资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图所示，∆ABC的顶点在正方形网格的格点上，则cosB=( )
A． B． C． D．
2．某市从2018年开始大力发展旅游产业．据统计，该市2018年旅游收入约为2亿元．预计2020年旅游收入约达到2.88亿元，设该市旅游收入的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（ ）
A．2（1+x）2＝2.88 B．2x2＝2.88 C．2（1+x%）2＝2.88 D．2（1+x）+2（1+x）2＝2.88
3．如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按其天中发生的先后顺序排列，正确的是（ ）
A．①②③④ B．④①③② C．④②③① D．④③②①
4．如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，若BG=，则△CEF的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．下列图形中为中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．抛物线 D．五角星
7．一元二次方程的根为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平行四边形中：：若，则（ ）
A． B． C． D．
9．下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是 （ ）
A． B． C． D．
10．如图．已知的半径为3，，点为上一动点．以为边作等边，则线段的长的最大值为（ ）
A．9 B．11 C．12 D．14
11．一个盒子里装有若干个红球和白球，每个球除颜色以外都相同．5位同学进行摸球游戏，每位同学摸10次（摸出1球后放回，摇匀后再继续摸），其中摸到红球数依次为8，5，9，7，6，则估计盒中红球和白球的个数是（ ）
A．红球比白球多 B．白球比红球多 C．红球，白球一样多 D．无法估计
12．已知△ABC，以AB为直径作⊙O，∠C＝88°，则点C在（ ）
A．⊙O上 B．⊙O外 C．⊙O 内
二、填空题（每题4分，共24分）
13．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有_____个〇．
14．在等腰中，，点是所在平面内一点，且，则的取值范围是______．
15．已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围为_______．
16．如图，已知⊙的半径为1，圆心在抛物线上运动，当⊙与轴相切时，圆心的坐标是___________________．
17．如图，在△ABC中，∠BAC=35°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转50°，得到△AB′C′，则∠B′AC的度数是 ．
18．在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，过点O作弦BC的平行线，交过点A的切线AP于点P，连结AC．求证：△ABC∽△POA．
20．（8分）如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，sinB=，tanA=，AC=，
（1）求∠B 的度数和 AB 的长．
（2）求 tan∠CDB 的值．
21．（8分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的右侧），点A的坐标为（m，0），且AB＝1．
（1）填空：点B的坐标为 （用含m的代数式表示）；
（2）把射线AB绕点A按顺时针方向旋转135°与抛物线交于点P，△ABP的面积为8：
①求抛物线的解析式（用含m的代数式表示）；
②当0≤x≤1，抛物线上的点到x轴距离的最大值为时，求m的值．
22．（10分）如图，是的平分线，点在上，以为直径的交于点，过点作的垂线，垂足为点，交于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若的半径为，，求的长．
23．（10分）如图，斜坡的坡度是1：2.2（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），这个斜坡的水平宽度是22米，在坡顶处的同一水平面上（）有一座古塔．在坡底处看塔顶的仰角是45°，在坡顶处看塔顶的仰角是60°，求塔高的长．（结果保留根号）
24．（10分）已知：抛物线y＝2ax2﹣ax﹣3（a+1）与x轴交于点AB（点A在点B的左侧）．
（1）不论a取何值，抛物线总经过第三象限内的一个定点C，请直接写出点C的坐标；
（2）如图，当AC⊥BC时，求a的值和AB的长；
（3）在（2）的条件下，若点P为抛物线在第四象限内的一个动点，点P的横坐标为h，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点D，作PE∥AC交BC于点E，设△ADE的面积为S，请求出S与h的函数关系式，并求出S取得最大值时点P的坐标．
25．（12分）如图，已知点B的坐标是（-2，0)，点C的坐标是（8，0)，以线段BC为直径作⊙A，交y轴的正半轴于点D，过B、C、D三点作抛物线.
（1）求抛物线的解析式；
（2）连结BD，CD，点E是BD延长线上一点，∠CDE的角平分线DF交⊙A于点F，连结CF，在直线BE上找一点P，使得△PFC的周长最小，并求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点G，使得∠GFC=∠DCF，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由.
26．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+3m﹣2=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为正整数时，求方程的根．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】先设小正方形的边长为1，再建构直角三角形，然后根据锐角三角函数的定义求解即可；
【详解】解：如图，过A作AD⊥CB于D，
设小正方形的边长为1，
则BD=AD=3，AB=
∴cos∠B=；
故选C.
【点睛】
本题主要考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义，勾股定理是解题的关键.
2、A
【分析】设该市旅游收入的年平均增长率为x，根据该市2018年旅游收入及2020年旅游预计收入，即可得出关于x的一元二次方程，即可得出结论．
【详解】设该市旅游收入的年平均增长率为x，根据题意得：
2（1+x）2=2.88
故选A．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3、B
【分析】北半球而言，从早晨到傍晚影子的指向是：西−西北−北−东北−东，影长由长变短，再变长．
【详解】根据题意，太阳是从东方升起，故影子指向的方向为西方．然后依次为西北−北−东北−东，
即④①③②
故选：B．
【点睛】
本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚影子的指向是：西−西北−北−东北−东，影长由长变短，再变长．
4、A
【详解】解：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE；
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，
∴AB=BE=6，
∵BG⊥AE，垂足为G，
∴AE=2AG．
在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6，BG=，
∴AG==2，
∴AE=2AG=4；
∴S△ABE=AE•BG=．
∵BE=6，BC=AD=9，
∴CE=BC﹣BE=9﹣6=3，
∴BE：CE=6：3=2：1，
∵AB∥FC，
∴△ABE∽△FCE，
∴S△ABE：S△CEF=（BE：CE）2=4：1，则S△CEF=S△ABE=．
故选A．
【点睛】
本题考查1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．
5、B
【分析】根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABG≌△DBH，得出四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，进而求出即可．
【详解】连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴∠ADC=120°，
∴∠1=∠2=60°，
∴△DAB是等边三角形，
∵AB=2，
∴△ABD的高为，
∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，
∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°，
∴∠3=∠4，
设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，
在△ABG和△DBH中，
，
∴△ABG≌△DBH（ASA），
∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，
∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF-S△ABD=
=．
故选B．
6、B
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【详解】A、等边三角形不是中心对称图形，故本选项错误；
B、平行四边形是中心对称图形，故本选项正确；
C、抛物线不是中心对称图形，故本选项错误；
D、五角星不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
7、A
【解析】提公因式，用因式分解法解方程即可．
【详解】一元二次方程，
提公因式得：，
∴或，
解得：．
故选：A．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程－因式分解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键．
8、A
【分析】先根据平行四边形的性质得到AB=CD，AB∥CD，再计算出AE：CD=1：3，接着证明△AEF∽△CDF，然后根据相似三角形的性质求解．
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵，
∴，
∴，
∵AE∥CD，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
9、A
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形；故本选项正确；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形；故本选项错误；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形；故本选项错误；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形；故本选项错误；
故选A．
【点睛】
考核知识点：轴对称图形与中心对称图形识别.
10、B
【分析】以OP为边向下作等边△POH，连接AH，根据等边三角形的性质通过“边角边”证明△HPA≌△OPM，则AH=OM，然后根据AH≤OH+AO即可得解.
【详解】解：如图，以OP为边向下作等边△POH，连接AH，
∵△POH，△PAM都是等边三角形，
∴PH=PO，PA=PM，∠PHO=∠APM=60°，
∴∠HPA=∠OPM，
∴△HPA≌△OPM（SAS），
∴AH=OM，
∵AH≤OH+AO，即AH≤11，
∴AH的最大值为11，
则OM的最大值为11.
故选B.
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，难点在于作辅助线构造等边三角形.
11、A
【解析】根据题意可得5位同学摸到红球的频率为，由此可得盒子里的红球比白球多．故选A．
12、B
【解析】根据圆周角定理可知当∠C=90°时，点C在圆上，由由题意∠C＝88°，根据三角形外角的性质可知点C在圆外.
【详解】解：∵以AB为直径作⊙O，
当点C在圆上时,则∠C=90°
而由题意∠C＝88°，根据三角形外角的性质
∴点C在圆外．
故选：B．
【点睛】
本题考查圆周角定理及三角形外角的性质，掌握直径所对的圆周角是90°是本题的解题关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【解析】根据题目中的图形，可以发现〇的变化规律，从而可以得到第2019个图形中〇的个数．
【详解】由图可得，
第1个图象中〇的个数为：，
第2个图象中〇的个数为：，
第3个图象中〇的个数为：，
第4个图象中〇的个数为：，
……
∴第2019个图形中共有：个〇，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利用数形结合的思想解答．
14、
【分析】根据题意可知点P在以AB为直径，AB的中点O为圆心的上，然后画出图形，找到P点离C点距离最近的点和最远的点，然后通过勾股定理求出OC的长度，则答案可求．
【详解】
∴点P在以AB为直径，AB的中点O为圆心的上
如图，连接CO交于点，并延长CO交于点
当点P位于点时，PC的长度最小，此时
当点P位于点时，PC的长度最大，此时
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查线段的取值范围，能够找到P点的运动轨迹是圆是解题的关键．
15、m＞1
【分析】根据反比例函数，如果当x＞0时，y随自变量x的增大而增大，可以得到1-m＜0，从而可以解答本题．
【详解】解：∵反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴1-m＜0，
解得，m＞1，
故答案为：m＞1．
【点睛】
本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
16、或或或
【分析】根据圆与直线的位置关系可知，当⊙与轴相切时，P点的纵坐标为1或-1，把1或-1代入到抛物线的解析式中求出横坐标即可．
【详解】∵⊙的半径为1，
∴当⊙与轴相切时，P点的纵坐标为1或-1．
当时，，
解得 ，
∴此时P的坐标为或；
当时，，
解得 ，
∴此时P的坐标为或；
故答案为：或或或．
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系和已知函数值求自变量，根据圆与x轴相切找到点P的纵坐标的值是解题的关键．
17、15°
【分析】先根据旋转的性质，求得∠BAB'的度数，再根据∠BAC=35°，求得∠B′AC的度数即可．
【详解】∵将绕点顺时针方向旋转50°得到，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：15°．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
18、．
【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【详解】∵一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象的交点坐标为（2，1），
∴关于x，y的方程组的解是．
故答案为．
【点睛】
本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
三、解答题（共78分）
19、证明见解析．
【解析】试题分析： 由BC∥OP可得∠AOP=∠B，根据直径所对的圆周角为直角可知∠C=90°，再根据切线的性质知∠OAP=90°，从而可证△ABC∽△POA．
试题解析：证明：∵BC∥OP，
∴∠AOP=∠B，
∵AB是直径，
∴∠C=90°，
∵PA是⊙O的切线，切点为A，
∴∠OAP=90°，
∴∠C=∠OAP，
∴△ABC∽△POA．
考点：1．切线的性质；2．相似三角形的判定．
20、（1）∠B的度数为45°，AB的值为3；（1）tan∠CDB的值为1．
【分析】（1）作CE⊥AB于E，设CE=x，利用∠A的正切可得到AE=1x，则根据勾股定理得到AC=x，所以x=，解得x=1，于是得到CE=1，AE=1，接着利用sinB=得到∠B=45°，则BE=CE=1，最后计算AE+BE得到AB的长；
（1）利用CD为中线得到BD=AB=1.5，则DE=BD-BE=0.5，然后根据正切的定义求解．
【详解】（1）作 CE⊥AB 于 E，设 CE＝x，
在Rt△ACE中，∵tanA＝＝，
∴AE＝1x，
∴AC＝＝x，
∴x＝，解得x＝1，
∴CE＝1，AE＝1，
在Rt△BCE中，∵sinB＝，
∴∠B＝45°，
∴△BCE为等腰直角三角形，
∴BE＝CE＝1，
∴AB＝AE+BE＝3，
答：∠B的度数为45°，AB的值为3；
（1）∵CD为中线，
∴BD＝AB＝1.5，
∴DE＝BD﹣BE＝1.5﹣1＝0.5，
∴tan∠CDE=＝＝1，即tan∠CDB的值为1．
【点睛】
本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决此类题目的关键是熟练应用勾股定理和锐角三角函数的定义．
21、（1）（m﹣1，0）；（3）①y＝（x﹣m）（x﹣m+1）；②m的值为：3+3或3﹣3或3≤m≤3．
【分析】（1）A的坐标为（m，0），AB=1，则点B坐标为（m-1，0）；
（3）①S△ABP= •AB•yP=3yP=8，即：yP=1，求出点P的坐标为（1+m，1），即可求解；
②抛物线对称轴为x=m-3．分x=m-3≥1、0≤x=m-3≤1、x=m-3≤0三种情况，讨论求解.
【详解】解：（1）A的坐标为（m，0），AB＝1，则点B坐标为（m﹣1，0），故答案为（m﹣1，0）；
（3）①S△ABP＝AB•yP＝3yP＝8，∴yP＝1，
把射线AB绕点A按顺时针方向旋转135°与抛物线交于点P，此时，直线AP表达式中的k值为1，
设：直线AP的表达式为：y＝x+b，
把点A坐标代入上式得：m+b＝0，即：b＝﹣m，
则直线AP的表达式为：y＝x﹣m，
则点P的坐标为（1+m，1），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）（x﹣m+1），
把点P坐标代入上式得：a（1+m﹣m）（1+m﹣m+1）＝1，
解得：a＝，
则抛物线表达式为：y＝（x﹣m）（x﹣m+1），
②抛物线的对称轴为：x＝m﹣3，
当x＝m﹣3≥1（即：m≥3）时，x＝0时，抛物线上的点到x轴距离为最大值，
即：（0﹣m）（0﹣m+1）＝，解得：m＝3或3±3，
∵m≥3，故：m＝3+3；
当0≤x＝m﹣3≤1（即：3≤m≤3）时，在顶点处，抛物线上的点到x轴距离为最大值，
即：﹣（m﹣3﹣m）（m﹣3﹣m+1）＝，符合条件，
故：3≤m≤3；
当x＝m﹣3≤0（即：m≤3）时，x＝1时，抛物线上的点到x轴距离为最大值，
即：（1﹣m）（1﹣m+1）＝，解得：m＝3或3±3，
∵m≤3，故：m＝3﹣3；
综上所述，m的值为：3+3或3﹣3或3≤m≤3．
【点睛】
本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到图象旋转、一次函数基本知识等相关内容，其中（3）中，讨论抛物线对称轴所处的位置与0，1的关系是本题的难点．
22、（1）证明见解析；（2）1．
【分析】（1）根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得 ，证明 ，可得结论；
（2）在 中，设 ，则 ， ，证明 ，表示 ，由平行线分线段成比例定理得： ，代入可得结论．
【详解】解：（1） 连接.
∵AG是∠PAQ的平分线，
∵半径
∴直线BC是的切线．
（2） 连接DE．
∵为 的直径，
∵，设
在中，
在与中
∵，
∴
在Rt中，AE=12，
∴，即
∴
∴
在Rt△ODB与Rt△ACB中
∵，
∴，
∴，即
【点睛】
本题考查了三角形与圆相交的问题，掌握角平分线的定义、勾股定理、相似三角形的判定以及平行线分线段成比例是解题的关键．
23、米
【分析】分别过点和作的垂线，垂足为和，设AD=x，根据坡度求出DQ，根据正切定义用x表示出PQ，再由等腰直角三角形的性质列出x的方程，解之即可解答．
【详解】解：分别过点和作的垂线，垂足为和，
设的长是米
∵中，
∴
∵的坡比是1：1．1，水平长度11米
∴
∴
在中，
∴，即：
∴
答：的长是米
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
24、（1）第三象限内的一个定点C为（﹣1，﹣3）；（2）a＝，AB＝；（3）S＝﹣h2+h﹣，当h＝时，S的最大值为，此时点P（，﹣ ）．
【分析】（1）对抛物线解析式进行变形，使a的系数为0，解出x的值，即可确定点C的坐标；
（2）设函数对称轴与x轴交点为M，根据抛物线的对称轴可求出M的坐标，然后利用勾股定理求出CM的长度，再利用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半求出AB的长度，则A,B两点的坐标可求，再将A,B两点代入解析式中即可求出a的值；
（3）过点E作EF⊥PH于点F，先用待定系数法求出直线BC的解析式，然后将P,D的坐标用含h的代数式表示出来，最后利用S＝S△ABE﹣S△ABD＝×AB×（yD﹣yE）求解
【详解】（1）y＝2ax2﹣ax﹣3（a+1）＝a（2x2﹣x﹣3）﹣3，
令2x2﹣x﹣3＝0，解得：x＝或﹣1，
故第三象限内的一个定点C为（﹣1，﹣3）；
（2）函数的对称轴为：x＝，
设函数对称轴与x轴交点为M，则其坐标为：（，0），
则由勾股定理得CM＝，
则AB＝2CM＝ ，
∴
则点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（，0）；
将点A的坐标代入函数表达式得：18a+3a﹣3a﹣3＝0，
解得：a＝ ，
函数的表达式为：y＝（x+3）（x﹣）＝x2﹣x﹣ ；
（3）过点E作EF⊥PH于点F，
设：∠ABC＝α，则∠ABC＝∠HPE＝∠DEF＝α，
设直线BC的解析式为
将点B、C坐标代入一次函数表达式
得 解得：
∴直线BC的表达式为：，
设点P（h，），则点D（h，），
故tan∠ABC＝tanα＝ ，则sinα＝ ，
yD﹣yE＝DEsinα＝PDsinα•sinα，
S＝S△ABE﹣S△ABD
＝×AB×（yD﹣yE）
＝
∵﹣＜0，
∴S有最大值，当h＝ 时，S的最大值为：，此时点P（）．
【点睛】
本题主要考查二次函数与一次函数的综合题，掌握二次函数的图象和性质，勾股定理，待定系数法是解题的关键.
25、（1）；（2）；（3）
【分析】（1）由BC是直径证得∠OCD=∠BDO,从而得到△BOD∽△DOC,根据线段成比例求出OD的长，
设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-8),将点D坐标代入即可得到解析式；
（2）利用角平分线求出，得到，从而得出点F的坐标（3,5），再延长延长CD至点，可使,得到(-8，8)，求出F的解析式，与直线BD的交点坐标即为点P，此时△PFC的周长最小；
（3）先假设存在，①利用弧等圆周角相等把点D、F绕点A顺时针旋转90，使点F与点B重合，点G与点Q重合，则Q1(7，3),符合，求出直线FQ1的解析式，与抛物线的交点即为点G1，②根据对称性得到点Q2的坐标，再求出直线FQ2的解析式，与抛物线的交点即为点G2，由此证得存在点G.
【详解】（1）∵以线段BC为直径作⊙A,交y轴的正半轴于点D，
∴∠BDO+∠ODC=90,
∵∠OCD+∠ODC=90,
∴∠OCD=∠BDO,
∵∠DOC=∠DOB=90,
∴△BOD∽△DOC,
∴,
∵B（-2，0)，C（8，0)，
∴,
解得OD=4(负值舍去)，∴D（0,4）
设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-8),
∴4=a(0+2)(0-8),
解得a=，
∴二次函数的解析式为y=(x+2)(x-8),即.
（2）∵BC为⊙A的直径，且B（-2，0)，C（8，0)，
∴OA=3,A(3,0),
∴点E是BD延长线上一点，∠CDE的角平分线DF交⊙A于点F，
∴,
连接AF，则,
∵OA=3，AF=5
∴F(3，5)
∵∠CDB=90,
∴延长CD至点，可使,
∴(-8，8)，
连接F叫BE于点P，再连接PF、PC，
此时△PFC的周长最短，
解得F的解析式为，
BD的解析式为y=2x+4,
可得交点P.
（3）存在；假设存在点G，使∠GFC=∠DCF，
设射线GF交⊙A于点Q,
①∵A(3，0),F(3，5),C(8，0),D(0，4),
∴把点D、F绕点A顺时针旋转90，使点F与点B重合，点G与点Q重合，则Q1(7，3),符合，
∵F(3，5),Q1(7，3),
∴直线FQ1的解析式为，
解，得，（舍去），
∴G1；
②Q1关于x轴对称点Q2(7，-3),符合，
∵F(3，5),Q2(7，3),
∴直线FQ2的解析式为y=-2x+11,
解，得，（舍去），
∴G2
综上，存在点G或，使得∠GFC=∠DCF.
【点睛】
此题是二次函数的综合题，（1）考查待定系数法求函数解析式，需要先证明三角形相似，由此求得线段OD的长，才能求出解析式；（2）考查最短路径问题，此问的关键是求出点F的坐标，由此延长CD至点，使,得到点的坐标从而求得交点P的坐标；③是难点，根据等弧所对的圆心角相等将弧DF旋转，求出与圆的交点Q1坐标，从而求出直线与抛物线的交点坐标即点G的坐标；再根据对称性求得点Q2的坐标，再求出直线与抛物线的交点G的坐标.
26、（2）m＜2；
（2）x2=2+，x2=2-．
【解析】（2）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，列不等式求解可得；
（2）求出m的值，解方程即可解答．
【详解】（2）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=42﹣4（3m﹣2）=24﹣22m＞0，
解得：m＜2．
（2）∵m为正整数，
∴m=2．
∴原方程为x2﹣4x+2=0
解这个方程得：x2=2+，x2=2-．
【点睛】
考查了根的判别式，熟练掌握方程的根的情况与判别式的值间的关系是解题的关键．
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