资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知四边形中，对角线，相交于点，且，则下列关于四边形的结论一定成立的是（ ）
A．四边形是正方形 B．四边形是菱形
C．四边形是矩形 D．
2．关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
3．已知二次函数(是常数)，下列结论正确的是（ ）
A．当时，函数图象经过点
B．当时，函数图象与轴没有交点
C．当时，函数图象的顶点始终在轴下方
D．当时，则时，随的增大而增大．
4．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
5．要得到抛物线y＝2（x﹣4）2+1，可以将抛物线y＝2x2（ ）
A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
6．如图，直线l1∥l2∥l3，两条直线AC和DF与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，则下列比例式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（ ）
A．3m B． m C． m D．4m
9．已知抛物线经过点，，若，是关于的一元二次方程的两个根，且，，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同．搅匀后任意摸出一个球，是黄球的概率为( )
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．若，则=___________.
12．某小区2019年的绿化面积为3000m2，计划2021年的绿化面积为4320m2，如果每年绿化面积的增长率相同，设增长率为x，则可列方程为______．
13．已知二次函数y=x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是_____．
14．如图，在直角三角形中，，是边上一点，以为边，在上方作等腰直角三角形，使得，连接.若，，则的最小值是_______.
15．如图，在反比例函数位于第一象限内的图象上取一点P1，连结OP1，作P1A1⊥x轴，垂足为A1，在OA1的延长线上截取A1 B1= OA1，过B1作OP1的平行线，交反比例函数的图象于P2，过P2作P2A2⊥x轴，垂足为A2，在OA2的延长线上截取A2 B2= B1A2，连结P1 B1，P2 B2，则的值是 ．
16．如图，⊙O与矩形ABCD的边AB、CD分别相交于点E、F、G、H，若AE+CH=6，则BG+DF为_________．
17．从5，6，7这三个数字中，随机抽取两个不同数字组成一个两位数， 则这个两位数能被3整除的概率是__________．
18．如图，是⊙的直径，是⊙上一点，的平分线交⊙于，且，则的长为_________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，已知二次函数的图象经过点.
（1）求的值和图象的顶点坐标。
（2）点在该二次函数图象上.
①当时，求的值；
②若到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围.
20．（6分）某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）如果商店销售这种商品，每天要获得1500元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？（3）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？
21．（6分）小昆和小明玩摸牌游戏，游戏规则如下：有3张背面完全相同，牌面标有数字1、2、3的纸牌，将纸牌洗匀后背面朝上放在桌面上，随机抽出一张，记下牌面数字，放回后洗匀再随机抽出一张．
（1）请用画树形图或列表的方法（只选其中一种），表示出两次抽出的纸牌数字可能出现的所有结果；
（2）若规定：两次抽出的纸牌数字之和为奇数，则小昆获胜，两次抽出的纸牌数字之和为偶数，则小明获胜，这个游戏公平吗？为什么？
22．（8分）在平面直角坐标系xoy中，点A (-4,-2)，将点A向右平移6个单位长度，得到点B.
（1）若抛物线y＝-x2＋bx＋c经过点A,B，求此时抛物线的表达式；
（2）在（1）的条件下的抛物线顶点为C，点D是直线BC上一动点（不与B，C重合），是否存在点D，使△ABC和以点A,B,D构成的三角形相似？若存在，请求出此时D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若抛物线y＝-x2＋bx＋c的顶点在直线y＝x＋2上移动，当抛物线与线段有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围．
23．（8分）如图，是⊙的直径，是的中点，弦于点，过点作交的延长线于点．
（1）连接，求；
（2）点在上，，DF交于点．若，求的长．
24．（8分）如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A(1，4)，点B(﹣4，n)．
(1)求n和b的值；
(2)求△OAB的面积；
(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣4，1），C（﹣1，3）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出C1的坐标；
（1）画出△ABC绕C点顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1．
26．（10分）证明相似三角形对应角平分线的比等于相似比．已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k， ．求证 ．（先填空，再证明）证明：
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】根据OA=OB=OC=OD，判断四边形ABCD是平行四边形．然后根据AC=BD，判定四边形ABCD是矩形．
【详解】，
四边形是平行四边形且，
是矩形，
题目没有条件说明对角线相互垂直，
∴A、B、D都不正确；
故选：C
【点睛】
本题是考查矩形的判定方法，常见的又3种：①一个角是直角的四边形是矩形；②三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．
2、C
【分析】关于x的方程可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程；
当方程为一元一次方程时，k=1；
是一元二次方程时，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有实数根下必须满足△=b2-4ac≥1．
【详解】当k=1时，方程为3x-1=1，有实数根，
当k≠1时，△=b2-4ac=32-4×k×（-1）=9+4k≥1，
解得k≥-．
综上可知，当k≥-时，方程有实数根；
故选C．
【点睛】
本题考查了方程有实数根的含义，一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．注意到分两种情况讨论是解题的关键．
3、D
【分析】将和点代入函数解析式即可判断A选项；利用可以判断B选项；根据顶点公式可判断C选项；根据抛物线的增减性质可判断D选项．
【详解】A. 将和代入，故A选项错误；
B. 当时，二次函数为，
，函数图象与轴有一个交点，故B选项错误；
C. 函数图象的顶点坐标为，即，
当时，不一定小于0，则顶点不一定在轴下方，故C选项错误；
D. 当时，抛物线开口向上，由C选项得，函数图象的对称轴为，
所以时，随的增大而增大，故D选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、根的判别式以及抛物线与x轴的交点，掌握抛物线的对称轴、开口方向与系数之间的关系是解题的关键．
4、A
【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，
∴m＜，
故选A．
【点睛】
本题考查了根的判别式，解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系，即：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
5、C
【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【详解】∵y＝2（x﹣4）2+1的顶点坐标为（4，1），y＝2x2的顶点坐标为（0，0），
∴将抛物线y＝2x2向右平移4个单位，再向上平移1个单位，可得到抛物线y＝2（x﹣4）2+1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，求出顶点坐标并抓住点的平移规律是解题关键．
6、D
【解析】试题分析：根据平行线分线段成比例定理，即可进行判断.
解：∵l1∥l2∥l3，
∴，，，.
∴选项A、B、C正确，D错误.
故选D.
点睛：本题是一道关于平行线分线段成比例的题目，掌握平行线分线段成比例的相关知识是解答本题的关键
7、A
【解析】试题分析：判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
解：A.符合最简二次根式的两个条件，故本选项正确；
B.被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
C.被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
D.被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误.
故选A.
8、B
【解析】因为三角形ABC和三角形AB′C′均为直角三角形，且BC、B′C′都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，求出∠CAB，进而得出∠C′AB′的度数，然后可以求出鱼线B'C'长度．
【详解】解：∵sin∠CAB＝
∴∠CAB＝45°．
∵∠C′AC＝15°，
∴∠C′AB′＝60°．
∴sin60°＝，
解得：B′C′＝3．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题．
9、C
【分析】根据a的符号分类讨论，分别画出对应的图象，然后通过图象判断m和n的符号，找到这两种情况下都正确的结论即可.
【详解】解：当a＞0时，如下图所示，
由图可知：当＜＜时，y＜0；当＜或＞时，y＞0
∵＜0＜
∴m＞0，n＜0，
此时：不能确定其符号，故A不一定成立；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
当a＜0时，如下图所示，
由图可知：当＜＜时，y＞0；当＜或＞时，y＜0
∵＜0＜
∴m＜0，n＞0，
此时：不能确定其符号，故A不一定成立；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误.
综上所述：结论一定正确的是C.
故选C.
【点睛】
此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与二次项系数的关系、分类讨论的数学思想和数形结合的数学思想是解决此题的关键.
10、B
【分析】用黄色小球的个数除以总个数可得．
【详解】解：搅匀后任意摸出一个球，是黄球的概率为
故答案为B．
【点睛】
本题考查了概率公式,解答的关键在于确定发生事件的总发生数和所求事件发生数.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】根据题干信息，利用已知得出a= b，进而代入代数式求出答案即可．
【详解】解：∵，
∴a= b，
∴=．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查比例的性质，正确得出a=b，并利用代入代数式求值是解题关键．
12、3000(1+ x)2=1
【分析】设增长率为x，则2010年绿化面积为3000（1+x）m2，则2021年的绿化面积为3000（1+x）（1+x）m2，然后可得方程．
【详解】解：设增长率为x，由题意得：
3000（1+x）2=1，
故答案为：3000（1+x）2=1．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
13、m≥﹣1
【解析】试题分析：抛物线的对称轴为直线，
∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，
∴﹣m≤1，解得m≥﹣1．
14、
【分析】过点E作EH⊥直线AC于点H，利用AAS定理证明△BCD≌△DEH，设CD=x，利用勾股定理求，然后利用配方法求其最小值，从而使问题得解.
【详解】解：过点E作EH⊥直线AC于点H，
由题意可知：∠EDA+∠BDC=90°，∠BDC+∠DBC=90°
∴∠EDA=∠DBC
又∵∠C=∠EHD，BD=DE
∴△BCD≌△DEH
∴HD=BC=4
设CD=x，则EH=x
AH=
∴在Rt△AEH中，
当x=时，有最小值为
∴AE的最小值为
故答案为：
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，勾股定理及二次函数求最值，综合性较强，正确添加辅助线是本题的解题关键.
15、
【详解】解：设P1点的坐标为（），P2点的坐标为（b，）
∵△OP1B1，△B1P2B2均为等腰三角形，
∴A1B1=OA1，A2B2=B1A2，
∴OA1=a，OB1=2a，B1A2=b-2a，B1B2=2（b-2a），
∵OP1∥B1P2，
∴∠P1OA1=∠A2B1P2，
∴Rt△P1OA1∽Rt△P2B1A2，
∴OA1：B1A2=P1A1：P2A2，
a：（b-2a）=
整理得a2+2ab-b2=0，
解得：a=（）b或a=（）b（舍去）
∴B1B2=2（b-2a）=（6-4）b，
∴
故答案为：
【点睛】
该题较为复杂，主要考查学生对相似三角形的性质和反比例函数上的点的坐标与几何图形之间的关系．
16、6
【分析】作EM⊥BC，HN⊥AD，易证得，继而证得，利用等量代换即可求得答案.
【详解】过E作EM⊥BC于M，过H作HN⊥AD于N，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴，
∴，
∵四边形ABCD为矩形，且EM⊥BC，HN⊥AD，
∴四边形ABME 、EMHN、NHCD均为矩形，
∴，AE=BM，EN=MH，ND=HC，
在和中
，
∴(HL) ，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质、直角三角形的判定和性质、平行弦所夹的弧相等、等弧对等弦等知识，灵活运用等量代换是解题的关键.
17、
【分析】从5，6，7这三个数字中，随机抽取两个不同数字组成一个两位数，得出组成的两位数总个数及能被3整除的数的个数，求概率．
【详解】∵从5，6，7这三个数字中，随机抽取两个不同数字组成一个两位数，共有6种情况，它们分别是56、57、65、67、75、76，其中能被3整除的有57、75两种，
∴组成两位数能被3整除的概率为：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是直接用概率公式求概率问题，找对符合条件的个数和总个数是关键．
18、
【分析】连接OD，由AB是直径，得∠ACB=90°，由角平分线的性质和圆周角定理，得到△AOD是等腰直角三角形，根据勾股定理，即可求出AD的长度.
【详解】解：连接OD，如图，
∵是⊙的直径，
∴∠ACB=90°，AO=DO=，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=45°，
∴∠AOD=90°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴；
故答案为：.
【点睛】
本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握圆周角定理进行解题.
三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）① 11；②.
【解析】（1）把点P（-2，3）代入y=x2+ax+3中，即可求出a；
（2）①把m=2代入解析式即可求n的值；
②由点Q到y轴的距离小于2，可得-2＜m＜2，在此范围内求n即可.
【详解】（1）解：把代入，得，
解得.
∵，
∴顶点坐标为.
（2）①当m=2时，n=11，
②点Q到y轴的距离小于2，
∴|m|＜2，
∴-2＜m＜2，
∴2≤n＜11.
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键．
20、 (1)；(2) 每件商品的销售价应定为元或元；(3)售价定为元/件时，每天最大利润元．
【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）根据“每件利润×销售量=总利润”列出一元二次方程，解之可得；
（3）根据以上相等关系列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数性质求解可得．
【详解】(1)设与之间的函数关系式为，
由所给函数图象可知：
，
解得：．
故与的函数关系式为；
(2)根据题意，得：，
整理，得：，
解得：或，
答：每件商品的销售价应定为元或元；
(3)∵，
∴
，
∴当时，，
∴售价定为元/件时，每天最大利润元．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，理解题意确定相等关系，并据此列出函数解析式．
21、（1）结果见解析；（2）不公平，理由见解析.
【解析】判断游戏是否公平，即是看双方取胜的概率是否相同，若相同，则公平，不相同则不公平．
22、（1）y＝-x2-2x＋6；（2）存在，D (,)；（2）-4≤t＜-2或0＜t≤1．
【分析】（1）根据点A的坐标结合线段AB的长度，可得出点B的坐标，根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）由抛物线解析式，求出顶点C的坐标，从而求出直线BC解析式，设D (d,-2d+4)，
根据已知可知AD=AB=6时，△ABC∽△BAD，从而列出关于d的方程，解方程即可求解；
（2）将抛物线的表达式变形为顶点时，依此代入点A，B的坐标求出t的值，再结合图形即可得出：当抛物线与线段AB有且只有一个公共点时t的取值范围．
【详解】（1）∵点A的坐标为（-4，-2），将点A向右平移6个单位长度得到点B，
∴点B的坐标为（2，-2）．
∵抛物线y＝-x2+bx＋c过点，
∴, 解得
∴抛物线表达式为y＝-x2-2x＋6
（2）存在.
如图
由（1）得，y＝-x2-2x＋6＝-(x+1)2＋7，
∴C (-1,7)
设直线BC解析式为y＝kx＋b
∴解之得，
∴lBC：y＝-2x＋4
设D (d,-2d+4)，
∵在△ABC中AC=BC
∴当且仅当AD=AB=6时，两三角形相似
即(-4-d)2+(-2+2d-4)2=26时，△ABC∽△BAD，
解之得，d1=、d2=2(舍去)
∴存在点D，使△ABC和以点A,B,D构成的三角形相似，此时点D (,)；
（2）如图：
抛物线y＝-x2+bx＋c顶点在直线上
∴抛物线顶点坐标为
∴抛物线表达式可化为．
把代入表达式可得
解得．
又∵抛物线与线段AB有且只有一个公共点，
∴-4≤t＜-2．
把代入表达式可得．
解得，
又∵抛物线与线段AB有且只有一个公共点，
∴0＜t≤1．
综上可知的取值范围时-4≤t＜-2或0＜t≤1．
【点睛】
本题考查了点的坐标变化、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征以及三角形相似，解题的关键是：（1）根据点的变化，找出点B的坐标，根据点A，B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的表达式；（2）假设△ABC∽△BAD，列出关于d的方程，（2）代入点A，B的坐标求出t值，利用数形结合找出t的取值范围．
23、（1）；（2）．
【解析】（1）根据垂径定理可得AB垂直平分CD，再根据M是OA的中点及圆的性质，得出△OAD是等边三角形即可；
（2）根据题意得出∠CNF=90°，再由Rt△CDE计算出CD，CN的长度，根据圆的内接四边形对角互补得出∠F=60°，从而根据三角函数关系计算出FN的值即可．
【详解】解：（1）如图，连接OD，
∵是⊙的直径，于点
∴AB垂直平分CD，
∵M是OA的中点，
∴
∴
∴∠DOM=60°，
又∵OA=OD
∴△OAD是等边三角形
∴∠OAD=60°．
（2）如图，连接CF，CN，
∵OA⊥CD于点M，
∴点M是CD的中点，
∴AB垂直平分CD
∴NC=ND
∵∠CDF=45°，
∴∠NCD=∠NDC=45°，
∴∠CND=90°，
∴∠CNF=90°，
由（1）可知，∠AOD=60°，
∴∠ACD=30°，
又∵交的延长线于点，
∴∠E=90°，
在Rt△CDE中，∠ACD=30°，，
∴
在Rt△CND中，∠CND=90°，∠NCD=∠NDC=45°，，
∴
由（1）可知，∠CAD=2∠OAD=120°，
∴∠F=180°-120°=60°，
∴在Rt△CFN中，∠CNF=90°，∠F=60°，，
∴
【点睛】
本题考查了圆的性质、垂径定理、圆的内接四边形对角互补的性质、直角三角形的性质、锐角三角函数的应用，综合性较大，解题时需要灵活运用边与角的换算．
24、（1）-1；（2）7.5；（3）x＞1或﹣4＜x＜0.
【分析】（1）把A点坐标分别代入反比例函数与一次函数解析式，求出k和b的值，把B点坐标代入反比例函数解析式求出n的值即可；（2）设直线y＝x+3与y轴的交点为C，由S△AOB=S△AOC+S△BOC，根据A、B两点坐标及C点坐标，利用三角形面积公式即可得答案；（3）利用函数图像，根据A、B两点坐标即可得答案.
【详解】（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y＝，一次函数y＝x+b，
得k＝1×4，1+b＝4，
解得k＝4，b＝3，
∵点B（﹣4，n）也在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝＝﹣1；
（2）如图，设直线y＝x+3与y轴的交点为C，
∵当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×1+×3×4＝7.5，
（3）∵B（﹣4，﹣1），A（1，4），
∴根据图象可知：当x＞1或﹣4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数y＝中k的几何意义，这里体现了数形结合的思想．
25、（1）见解析，（1，3）；（1）见解析
【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（1）分别作出点A、B绕C点顺时针旋转90°后得到的对应点，再首尾顺次连接即可得．
【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，C1的坐标为（1，3）；
（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
【点睛】
本题主要考查作图-旋转变换和轴对称变换，解题的关键是掌握旋转变换和轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
26、已知，分别是∠BAC、∠上的角平分线，
【分析】根据相似三角形的性质，对应边成比例，对应角相等，可证得和相似，再利用相似三角形的性质求解．
【详解】已知，分别是∠BAC、∠上的角的平分线，求证：
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴，∠B=∠，∠BAC∠，
∵分别是∠BAC、∠上的角的平分线，
∴∠BAD∠，
∴，
∴，
【点睛】
本题实际上是相似三角形的性质的拓展，不但有对应角的平分线等于相似比，对应边上的高，对应中线也都等于相似比．
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