18.
【分析】作AD⊥l，在Rt△ACD和Rt△ABD中，将BD,CD分别用AD表示出来，再根据BC=BD-CD列出关于AD的等式求解即可．
【详解】解：过点作交延长线于点，
中，，
∴，
同理可得：，
∴ 即.
∴.
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角是向上看的视线与水平线的夹角、俯角是向下看的视线与水平线的夹角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
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