资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．半径为6的圆上有一段长度为1．5的弧，则此弧所对的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
2．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D． 且
3．下列语句中，正确的有（ ）
A．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 B．平分弦的直径垂直于弦
C．长度相等的两条弧相等 D．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴
4．二次函数图像的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点，分别在反比例函数，的图象上．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD，且AE，BD交于点F，：：25，则DE：=( )
A．2：5 B．3：2 C．2：3 D．5：3
7．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O、B的坐标分别是（0，0），（2，0），则顶点C的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，﹣1） C．（1，﹣1） D．（﹣1，1）
8．如图，平行四边形的四个顶点分别在正方形的四条边上.，分别交，，于点，，，且.要求得平行四边形的面积，只需知道一条线段的长度.这条线段可以是（ ）
A． B． C． D．
9．同桌读了：“子非鱼焉知鱼之乐乎？”后，兴高采烈地利用电脑画出了几幅鱼的图案，请问：由左图中所示的图案平移后得到的图案是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( )
A． B． C． D．
11．在平面直角坐标系中，点(2，-1)关于原点对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．下列事件中是随机事件的个数是（ ）
①投掷一枚硬币，正面朝上；
②五边形的内角和是540°；
③20件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是次品；
④一个图形平移后与原来的图形不全等．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（每题4分，共24分）
13．△ABC中，E，F分别是AC，AB的中点，连接EF，则S△AEF:S△ABC＝_____．
14．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连接CE，则CE的长是________．
15．在平面直角坐标系中，已知，，，若线段与互相平分，则点的坐标为______.
16．如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F，若AD=1，BD=2，BC=4，则EF=________．
17．如图，已知中，，，，将绕点顺时针旋转得到，点、分别为、的中点，若点刚好落在边上，则______.
18．步步高超市某种商品为了去库存，经过两次降价，零售价由100元降为64元．则平均每次降价的百分率是____________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图所示的直面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）将绕原点逆时针旋转画出旋转后的；
（2）求出点到点所走过的路径的长．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣2与反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象在第一象限内交于点A，点A的横坐标为1．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设直线y＝x﹣2与y轴交于点C，过点A作AE⊥x轴于点E，连接OA，CE．求四边形OCEA的面积．
21．（8分）（1）计算：；
（2）解方程：＝1．
22．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，已知A(﹣1，0)对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒．
①若AOC与BMN相似，请求出t的值；
②BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值．
23．（10分）解方程：x2﹣4x﹣21=1．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P从点A出发，沿折线AB﹣BO向终点O运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，在BO上以每秒3个单位长度的速度运动;点Q从点O出发，沿OA方向以每秒个单位长度的速度运动.P，Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止.过点P作PE⊥AO于点E，以PE，EQ为邻边作矩形PEQF，设矩形PEQF与△ABO重叠部分图形的面积为S,点P运动的时间为t秒.
(1)连结PQ，当PQ与△ABO的一边平行时，求t的值;
(2)求S与t之间的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围.
25．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，BC＞AD，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10cm，BC＝6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
（1）求证：△ACD∽△BAC；
（2）求DC的长；
（3）试探究：△BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由．
26．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，连接BD．
（1）求证：∠A＝∠CBD．
（2）若AB＝10，AD＝6，M为线段BC上一点，请写出一个BM的值，使得直线DM与⊙O相切，并说明理由．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】根据弧长公式，即可求解．
【详解】∵，
∴，解得：n=75，
故选B．
【点睛】
本题主要考查弧长公式，掌握是解题的关键．
2、C
【分析】一元二次方程有实数根，则根的判别式≥1，且k≠1，据此列不等式求解．
【详解】根据题意，得：
=1-16≥1且≠1，
解得：且≠1．
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式与实数根的情况，注意≠1．
3、A
【解析】试题分析：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故B错误；长度和度数都相等的两条弧相等，故C错误；圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故D错误；则本题选A．
4、D
【分析】先把二次函数进行配方得到抛物线的顶点式，根据二次函数的性质即可得到其顶点坐标．
【详解】∵
，
∴二次函数的顶点坐标为．
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的顶点坐标，配方是解决问题的关键，属基础题．
5、A
【分析】分别过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，根据点A所在的图象可设点A的坐标为（），根据相似三角形的判定证出△BDO∽△OCA，列出比例式即可求出点B的坐标，然后代入中即可求出的值．
【详解】解：分别过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，
∵点在反比例函数，
设点A的坐标为（），则OC=x，AC=，
∴∠BDO=∠OCA=90°
∵
∴∠BOD＋∠AOC=180°－∠AOB=90°，∠OAC＋∠AOC=90°
∴∠BOD=∠OAC
∴△BDO∽△OCA
∴
解得：OD=2AC=，BD=2OC=2x，
∵点B在第二象限
∴点B的坐标为（）
将点B坐标代入中，解得
故选A．
【点睛】
此题考查的是求反比例函数解析式相似三角形的判定及性质，掌握用待定系数法求反比例函数的解析式和构造相似三角形的方法是解决此题的关键．
6、B
【分析】根据平行四边形的性质得到DC//AB，DC=AB，得到△DFE∽△BFA，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】四边形ABCD是平行四边形，
，，
∽，
：，
，
：：2，
故选B．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7、C
【详解】解:由图可知，点B在第四象限．各选项中在第四象限的只有C．
故选C．
8、C
【分析】根据图形证明△AOE≌△COG，作KM⊥AD，证明四边形DKMN为正方形，再证明Rt△AEH≌Rt△CGF，Rt△DHG≌Rt△BFE，设正方形边长为a，CG=MN=x，根据正方形的性质列出平行四边形的面积的代数式，再化简整理，即可判断.
【详解】连接AC,EG，交于O点，
∵四边形是平行四边形，四边形是正方形，
∴GO=EO,AO=CO,
又∠AOE=∠COG
∴△AOE≌△COG，
∴GC=AE,
∵NE∥AD，
∴四边形AEND为矩形，
∴AE=DN,
∴DN=GC=MN
作KM⊥AD，
∴四边形DKMN为正方形，
在Rt△AEH和Rt△CGF中，
∴Rt△AEH≌Rt△CGF，
∴AH=CF,
∵AD-AH=BC-CF
∴DH=BF,
同理Rt△DHG≌Rt△BFE，
设CG=MN=x，
设正方形边长为a
则S△HDG=DH×x+DG×x=S△FBE
S△HAE=AH×x =S△GCF
S平行四边形EFGH=a2-2S△HDG-2S△HAE= a2-(DH+DG+AH)×x,
∵DG=a-x
∴S平行四边形EFGH= a2-(a+a-x)×x= a2-2ax+x2= (a-x)2
故只需要知道a-x就可以求出面积
BE=a-x，故选C.
【点睛】
此题主要考查正方形的性质，解题的关键是根据题意设出字母，表示出面积进行求解.
9、B
【解析】根据平移的性质：“平移不改变图形的形状和大小”来判断即可.
【详解】解：根据 “平移不改变图形的形状和大小”知：左图中所示的图案平移后得到的图案是B项，故选B.
【点睛】
本题考查了平移的性质，平移的性质是“经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；平移不改变图形的形状、大小和方向”.
10、C
【分析】根据平行四边形的性质和圆周角定理可得出答案.
【详解】根据平行四边形的性质可知∠B=∠AOC，
根据圆内接四边形的对角互补可知∠B+∠D=180°，
根据圆周角定理可知∠D=∠AOC，
因此∠B+∠D=∠AOC+∠AOC=180°，
解得∠AOC=120°，
因此∠ADC=60°．
故选C
【点睛】
该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．
11、D
【分析】根据关于原点的对称点，横、纵坐标都互为相反数”解答即可得答案．
【详解】∵关于原点的对称点，横、纵坐标都互为相反数，
∴点(2，-1)关于原点对称的点的坐标为（-2，1），
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，熟记关于原点的对称点，横、纵坐标都互为相反数是解题关键.
12、C
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】①掷一枚硬币正面朝上是随机事件；
②五边形的内角和是540°是必然事件；
③20件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是次品是随机事件；
④一个图形平移后与原来的图形不全等是不可能事件；
则是随机事件的有①③，共2个；
故选：C．
【点睛】
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】由E、F分别是AB、AC的中点，可得EF是△ABC的中位线，直接利用三角形中位线定理即可求得BC＝1EF，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】∵△ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，EF＝4，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC＝1EF，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴S△AEF：S△ABC＝（）1＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角形中位线的性质，三角形面积比等于相似比的平方，三角形中位线是对应边的一半，所以得到相似比是1：1．
14、
【解析】解：连接AG，由旋转变换的性质可知，∠ABG=∠CBE，BA=BG=5，BC=BE，由勾股定理得，CG==4，
∴DG=DC﹣CG=1，则AG==，
∵ ，∠ABG=∠CBE，
∴△ABG∽△CBE，
∴，
解得，CE=，
故答案为．
【点睛】
本题考查的是旋转变换的性质、相似三角形的判定和性质，掌握勾股定理、矩形的性质、旋转变换的性质是解题的关键．
15、
【分析】根据题意画出图形，利用平行四边形的性质得出D点坐标．
【详解】解：如图所示：
∵A（2，3），B（0，1），C（3，1），线段AC与BD互相平分，
∴D点坐标为：（5，3），
故答案为：（5，3）．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，图形与坐标，正确画出图形是解题关键．
16、
【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质和平行线的性质解答即可．
【详解】∵DE∥BC，
∴∠F=∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF=∠FBC，
∴∠F=∠DBF，
∴DB=DF，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，即 ，
解得：DE= ，
∵DF=DB=2，
∴EF=DF-DE=2- = ，
故答案为.
【点睛】
此题考查相似三角形的判定和性质，关键是由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC．
17、
【分析】根据旋转性质及直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出CD=CE=5,再根据勾股定理求DE长，的值即为等腰△CDE底角的正弦值，根据等腰三角形三线合一构建直角三角形求解.
【详解】如图，过D点作DM⊥BC，垂足为M，过C作CN⊥DE，垂足为N，
在Rt△ACB中，AC=8，BC=6，由勾股定理得，AB=10，
∵D为AB的中点，
∴CD= ,
由旋转可得，∠MCN=90°,MN=10，
∵E为MN的中点，
∴CE=,
∵DM⊥BC,DC=DB,
∴CM=BM=,
∴EM=CE-CM=5-3=2，
∵DM=,
∴由勾股定理得，DE=，
∵CD=CE=5，CN⊥DE,
∴DN=EN= ,
∴由勾股定理得，CN=,
∴sin∠DEC= .
故答案为：.
【点睛】
本题考查旋转性质，直角三角形的性质和等腰三角形的性质，能够用等腰三角形三线合一的性质构建直角三角形解决问题是解答此题的关键.
18、20%
【分析】设平均每次降价的百分率是x，根据“经过两次降价，零售价由100元降为64元”，列出一元二次方程，求解即可．
【详解】设平均每次降价的百分率是x，根据题意得：
100(1﹣x)2=64，
解得：x1=0.2，x2=1.8(舍去)，
即平均每次降价的百分率是20%．
故答案为：20%．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．
三、解答题（共78分）
19、（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据旋转角、旋转方向、旋转中心找到各顶点的对应点顺次连结即可；
（2）根据勾股定理先求出OB的长度，然后根据弧长公式列式运算即可．
【详解】解：（1）所作图形如下图所示：
即为所求；
（2）∵，
∴OB=，
∴点到点所走过的路径的长为：
．
【点睛】
本题考查了旋转作图，掌握画图的方法和图形的特点是解题的关键；注意旋转时点经过的路径为一段弧长．
20、（1）y＝；（2）2．
【分析】（1）先求出点A的坐标，然后利用待定系数法即可求出结论；
（2）先求出点C的坐标，然后求出点E的坐标，最后利用四边形OCEA的面积＝+即可得出结论．
【详解】解：（1）当x＝1时，y＝x﹣2＝1﹣2＝2，
则A（1，2），
把A（1，2）代入y＝得
k＝1×2＝2，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）当x＝0时，y＝x﹣2＝﹣2，
则C（0，﹣2），
∵AE⊥x轴于点E，
∴E（1，0），
∴四边形OCEA的面积＝+＝×1×2+×1×2＝2．
【点睛】
此题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握利用待定系数法求反比例函数解析式和三角形的面积公式是解决此题的关键．
21、（2）3；（2）x＝2或-2．
【分析】（2）将特殊角的三角函数值代入及利用零指数幂法则计算即可得到结果；
（2）方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
【详解】解：（2）
＝4×-2＋2×2
＝2－2＋2
＝3；
(2）＝2
∴或，
∴，．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程和特殊角的三角函数值的应用，能熟记特殊角的三角函数值是解（2）小题题的关键，能正确分解因式是解（2）小题题的关键．
22、（1）；；（2）①t=1；②当秒或秒时，△BOQ为等腰三角形．
【分析】（1）将A、B点的坐标代入y＝﹣x2+bx+c中，即可求解；
（2）①△AOC与△BMN相似，则或，即可求解；②分OQ=BQ，BO=BQ，OQ=OB三种情况，分别求解即可；
【详解】（1）∵A(﹣1，0)，函数对称轴是直线x＝1，
∴，
把A、B两点代入y＝﹣x2+bx+c中，得：
，解得，
∴抛物线的解析式为，
∴C点的坐标为．
（3）①如下图
，，
△AOC与△BMN相似，则或，
即或，
解得或或3或1（舍去，，3），
故t=1．
②∵，轴，
∴，
∵△BOQ为等腰三角形，
∴分三种情况讨论：
第一种：当OQ=BQ时，
∵,
∴OM=MB，
∴，
∴；
第二种：当BO=BQ时，在Rt△BMQ中，
∵，
∴，
即，
∴；
第三种：当OQ=OB时，
则点Q、C重合，此时t=0，
而，故不符合题意；
综上所述，当秒或秒时，△BOQ为等腰三角形．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合，准确分析求解是做题的关键．
23、x1=7，x2=﹣2．
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，由于-21=-7×2，且-7+2=-4，所以本题可用十字相乘法分解因式求解．
【详解】解：x2﹣4x﹣21=1，
（x﹣7）（x+2）=1，
x﹣7=1，x+2=1，
x1=7，x2=﹣2．
24、（1）当与的一边平行时，或；
（2）
【分析】（1）先根据一次函数确定点、的坐标，再由、，可得、，由此构建方程即可解决问题；
（2）根据点在线段上、点在线段上的位置不同、自变量的范围不同，进行分类讨论，得出与的分段函数．
【详解】解：（1）∵在中，令，则；令，则
∴，
∴，
①当时，，则
∴
∴
②当时，，则
∴
∴
∴综上所述，当与的一边平行时，或．
（2）①当0≤t≤时，重叠部分是矩形PEQF，如图：
∴
∴
∴
∴，，
∴；
②当＜t≤2时，如图，重叠部分是四边形PEQM，
∴，，，，
易得
∴，
∴；
③当2＜t≤3时，重叠部分是五边形MNPOQ，如图：
∴
∴，
∴，
∴，，，
∴；
④当3＜t＜4时，重叠部分是矩形POQF，如图：
∵，，
∴，
∴综上所述， ．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及矩形和梯形的面积求法等知识，利用分类讨论的思想方法是解题的关键．
25、（1）见解析；（2）DC＝6.4cm；（3）当△EFB为等腰三角形时，t的值为秒或秒或秒．
【分析】（1）根据三角形相似的判定定理即可得到结论；
（2）由△ACD∽△BAC，得，结合＝8cm，即可求解；
（3）若△EFB为等腰三角形，可分如下三种情况：①当 BF＝BE时， ②当EF＝EB时，③当FB＝FE时，分别求出t的值，即可．
【详解】（1）∵CD∥AB，
∴∠BAC＝∠DCA，
又AC⊥BC，∠ACB＝90°，
∴∠D＝∠ACB＝90°，
∴△ACD∽△BAC；
（2）在Rt△ABC中，＝8cm，
由（1）知，△ACD∽△BAC，
∴ ，
即: ，解得：DC＝6.4cm；
（3）△BEF能为等腰三角形，理由如下：
由题意得：AF＝2t，BE＝t，
若△EFB为等腰三角形，可分如下三种情况：
①当 BF＝BE时，10﹣2t＝t，解得：t=；
②当EF＝EB时，如图1，过点E作AB的垂线，垂足为G，
则，此时△BEG∽△BAC，
∴，即 ，
解得：t=；
③当FB＝FE时，如图2，过点F作AB的垂线，垂足为H，
则，此时△BFH∽△BAC，
∴，即 ，
解得：；
综上所述：当△EFB为等腰三角形时，t的值为秒或秒或秒．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质的综合以及等腰三角形的性质与勾股定理，添加辅助线构造相似三角形，是解题的关键．
26、（1）证明见解析；（2）BM＝，理由见解析．
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，然后就利用等角的余角相等得到结论；
（2）如图，连接OD，DM，先计算出BD＝8，OA＝5，再证明Rt△CBD∽Rt△BAD，利用相似比得到BC＝，取BC的中点M，连接DM、OD，如图，证明∠2＝∠4得到∠ODM＝90°，根据切线的判定定理可确定DM为⊙O的切线，然后计算BM的长即可．
【详解】（1）∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBD+∠ABD＝90°，
∴∠A＝∠CBD；
（2）BM＝．
理由如下：
如图，连接OD，DM，
∵∠ADB＝90°，AB＝10，AD＝6，
∴BD＝＝8，OA＝5，
∵∠A＝∠CBD，
∵Rt△CBD∽Rt△BAD，
∴＝，即＝，解得BC＝
取BC的中点M，连接DM、OD，如图，
∵DM为Rt△BCD斜边BC的中线，
∴DM＝BM，
∵∠2＝∠4，
∵OB＝OD，
∴∠1＝∠3，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，即∠ODM＝90°，
∴OD⊥DM，
∴DM为⊙O的切线，
此时BM＝BC＝．
【点睛】
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理，掌握切线的判定定理及圆周角定理是关键．
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