资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．如图：已知AB＝10，点C、D在线段AB上且AC＝DB＝2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．0
3．下列四个点中，在反比例函数的图象上的是（ ）
A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）
4．如图，AB是⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且AO＝CD，则∠PCA＝（ ）
A．30° B．60° C．67.5° D．45°
5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴是x＝1，现有结论：①abc＞0 ②9a﹣3b+c＝0 ③b＝﹣2a④（﹣1）b+c＜0，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．－5的倒数是
A． B．5 C．－ D．－5
7．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是
A．55° B．60° C．65° D．70°
8．如图，在RtΔABC中∠C=90°，AC=6，BC=8，则sin∠A的值（ ）
A． B． C． D．
9．当x＝1时，代数式2ax2+bx的值为5，当x＝2时，代数式ax2+bx﹣3的值为（ ）
A．﹣ B．2 C．7 D．17
10．二次函数y=a+bx+c的图象如图所示，则下列关系式错误的是（ ）
A．a＜0 B．b＞0 C．﹣4ac＞0 D．a+b+c＜0
11．中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年年收入300美元，预计2018年年收入将达到1500美元，设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为（ ）
A．300（1+x）2＝1500 B．300（1+2x）＝1500
C．300（1+x2）＝1500 D．300+2x＝1500
12．如图，、、是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，四边形ABCD是正方形，若对角线BD＝4，则BC＝_____．
14．在△ABC中，∠C=90°，AC=，∠CAB的平分线交BC于D，且，那么tan∠BAC=_________．
15．二中岗十字路口南北方向的红绿灯设置为：红灯30秒，绿灯60秒，黄灯3秒，小明由南向北经过路口遇到红灯的概率为______．
16．若点P(3，1)与点Q关于原点对称，则点Q的坐标是___________．
17．，两点都在二次函数的图像上，则的大小关系是____________．
18．若点,是抛物线上的两个点,则此抛物线的对称轴是___．
三、解答题（共78分）
19．（8分）在一个不透明的袋子里，装有3个分别标有数字﹣1，1，2的乒乓球，他们的形状、大小、质地等完全相同，随机取出1个乒乓球．
（1）写出取一次取到负数的概率；
（2）小明随机取出1个乒乓球，记下数字后放回袋子里，摇匀后再随机取出1个乒兵球，记下数字．用画树状图或列表的方法求“第一次得到的数与第二次得到的数的积为正数”发生的概率．
20．（8分）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量(个)与y销售单价x(元)有如下关系:，设这种双肩包每天的销售利润为w元．
(1)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
(2)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元?
21．（8分）我国互联网发展走到了世界的前列，尤其是电子商务，据市场调查，天猫超市在销售一种进价为每件40元的护眼台灯中发现：每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示：
（1）当销售单价定为50元时，求每月的销售件数；
（2）设每月获得的利润为W（元），求利润的最大值；
（3）由于市场竞争激烈，这种护眼灯的销售单价不得高于75元，如果要每月获得的利润不低于8000元，那么每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）
22．（10分）在△ABC中，∠C＝90°．
（1）已知∠A＝30°，BC＝2，求AC、AB的长；
（2）己知tanA＝，AB＝6，求AC、BC的长．
23．（10分）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝4，EM＝6，求⊙O的半径．
24．（10分）如图1是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，，摆动臂可绕点旋转，．
（1）在旋转过程中
①当、、三点在同一直线上时，求的长，
②当、、三点为同一直角三角形的顶点时，求的长．
（2）若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到其内的点处，如图2，此时，，求的长．
（3）若连接（2）中的，将（2）中的形状和大小保持不变，把绕点在平面内自由旋转，分别取、、的中点、、，连接、、、随着绕点在平面内自由旋转， 的面积是否发生变化，若不变，请直接写出的面积；若变化，的面积是否存在最大与最小?若存在，请直接写出面积的最大值与最小值，（温馨提示）
25．（12分）若二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，且过点C (3，﹣2)．
（1）求二次函数表达式；
（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝5，求点P的坐标；
（3）在AB下方的抛物线上是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．
26．（1）计算：．
（2）如图，正方形纸板在投影面上的正投影为，其中边与投影面平行，与投影面不平行.若正方形的边长为厘米，，求其投影的面积．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【解析】证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质可推导得出AC2=AD•AB，由此即可解决问题.
【详解】∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴AC2=AD•AB=2×8=16，
∵AC>0，
∴AC=4，
故选B.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.
2、C
【分析】本题通过做辅助线构造新三角形，继而利用等边三角形性质求证四边形HFPE为平行四边形，进一步结合点G中点性质确定点G运动路径为△HCD中位线，最后利用中位线性质求解．
【详解】延长AE与BF使其相交于点H，连接HC、HD、HP，如下图所示：
由已知得：∠A=∠FPB=60°，∠B=∠EPA=60°，
∴AH∥PF，BH∥PE，
∴四边形HFPE为平行四边形，
∴EF与PH互相平分，
又∵点G为EF中点，
∴点G为PH中点，
即在点P运动过程中，点G始终为PH的中点，故点G的运动轨迹为△HCD的中位线MN．
∵，，
∴，
∴，即点G的移动路径长为1．
故选：C．
【点睛】
本题考查等边三角形性质以及动点问题，此类型题目难点在于辅助线的构造，需要多做类似题目积累题感，涉及动点运动轨迹时，其路径通常是较为特殊的线段或图形，例如中位线或圆．
3、A
【分析】根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，将各点坐标代入验算，满足的点即为所求
【详解】点（3，﹣2）满足，符合题意，
点（3，2）不满足，不符合题意，
点（2，3）不满足，不符合题意，
点（﹣2，﹣3）不满足，不符合题意
故选A．
4、C
【分析】直接利用切线的性质结合等腰三角形的性质得出∠PCA的度数．
【详解】解：∵PD切⊙O于点C，
∴∠OCD＝90°，
∵AO＝CD，
∴OC＝DC，
∴∠COD＝∠D＝45°，
∵AO＝CO，
∴∠A＝∠ACO＝22.5°，
∴∠PCA＝90°﹣22.5°＝67.5°．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了切线的性质以及等腰三角形的性质，正确得出∠COD=∠D=45°是解题关键．
5、C
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴的位置，顶点坐标，以及二次函数的增减性，逐个进行判断即可．
【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，对称轴是x＝1，与y轴的交点在负半轴，
∴a＞0，b＜0，c＜0，
∴abc＞0，因此①正确；
∵对称轴是x＝1，即：＝1，也就是：b＝﹣2a，因此③正确；
由抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴是x＝1，可得与x轴另一个交点坐标为（3，0），
∴9a+3b+c＝0，而b≠0，
因此②9a﹣3b+c＝0是不正确的；
∵（﹣1）b+c＝b﹣b+c，b＝﹣2a，
∴（﹣1）b+c＝2a+b+c，
把x＝代入y＝ax2+bx+c得，y＝2a+b+c，
由函数的图象可得此时y＜0，即：（﹣1）b+c＜0，因此④是正确的，
故正确的结论有3个，
故选：C．
【点睛】
考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是正确解答的关键，将问题进行适当的转化，是解决此类问题的常用方法．
6、C
【分析】若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【详解】解：5的倒数是．
故选C．
7、C
【分析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可．
【详解】∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．
∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE，
∴∠ACD=90°-20°=70°，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠ADC+∠EDC=180°，
∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°，
∴∠ADC=∠E+20°，
∵∠ACE=90°，AC=CE
∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45°
在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°，
即45°+70°+∠ADC=180°，
解得：∠ADC=65°，
故选C．
【点睛】
此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答．
8、B
【分析】由勾股定理可求得AB的长度，再根据锐角三角函数的定义式求得sin∠A的值．
【详解】∵AC=6，BC=8，∴AB==，
∴sin∠A=．
故选B．
【点睛】
本题考查勾股定理和锐角三角函数的综合应用，根据求得的直角三角形的边长利用锐角三角函数的定义求值是解题关键．
9、C
【解析】直接把x＝1代入进而得出2a+b＝5，再把x＝2代入ax2+bx﹣3，即可求出答案．
【详解】∵当x＝1时，代数式2ax2+bx的值为5，
∴2a+b＝5，
∴当x＝2时，代数式ax2+bx﹣3＝4a+2b﹣3＝2（2a+b）﹣3
＝2×5﹣3
＝1．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查求代数式的值，整体思想方法的应用，是解题的关键.
10、D
【解析】试题分析：根据抛物线的开口方向对A进行判断；根据抛物线的对称轴位置对B进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数对C进行判断；根据自变量为1所对应的函数值为正数对D进行判断．A、抛物线开口向下，则a＜0，所以A选项的关系式正确；B、抛物线的对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0，所以B选项的关系式正确；C、抛物线与x轴有2个交点，则△=b2﹣4ac＞0，所以D选项的关系式正确；D、当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0，所以D选项的关系式错误．
考点：二次函数图象与系数的关系
11、A
【详解】解：设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x，
那么根据题意得2018年年收入为：300（1+x）2，
列出方程为：300（1+x）2=1．
故选A．
12、C
【分析】连接BC，AB=，BC=，AC=，得到△ABC是直角三角形，从而求解.
【详解】解：连接BC，
由勾股定理可得：AB=，BC=，AC=，
∵
∴△ABC是直角三角形，
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查直角三角形，勾股定理；熟练掌握在方格中利用勾股定理求边长，同时判断三角形形状是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】由正方形的性质得出△BCD是等腰直角三角形，得出BD＝BC＝4，即可得出答案．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝BC，∠C＝90°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝BC＝4，
∴BC＝2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了正方形的性质以及等腰直角三角形的判定与性质；证明△BCD是等腰直角三角形是解题的关键．
14、
【分析】根据勾股定理求出DC，推出∠DAC=30°，求出∠BAC的度数，即可得出tan∠BAC的值．
【详解】在△DAC中，∠C=90°，
由勾股定理得：DC，
∴DCAD，
∴∠DAC=30°，
∴∠BAC=2×30°=60°，
∴tan∠BAC=tan60°．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了含30度角的直角三角形，锐角三角函数的定义，能求出∠DAC的度数是解答本题的关键．
15、
【解析】∵该路口红灯30秒，绿灯60秒，黄灯3秒，
∴爸爸随机地由南往北开车经过该路口时遇到红灯的概率是，
故答案为:.
16、 (–3，–1)
【分析】根据关于原点对称的点的规律：纵横坐标均互为相反数解答即可．
【详解】根据关于原点对称的点的坐标的特点，可得：
点P(3，1)关于原点过对称的点Q的坐标是(–3，–1)．
故答案为：(–3，–1)．
【点睛】
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，解题时根据两个点关于原点对称时，它们的同名坐标互为相反数可直接得到答案，本题属于基础题，难度不大，注意平面直角坐标系中任意一点P(x，y)，关于原点的对称点是(–x，–y)，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
17、＞
【分析】根据二次函数的性质，可以判断y1，y2的大小关系，本题得以解决．
【详解】∵二次函数，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，
∵点在二次函数的图象上，
∵-1＞-2，
∴＞，
故答案为：＞．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
18、x=3
【分析】根据抛物线的对称性即可确定抛物线对称轴．
【详解】解：点,是抛物线上的两个点,且纵坐标相等．
根据抛物线的对称性知道抛物线对称轴是直线．
故答案为：．
【点睛】
本题考察了二次函数的图像和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），抛物线上两个不同点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，若有y1=y2，则P1，P2两点是关于抛物线对称轴对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线： .
三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）
【分析】（1）由概率公式即可得出结果；
（2）由树状图得出第一次得到的数与第二次得到的数的积为正数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：（1）取一次取到负数的概率为；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，“第一次得到的数与第二次得到的数的积为正数”的有5种情况，
∴“第一次得到的数与第二次得到的数的积为正数”的概率为．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
20、（1）当x=45时，w有最大值，最大值是225;（2）获得200元的销售利润，销售单价应定为40元
【分析】（1）根据销售利润=单件利润销售量，列出函数关系式，根据二次函数的性质求出最大值即可；
（2）根据二次函数与一元二次方程的关系可计算得，同时要注意考虑实际问题，对答案进行取舍即可．
【详解】解:
与之间的函数解析式
根据题意得: w，
∵，
当x=45时，w有最大值，最大值是225
(2)当时，，
解得，
不符合题意，舍去，
答:该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．
【点睛】
本题考查二次函数与实际问题，解题的关键是能够根据题意列出函数关系式，并根据二次函数的性质求解实际问题．
21、（1）500件；（2）利润的最大值为1；（3）每月的成本最少需要10000元．
【分析】(1)设函数关系式为y=kx+b，把(40，600)，(75，250)代入，列方程组即可．
(2)根据利润=每件的利润×销售量，列出式子即可．
(3)思想列出不等式求出x的取值范围，设成本为S，构建一次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】(1)设函数关系式为y=kx+b，
把(40，600)，(75，250)代入可得，
解得：，
∴y=﹣10x+1000，
当x=50时，y=﹣10×50+1000=500(件)；
(2)根据题意得，W=(x﹣40)(﹣10x+1000)
=﹣10x2+1400x﹣40000
=﹣10(x﹣70)2+1．
当x=70时，利润的最大值为1；
(3)由题意，
解得：60≤x≤75，
设成本为S，
∴S=40(﹣10x+1000)=﹣400x+40000，
∵﹣400＜0，
∴S随x增大而减小，
∴x=75时，S有最小值=10000元，
答：每月的成本最少需要10000元．
【点睛】
本题考查了二次函数、一次函数的实际应用，不等式组的应用等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
22、（1）AB＝4，AC＝2；（2）BC＝2，AC＝1．
【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质即可得到结论；
（2）解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，AC＝BC＝2；
（2）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，AB＝6，
∴＝，
∴设BC＝k，AC＝4k，
∴AB＝＝3k＝6，
∴k＝2，
∴BC＝k＝2，AC＝4k＝1．
【点睛】
本题考查了含30°角的直角三角形，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键．
23、
【解析】连接OC,由垂径定理可得: EM⊥CD,即可求得的半径.
【详解】解：连接OC，
∵M是⊙O弦CD的中点，
根据垂径定理：EM⊥CD，
又CD＝4则有：CM＝CD＝2，
设圆的半径是x米，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝22+（6﹣x）2，
解得：x＝，
所以圆的半径长是．
【点睛】
本题考查的是圆，熟练掌握垂径定理是解题的关键.
24、（1）①或；②长为或；（2）；（3）的面积会发生变化；存在，最大值为：，最小值为：
【分析】（1）①分两种情形分别求解即可；
②显然不能为直角；当为直角时，根据计算即可；当为直角时，根据计算即可；
（2）连接，，证得为等腰直角三角形，根据SAS可证得，根据条件可求得，根据勾股定理求得，即可求得答案；
（3）根据三角形中位线定理，可证得是等腰直角三角形，求得，当取最大时，面积最大，当取最小时，面积最小，即可求得答案．
【详解】（1）①，
或；
②显然不能为直角；
当为直角时，，
即，
解得：；
当为直角时，，
即，
；
综上：长为或；
（2）如图，连接，，
根据旋转的性质得：为等腰直角三角形，
∴，，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
又∵，
，
，
；
（3）发生变化，存在最大值和最小值，
理由：如图，
点P，M分别是，的中点，
，，
点N，P分别是，的中点，
，，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
∴
，
当取最大时，面积最大，
∴
，
当取最小时，面积最小，
∴
故：的面积发生变化，存在最大值和最小值，最大值为：，最小值为：．
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，有一定的难度．
25、（1）；（2）；（3）存在，点M到y轴的距离为
【分析】(1)由待定系数法可求解析式；
(2)设直线BP与x轴交于点E，过点P作PD⊥OA于D，设点P(a，a2-a-2)，则PD=a2-a-2，利用参数求出BP解析式，可求点E坐标，由三角形面积公式可求a，即可得点P坐标；
(3)如图2，延长BM到N，使BN=BO，连接ON交AB于H，过点H作HF⊥AO于F，由全等三角形的性质和锐角三角函数求出点N坐标，求出BN解析式，可求点M坐标，即可求解．
【详解】(1)∵二次函数y=ax2+bx-2的图象过点A(4，0)，点C (3，-2)，
∴，
解得：
∴二次函数表达式为：；
(2)设直线BP与x轴交于点E，过点P作PD⊥OA于D，
设点P(a，a2-a-2)，则PD=a2-a-2，
∵二次函数与y轴交于点B，
∴点B(0，-2)，
设BP解析式为：，
∴a2-a-2=ka﹣2，
∴，
∴BP解析式为：y=()x﹣2，
∴y=0时，，
∴点E(，0)，
∵S△PBA=5，
∵S△PBA=,
∴，
∴a=-1(不合题意舍去)，a=5，
∴点P(5，3)；
(3)如图2，延长BM到N，使BN=BO，连接ON交AB于H，过点H作HF⊥AO于F，
∵BN=BO，∠ABO=∠ABM，AB=AB，
∴△ABO≌△ABN(SAS)
∴AO=AN，且BN=BO，
∴AB垂直平分ON，
∴OH=HN，AB⊥ON，
∵AO=4，BO=2，
∴AB=，
∵S△AOB=×OA×OB=×AB×OH，
∴OH=，
∴AH=，
∵cos∠BAO=，
∴，
∴AF=，
∴HF=，
OF=AO﹣AF= 4﹣=，
∴点H(，-)，
∵OH=HN，
∴点N(，﹣)
设直线BN解析式为：y=mx﹣2，
∴﹣=m﹣2，
∴m=﹣，
∴直线BN解析式为：y=﹣x﹣2，
∴x2﹣x﹣2=﹣x﹣2，
∴x=0(不合题意舍去)，x=，
∴点M坐标(，﹣)，
∴点M到y轴的距离为．
【点睛】
本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是构建合适的辅助线，灵活运用所学知识解决问题，难度有点大．
26、（1）；（2）．
【分析】(1)代入特殊角的三角函数值，根据实数的混合运算法则计算即可；
(2) 作BE⊥CC1于点E，利用等腰直角三角形的性质求得的长即可求得BC的正投影的长，即可求得答案．
【详解】(1)
；
(2)过点B作BE⊥CC1于点E，
在中，，，
∴，
∵⊥，⊥，且BE⊥CC1，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题主要考查了平行投影的性质，特殊角的三角函数值，等腰直角三角形的性质，本题理解并掌握正投影的特征是解题的关键：正投影是在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影．
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